Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Limites et continvitas: introdvctio

Svmmarivm

Haec lectio partem de limitibvs et de continvitate aperit. Iter partis exponit, qvod a definitione limitis per epsilon et delta proficiscitvr et, per lectiones qvae demonstrationes svperiores non repetvnt sed itervm adhibent, ad continvitatem fvnctionvm elementarivm et ad comparationem infinitesimorvm pervenit; historiam notionis limitis retexit, a paradoxis Zenonis et methodo exhavstionis vsqve ad definitionem Weierstrassii, per infinitesimalia Newtoni et Leibnitii et per censvram Berkeley; qvaestionem proponit vnde limes ortvs est, qvae est sensvm dare qvotienti qvi fit 00\frac{0}{0}, et examinat cvr neqve notio appropinqvandi neqve tabvla valorvm svfficiat ad limitem decernendvm. Finem facit ostendendo vbi limites et continvitas adhibeantvr in reliqvo cvrsv, in aliis cvrsibvs sitvs et in scientia et arte.

Proposita discendi

  1. Iter partis describere et explicare qvid qvaeqve lectio demonstret et qvibvs effectis svperioribvs vtatvr.
  2. Explicare cvr velocitas instantanea, tangens et area notionem limitis reqvirant, et cvr notio intvitiva appropinqvandi et tabvlae valorvm non svfficiant ad eam definiendam neqve ad eam compvtandam.
  3. Aetates notionis limitis, a methodo exhavstionis vsqve ad definitionem per epsilon et delta, in svo contextv historico collocare, et qvaestionem vel censvram qvae qvamqve impvlit agnoscere.
  4. Ostendere vbi limites et continvitas interveniant in reliqvo cvrsv, in aliis cvrsibvs et in vsibvs scientificis et technicis.

Probatio initialis

Anteqvam pars percvrratvr, expedit pvnctvm vnde proficiscimvr metiri. Haec svi ipsivs exploratio nvllam notam tribvit: eo valet vt sciatvr vbi immorandvm sit. Decem primae qvaestiones decem lectiones argvmenti partis ordine attingvnt, singvlae singvlas, et facvltatem compvtandi vel ratiocinandi metivntvr, non envntiatvm qvod memoria teneatvr; eaedem facvltates in fine, in lectione synthesis, aliis datis itervm metivntvr. Sex postremae explorant qvae haec pars ex Algebra et Geometria I et II nota esse ponit: valorem absolvtvm, svpremvm, compositionem fvnctionvm, tabvlas signorvm, inaeqvalitatem inter sinvm, arcvm et tangentem, et inaeqvalitatem fvndamentalem exponentialis.

Probatio initialis

Antequam vnitatem incipias, pvnctvm vnde proficisceris metire. Brevis est sui ipsivs probatio: non aestimatvr, et eivs exitvs in solo tvo navigatro servatvr.

  1. Qvaestio 1Vt demonstretvr lim⁡x→−1(5−4x)=9\lim_{x \to -1} (5 - 4x) = 9, provocatio ε=150\varepsilon = \frac{1}{50} accipitvr. Qvod est maximvm δ\delta qvod illi provocationi respondet?

  2. Qvaestio 2Compvta lim⁡x→3x+1−2x−3\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}.

  3. Qvaestio 3Compvta lim⁡x→01−cos⁡4xx2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2}.

  4. Qvaestio 4Qvid de lim⁡x→2∣x−2∣x2−4\lim_{x \to 2} \frac{\abs{x - 2}}{x^2 - 4} affirmari potest?

  5. Qvaestio 5Compvta lim⁡x→−∞4x2+13x−2\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{3x - 2}.

  6. Qvaestio 6Compvta lim⁡x→1−x+2x2−1\lim_{x \to 1^-} \frac{x + 2}{x^2 - 1}.

  7. Qvaestio 7Qvae est asymptotvs delineationis ipsivs f(x)=x2+6xf(x) = \sqrt{x^2 + 6x} in ∞\infty?

  8. Qvaestio 8Fvnctio f(x)=x2−xx2−1f(x) = \frac{x^2 - x}{x^2 - 1} neqve in 11 neqve in −1-1 definita est. Qvomodo eivs discontinvitates in his pvnctis distribvvntvr?

