कलन I: अध्ययन योजना

प्रयोजन और किसके लिए

तीन प्राचीन समस्याएँ कलन तक ले गईं: किसी गतिमान पिंड का किसी क्षण पर वेग, किसी वक्र की स्पर्श रेखा की ढलान और किसी वक्र-सीमित आकृति का क्षेत्रफल। तीनों में सीधा प्रतिस्थापन $\frac{0}{0}$ या एक अर्थहीन योग देता है, और सही उत्तर वह है जिसकी ओर सन्निकटन बढ़ते जाते हैं। यह पाठ्यक्रम निकट पहुँचने के इस विचार को एक यथार्थ परिभाषा देता है, सीमा, और उसके साथ पहली दो समस्याओं का अध्ययन करता है, जो अवकलज तक ले जाती हैं; तीसरी समाकल तक ले जाती है, जो कलन II: समाकलन कलन का विषय है।

इसका प्रयोजन एक वास्तविक चर के फलनों के अवकल कलन को सीमा की परिभाषा और पूर्णता अभिगृहीत पर स्थापित करना है, और उनसे, पूर्ण उपपत्तियों के साथ, वह निकालना है जो अवकलज किसी फलन के परिवर्तन, आकार और चरम मानों के बारे में जानने देता है। यदि ऐसा है, तो पाठ्यक्रम अवकलन के नियमों का कोई संग्रह नहीं, बल्कि एक निगमनात्मक भवन है: प्रयुक्त प्रत्येक परिणाम कहा और सिद्ध किया जाता है, या जब उसकी उपपत्ति किसी अन्य पाठ्यक्रम की हो तो उसे स्पष्ट रूप से स्वीकृत घोषित किया जाता है, जैसा उस प्रमेय के साथ होता है जो अस्पष्ट रूप से परिभाषित फलनों के अस्तित्व की गारंटी देती है, या उस गति के साथ जिससे न्यूटन-रैफ़सन विधि अभिसरित होती है, जिनके लिए बाद के उपकरण चाहिए। परिभाषाएँ परिमाणकों वाले कथनों के रूप में लिखी जाती हैं, और एप्सिलॉन और डेल्टा वाली उपपत्तियाँ इस तरह व्यवस्थित की जाती हैं कि उनका फिर से उपयोग हो सके: सीमाओं के बीजगणित वाले पाठ की तीन प्रमेयिकाएँ सीमाओं के नियमों को आधार देती हैं, और काराथेओडोरी गुणनखंडन अवकलन के नियमों को।

यह उनके लिए है जिन्होंने बीजगणित और ज्यामिति II पूरा किया है, या किसी अन्य मार्ग से उसकी विषय-वस्तु पर अधिकार रखते हैं: विज्ञान, अभियांत्रिकी, अर्थशास्त्र या गणित-शिक्षण के विश्वविद्यालय के प्रथम वर्ष के विद्यार्थी, विद्यालयी शिक्षा के अंतिम वर्षों के विद्यार्थी जो विश्वविद्यालय में प्रवेश की तैयारी कर रहे हैं, और हर वह व्यक्ति जो उस कलन को कठोरता से फिर से गढ़ना चाहता है जिसे उसने नियमों के एक संग्रह के रूप में सीखा था।

पूर्व ज्ञान और पूर्वापेक्षाएँ

पाठ्यक्रम की पूर्वापेक्षा बीजगणित और ज्यामिति II है, जो स्वयं बीजगणित और ज्यामिति I को मानकर चलता है। इन दोनों में से पाठ्यक्रम मुख्य रूप से इनका उपयोग करता है: वास्तविक संख्याओं का पूर्णता अभिगृहीत, सुप्रीमम और इन्फिमम के साथ, और असमिकाओं और निरपेक्ष मानों के साथ गणना, जिन्हें वास्तविक रेखा वाला पाठ स्थापित करता है और जिन पर बोलत्सानो, वायरस्ट्रास और माध्यमान की प्रमेय टिकी हैं; फलन, उनके प्रतिलोम, उनके रूपांतरण और उनकी चिह्न सारणियाँ; वास्तविक घातांक वाली घातें, संख्या $e$ और प्राकृतिक चरघातांकी फलन, लघुगणक और अतिपरवलयिक फलन; आगमन और द्विपद प्रमेय; और, बीजगणित और ज्यामिति II से, त्रिकोणमितीय फलन, उनके प्रतिलोम, योग के सूत्