  9. Qvaestio 9Compvta lim⁡x→0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} \left(1 + 3x\right)^{\frac{2}{x}}.

  10. Qvaestio 10Compvta lim⁡x→0(e2x−1)sin⁡3xln⁡(1+x2)\lim_{x \to 0} \frac{\left(e^{2x} - 1\right)\sin 3x}{\ln\left(1 + x^2\right)}.

  11. Qvaestio 11Ex vnitatibvs prioribvsQvae est copia nvmerorvm realivm xx qvi 0<∣x−3∣<120 < \abs{x - 3} < \frac{1}{2} implent?

  12. Qvaestio 12Ex vnitatibvs prioribvsQvod est svpremvm copiae {nn+1:n∈N}\left\{ \frac{n}{n + 1} : n \in \mathbb{N} \right\}?

  13. Qvaestio 13Ex vnitatibvs prioribvsSi f(x)=xf(x) = \sqrt{x} et g(x)=x2−4x+3g(x) = x^2 - 4x + 3, qvod est dominivm ipsivs f∘gf \circ g?

  14. Qvaestio 14Ex vnitatibvs prioribvsQvae est copia solvtionvm ipsivs x−1x2−4>0\frac{x - 1}{x^2 - 4} > 0?

  15. Qvaestio 15Ex vnitatibvs prioribvsSi 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, vbi xx in radiantibvs mensvratvr, qvae series inaeqvalitatvm valet?

  16. Qvaestio 16Ex vnitatibvs prioribvsInaeqvalitas fvndamentalis ex≥1+xe^x \geq 1 + x valet pro omni reali xx. Qvae ex his assertionibvs ex ea dedvcitvr?

Qvae vnitas continet

In Algebra et Geometria I, lectio de fvnctionibvs rationalibvs asymptotos verticales et asymptotos ad infinitvm, continvitatem harvm fvnctionvm et theorema valoris intermedii vt facta admissa adhibvit, sine demonstratione, qvia definitionem limitis postvlabant qvae nondvm habebatvr; et Algebra et Geometria II eodem modo continvitatem fvnctionvm trigonometricarvm et inversarvm earvm admisit. Haec pars eam definitionem praebet et facta admissa singvla demonstrat, praeter valorem intermedivm, qvi in parte proxima demonstrabitvr. Demonstrationes ita ordinantvr vt itervm adhibeantvr: pavcae per epsilon et delta fivnt, ceterae effecta svperiora citant pro argvmento repetendo. Lectiones hvnc ordinem servant:

  1. Limes fvnctionis notionem appropinqvandi in definitionem per epsilon et delta convertit, per pvncta accvmvlationis definit vbi sensvm habeat, definitionem eivsqve negationem vt envntiata qvantificata scribit, et demonstrat limitem vnicvm esse, ex solis valoribvs propinqvis pendere et fvnctionem cogere vt prope pvnctvm circvmscripta maneat et signvm svvm conservet.
  2. Algebra limitvm regvlas compvtandi ad tria lemmata per epsilon et delta demonstrata redigit, qvorvm praecipvvm est criterivm marginis, et ex eis dedvcit, adhibito lemmate qvo restrictio dominii limitem non tollit, limites svmmae, prodvcti, inversi et qvotientis, eos polynomiorvm, fvnctionvm rationalivm, radicvm et potentiarvm exponentis rationalis, et theorema de limite compositionis, qvod mvtationem variabilis ivstificat.
  3. Theorema compressionis demonstrat, per criterivm marginis, limites inaeqvalitates non strictas conservare, ipsvm theorema et limitem prodvcti fvnctionis circvmscriptae et fvnctionis ad nihilvm tendentis; his adhibitis limites sinvs et cosinvs obtinet et limitem fvndamentalem lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, ex qvo ceteri limites trigonometrici dedvcvntvr.
  4. Limites laterales vt limites restrictionis definivntvr, ita vt omnia theoremata svperiora hereditate accipiant; lectio demonstrat limitem exsistere si et solvm si ambo laterales exsistvnt et congrvvnt, et fvnctionem monotonam et circvmscriptam limitem lateralem habere aeqvalem svpremo vel infimo valorvm svorvm, qvod est primvm theorema qvo limitem exsistere constat valore eivs ignoto.
  5. Limes ad infinitvm limitem definit cvm variabilis sine margine crescit, et per lemma inversionis demonstrat evm limiti laterali in 00 aeqvivalere, ita vt omnia theoremata svperiora etiam ad infinitvm valeant; his adhibitis limites potentiarvm et fvnctionvm rationalivm compvtat.
  6. Limites infiniti per lemma inversi ad limites nihilo aeqvales redigvntvr; hinc et ex comparatione regvlae svmmae, prodvcti et qvotientis orivntvr, et lectio ostendit formas indeterminatas qvemlibet effectvm dare posse, et demonstrat theorema de fvnctionibvs monotonis non circvmscriptis et illvd de compositione cvm limitibvs infinitis.
  7. Asymptoti per limites laterales, ad infinitvm et infinitos definivntvr; lectio formvlas declivitatis et ordinatae in origine asymptoti obliqvae demonstrat, vnicitatem asymptoti non verticalis in vtroqve fine et facta de fvnctionibvs rationalibvs in Algebra et Geometria admissa, et methodvm proponit fvnctiones sine derivatis repraesentandi.
  8. Continvitas per provocationem et responsionem solitas definitvr, pvncto non exclvso; lectio demonstrat eam in pvncto accvmvlationis aeqvivalere ei qvod limes exsistit et valori aeqvalis est, discontinvitates in evitabiles, saltvs et essentiales distribvit, ab algebra limitvm continvitatem operationvm hereditate accipit, et demonstrat compositionem fvnctionvm continvarvm continvam esse, ita vt limes in fvnctionem continvam intret.
  9. Fvnctiones elementares vno argvmento continvae evadvnt, nempe fvnctionem monotonam cvivs imago intervallvm est salire non posse; hac continvitate et inaeqvalitate fvndamentali exponentialis adhibitis, lectio limites notabiles exponentialis et logarithmi demonstrat, nvmervm ee vt limitem obtinet, formam 1∞1^\infty solvit et exponentialem, potentias et logarithmvm ad infinitvm comparat.
  10. Infinitesima et infinita aeqvivalentia per o⁡\operatorname{o} parvvm, O⁡\operatorname{O} magnvm, evndem ordinem et aeqvivalentiam comparantvr; lectio demonstrat in prodvcto vel qvotiente qvemqve factorem per alivm aeqvivalentem svbstitvi posse, non avtem in svmma, nisi cvm aeqvivalentia addendorvm idem signvm habent, et limites lectionvm svperiorvm in tabvlam aeqvivalentivm in nihilo colligit.

Pars finitvr lectione synthesis et provocationvm, qvae ea qvae consecvta svnt in catenam dedvctivam colligit, in probatione sva finali facvltates probationis initialis itervm metitvr et decem problemata difficiliora proponit.

Memoria historica

Ordo logicvs partis ne cvm historico qvidem congrvit. Plvs qvam saecvlvm calcvlvs infinitesimalis feliciter exercitvs est sine definitione limitis; continvitas cvm rigore definita est anteqvam limes forma hodierna, et definitio per epsilon et delta in fine processvs advenit, cvm calcvlvs infinitesimalis qvaestiones propter qvas natvs erat iam solvisset. Expedit hanc historiam percvrrere, qvia obiectiones qvas vincere debvit eaedem svnt qvas qvi discit plervmqve movet.

Infinitvm apvd Graecos

Zeno Eleates, qvi inter annos 490 et 425 ante aeram nostram, fere, vixit, argvmenta contra possibilitatem motvs protvlit qvae praesertim ex Physica Aristotelis noscvntvr. Argvmentvm dichotomiae tenet, vt via percvrratvr, primvm ad medivm eivs perveniendvm esse, antea ad medivm dimidii, et sic sine fine, ita vt motvs incipere non possit. Paradoxvm qvaestionem movet, nec solvit, vtrvm infinitae magnitvdines in magnitvdinem finitam svmmari possint, vt 12+14+18+⋯=1\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1.

Mathematici Graeci hanc qvaestionem methodo exhavstionis vitavervnt, cvi Evdoxvs Cnidivs circa annvm 370 ante aeram nostram formam rigorosam dedit: vt ostendatvr aream certam qvantitatem valere, figvrae polygona inscribvntvr qvorvm differentia ab ea minor qvavis magnitvdine data reddi potest, et per dedvctionem ad absvrdvm demonstratvr aream neqve maiorem neqve minorem ea qvantitate esse posse. Circa annvm 225 ante aeram nostram Archimedes hoc modo ostendit aream segmenti parabolae esse 43\frac{4}{3} areae triangvli inscripti eadem basi et eodem vertice, triangvlos svmmando qvi qvaqve vice addvntvr, qvorvm areae progressionem 1+14+116+⋯1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots efficivnt. Schema argvmenti, qvantitas qvae minor qvavis magnitvdine data reddi potest, iam est provocationis et responsionis.

Infinitesimalia Newtoni et Leibnitii

Saecvlo septimo decimo qvaestio tangentivm et qvaestio arearvm methodvm generalem accepervnt. Isaac Newtonvs mense Octobri anni 1666 tractatvm de flvxionibvs scripsit, qvem non edidit, et anno 1671 Methodvm flvxionvm et seriervm infinitarvm, qvae anno demvm 1736 edita est. Gottfried Wilhelm Leibnitivs signvm integralis in manvscripto diei vndetricesimi mensis Octobris anni 1675 introdvxit, et die vicesimo primo mensis Novembris primvm integrale cvm signo et differentiali scripsit; calcvlvm svvm differentialem anno 1684 in ephemeride Acta Ervditorvm Lipsiensi edidit, titvlo Nova methodvs pro maximis et minimis, et calcvlvm integralem in eadem ephemeride anno 1686. Ambo cvm incrementis compvtabant qvae vt a nihilo diversa tractantvr vt per ea dividi possit, et vt nvlla vt in fine abiciantvr.

Anno 1734 George Berkeley Analystam edidit, censvram fvndamentorvm calcvli Newtoni. Contendit incrementa evanescentia neqve qvantitates finitas esse, neqve infinite parvas, neqve nihil, calcvlvm in medio ratiocinio hypothesim mvtare, et qvaesivit nvm ea spectra qvantitatvm evanidarvm appellari non possent. Effecta recta erant; qvod Berkeley ostendit est ratiocinivm qvo ivstificabantvr rectvm non esse. Exemplvm infra positvm compvtationem qvam reprehendebat reddit et ostendit qvomodo definitio limitis eam solvat.

ExemplvmQvotiens qvem Berkeley reprehendebat

Consideremvs declivitatem tangentis parabolae y=x2y = x^2 in pvncto (1,1)(1, 1). Figvra secantes delineat qvae hoc pvnctvm cvm alio pvncto parabolae semper propiore conivngvnt et, deinde, qvotientem vt fvnctionem incrementi, cvm foramine qvod in h=0h = 0 relinqvit.

Demonstratio

  1. q(h)=(1+h)2−12hq(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}

    Secans qvae (1,1)(1, 1) cvm pvncto abscissae 1+h1 + h conivngit, vbi h≠0h \neq 0, declivitatem habet qvotientem incrementalem.

  2. h≠0→q(h)=2+hh \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}

    Pro h≠0h \neq 0 nvmerator valet 2h+h22h + h^2, et factor hh tollitvr. Dvm hh minvitvr, secantes semper minvs inclinantvr.

  3. q(0)=00,h≠0→q(h)≠2q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2

    Ecce obiectio Berkeley: si h=0h = 0, qvotiens est 00\frac{0}{0} neqve simplificari potest; si h≠0h \neq 0, effectvs non est 22. Calcvlvs infinitesimalivm h≠0h \neq 0 adhibebat vt divideret et h=0h = 0 vt addendvm hh abiceret.

  4. 0<∣h∣<ε→∣q(h)−2∣=∣h∣<ε0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon

    Definitio limitis obiectionem dissolvit: non examinat h=0h = 0 neqve postvlat vt q(h)q(h) valeat 22, sed vt tam prope 22 sit qvam libet. Provocationi ε\varepsilon respondetvr per δ=ε\delta = \varepsilon.

  5. lim⁡h→0(1+h)2−1h=2,y=2x−1\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1

    Ergo limes est 22, declivitas tangentis, neqve vlla qvantitas simvl nvlla et non nvlla esse debet. Recta declivitatis 22 qvae per (1,1)(1, 1) transit tangens est.

Limes vt fvndamentvm

Exitvs qvem exemplvm indicavit per saecvlvm pavlatim viam sibi apervit. Iean le Rond d’Alembert, in articvlo «Différentiel» qvarti volvminis Encyclopaediae, anno 1754 scripto, proposvit vt calcvlvs infinitesimalis in theoria limitvm fvndaretvr et derivatam definivit vt limitem qvotientis incrementorvm. Anno 1817 Bernardvs Bolzanvs demonstrationem mere analyticam theorematis valoris intermedii edidit, consilio declarato calcvlvm infinitesimalem a notione infinitesimalis liberandi, et in ea notionem continvitatis hodiernae proximam adhibvit; opvs eivs vivo eo parvm notvm fvit. Anno 1821 Avgvstin-Lovis Cavchy Covrs d’analyse svvm edidit, discipvlis Scholae Polytechnicae Parisiensis scriptvm, qvi limites in fvndamento calcvli infinitesimalis posvit et fvnctionem continvam definivit vt eam in qva incrementvm infinite parvvm variabilis incrementvm infinite parvvm fvnctionis efficit.

Eodem tempore notio fvnctionis mvtabatvr. Evlero, anno 1748, fvnctio erat expressio analytica; Peter Gvstav Leievne Dirichlet anno 1837 notionem mvlto latiorem accepit, in qva valores qvolibet modo sese excipere possvnt, et ei debetvr exemplvm fvnctionis qvae valet 00 in rationalibvs et 11 in irrationalibvs, in omni pvncto discontinvae. Fvnctionibvs tam generalibvs, intvitio geometrica dvx tvta esse desinebat, et definitiones de solis nvmeris et inaeqvalitatibvs loqvi debebant.

Definitio Weierstrassii

Karl Weierstrassivs, professor in Vniversitate Berolinensi ab anno 1856, primvm fvndamenta analyseos in cvrsv svo introdvctionis in analysim annorvm 1859 et 1860 aggressvs est. In eivs praelectionibvs, qvae praesertim ex discipvlorvm commentariis noscvntvr, definitio limitis et continvitatis per epsilon et delta scripta est, ea forma qva hic cvrsvs vtitvr: sine motv, sine infinitesimalibvs, vt envntiatvm qvantificatvm de nvmeris realibvs. Anno 1872, eodem anno qvo Richard Dedekind et Georg Cantor constrvctiones svas nvmerorvm realivm edidervnt, qvae completvdinem demonstrant, Weierstrassivs Academiae Scientiarvm Berolinensi fvnctionem continvam exhibvit qvae in nvllo pvncto derivatam habet, docvmentvm intvitionem cvrvae continvae non svfficere ad de ea ratiocinandvm.

Notatio qva postrema lectio partis fvnctiones comparat posterior est. Pavl Bachmann signvm O⁡\operatorname{O} anno 1894 introdvxit, in Die analytische Zahlentheorie, secvndo volvmine operis svi de theoria nvmerorvm, et Edmvnd Landav, qvi id adoptavit, signvm o⁡\operatorname{o} anno 1909 introdvxit, in tractatv svo de distribvtione nvmerorvm primorvm.

Qvaestio vnde ortvs est

Tres qvaestiones antiqvae ad calcvlvm infinitesimalem dvxervnt, et omnes tres eandem strvctvram habent. Velocitas corporis moti in instanti esse deberet qvotiens spatii confecti et temporis consvmpti cvm tempvs consvmptvm nvllvm est; declivitas tangentis cvrvae esse deberet ea secantis cvivs dvo pvncta congrvvnt; area figvrae cvrvae esse deberet svmma infinitorvm rectangvlorvm latitvdinis nvllae. In tribvs casibvs svbstitvtio directa 00\frac{0}{0} vel svmmam sensv carentem efficit, et effectvs rectvs est id ad qvod approximationes appropinqvant. Dvae primae ad derivatam dvcvnt, qvae est materia partis proximae; tertia ad integrale, qvod in Calcvlo II tractatvr.

Atqvi «id ad qvod appropinqvant» nondvm definitio est, tribvs de cavsis. Prima est qvod appropinqvare non svfficit: lectio de limite fvnctionvm vnivs variabilis realis ostendit valores ipsivs x2−1x−1\frac{x^2 - 1}{x - 1} ad 33 appropinqvare cvm xx a 0,90{,}9 ad 0,990{,}99 transit, qvamvis limes sit 22. Secvnda est qvod tabvla nvmervm finitvm pvnctorvm examinat: eadem lectio ostendit sin⁡πx\sin\frac{\pi}{x} valere 00 in omnibvs pvnctis formae 1n\frac{1}{n} et tamen limitem in 00 non habere. Tertia est qvod valores tabvlae perperam compvtati esse possvnt, vt exemplvm infra positvm ostendit.

ExemplvmTabvla fallax

Consideremvs fvnctionem q(x)=x2+9−3x2q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}, pro x≠0x \neq 0 definitam. Figvra delineationem eivs exhibet, cvm foramine in x=0x = 0, valores tabvlae et valorem qvem compvtatrvm valde prope 00 dat; deinde marginem qvi limitem decernit.

Demonstratio

  1. q(1)≈0,1623,q(10−1)≈0,16662,q(10−2)≈0,1666662q(1) \approx 0{,}1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0{,}16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0{,}1666662

    Valores in 11, 10−110^{-1} et 10−210^{-2} ad 0,1666…0{,}1666\ldots appropinqvare videntvr, id est ad 16\frac{1}{6}.

  2. 9+10−16≈9→q(10−8)≈09 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}

    Sed in x=10−8x = 10^{-8} programma qvod cvm pvncto flvitante dvplicis praecisionis vsitato compvtat obtinet 00: svmma 9+10−169 + 10^{-16} ad 99 rotvndatvr, et svbtractio nvmeratoris exacte dat 00. Tabvla sola inter 16\frac{1}{6} et 00 non decernit.

  3. q(x)=(x2+9)−9x2(x2+9+3)=1x2+9+3q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}

    Pro x≠0x \neq 0 mvltiplicamvs et dividimvs per expressionem conivgatam x2+9+3\sqrt{x^2 + 9} + 3; nvmerator fit x2x^2, qvod tollitvr.

  4. ∣q(x)−16∣=x26(x2+9+3)2≤x2216\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}

    Distantia a 16\frac{1}{6} eadem expressione conivgata scribitvr, et circvmscribitvr qvia x2+9≥3\sqrt{x^2 + 9} \geq 3, ita vt qvadratvm ipsivs x2+9+3\sqrt{x^2 + 9} + 3 sit saltem 3636.

  5. 0<∣x∣<216ε→∣q(x)−16∣<ε,lim⁡x→0q(x)=160 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}

    Provocationi ε\varepsilon respondetvr per δ=216ε\delta = \sqrt{216\varepsilon}, et limes est 16\frac{1}{6}. Nvmervs 00 compvtatri error rotvndationis est: margo efficit vt q(10−8)q\left(10^{-8}\right) a 16\frac{1}{6} minvs qvam 10−1810^{-18} distet.

Definitio limitis tribvs obiectionibvs respondet: de omnibvs pvnctis propinqvis simvl loqvitvr, nvmeris statvit qvid significet «qvam proxime libet» et inaeqvalitatibvs demonstratvr, non compvtationibvs approximatis. Sed qvaestio aliam faciem habet, qvae non compvtandi est sed exsistentiae. Mvlti limites partis demonstrantvr postqvam valor eorvm cognitvs vel coniectvs est; alii vero exsistvnt qvamvis qvomodo compvtentvr nesciatvr, et exsistentia eorvm in completvdine realivm nititvr. Theorema de fvnctionibvs monotonis lectionis de limitibvs lateralibvs limitem vt svpremvm praebet, et ex eo pendet continvitas exponentialis, logarithmi et ceterarvm fvnctionvm elementarivm. Lectio de limite et continvitate demonstrat fvnctionem in pvncto continvam et positivam etiam in pvnctis dominii svi ei propinqvis positivam esse, et haec conservatio signi, cvm completvdine conivncta, in parte proxima theorema valoris intermedii dabit. Sine completvdine nihil horvm valeret: fvnctio x2−2x^2 - 2, in solis rationalibvs considerata, a valoribvs negativis ad positivos transit nvmqvam evanescens.

Momentvm limitvm et continvitatis

In reliqvo cvrsv

Totvs cvrsvs in hac parte nititvr. Pars proxima, de derivatis, in prima sva lectione definit derivatam vt limitem fvnctionis, qvotientem incrementalem exempli Berkeley, et regvlas derivandi ex algebra limitvm obtinet; derivatae sinvs, exponentialis et logarithmi, in lectione de derivatis fvnctionvm elementarivm, svnt limites notabiles hvivs partis; regvla catenae in compositione fvnctionvm continvarvm nititvr; theorema valoris intermedii per conservationem signi et completvdinem demonstratvr, et methodvm bisectionis ivstificat; et derivata inversae, in lectione de derivata inversae et derivatione implicita, continvitatem inversae reqvirit. Tertia pars, de vsibvs derivatarvm, incipit a theoremate Weierstrassii, ex qvo fvnctio in intervallo clavso et circvmscripto continva maximvm et minimvm svvm attingit, et in eo nitvntvr theoremata Rollii et valoris medii, inqvisitio maximorvm et minimorvm et problemata optimizationis. Regvla Hospitalii formas indeterminatas solvit qvas haec pars tantvm agnoscere scit, et methodi Newtoni et Raphsoni, qvae cvrsvm clavdit, convergentia per convexitatem et svpremvm demonstratvr.

In aliis cvrsibvs

In Calcvlo II integrale definitvr vt limes svmmarvm arearvm rectangvlorvm, qvaestio Archimedis; svccessiones et series, qvas hic cvrsvs non tractat, definitionibvs eivsdem generis tractantvr, et polynomivm Taylorianvm errorem svvm per O⁡\operatorname{O} magnvm postremae lectionis partis metitvr. In Calcvlo III definitio per epsilon et delta ad fvnctiones plvrivm variabilivm transit, cvm distantia plani loco valoris absolvti, et limes ex via pendere potest qva ad pvnctvm pervenitvr. In Fvndamentis Mechanicae velocitas et acceleratio instantaneae svnt limites qvotientivm incrementorvm. In Mathematica Nvmmaria capitalizatio continva est limes ipsivs (1+rx)x\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x} cvm xx ad infinitvm tendit, qvi valet ere^{r} ex lectione de limitibvs notabilibvs. In Analysi Datorvm Lingva R exemplaria incrementi distingvvntvr per modvm qvo se ad infinitvm gervnt, qvem comparatio exponentialis, potentiarvm et logarithmi describit. In Programmatione Lingva C++ I bisectio radicem approximat theoremati valoris intermedii confisa, svmptvs algorithmi notatione O⁡\operatorname{O} Bachmann et Landav metitvr, et nvmeri pvncti flvitantis cogvnt vt limes exactvs a valore compvtato distingvatvr, vt in tabvla fallaci.

In scientia et arte

Omnis magnitvdo qvae continvo modo mvtatvr, positio, temperatvra, concentratio, tensio electrica, fvnctionibvs continvis describitvr, et rationes mvtationis eivs instantaneae limites svnt. Approximationes qvibvs ingeniaria et scientiae experimentales vtvntvr (linearizatio phaenomeni prope pvnctvm aeqvilibrii, svbstitvtio ipsivs sin⁡x\sin x per xx in oscillationibvs parvis, terminvs prae alio mvlto maiore neglectvs) aeqvivalentiae svnt similes eis postremae lectionis partis, et iisdem condicionibvs valent. Asymptoti valorem satvrationis processvs qvi stabilitvr et incrementvm sine margine eivs qvi non stabilitvr describvnt. Et calcvlvs nvmericvs, qvi in compvtatro solvit qvod formvlam clavsam non habet, in distinctione exempli tabvlae fallacis fvndatvr: algorithmvs approximationes prodvcit, et sola margo erroris, inaeqvalitatibvs demonstrata, dicit qvam prope ad valorem exactvm accedant.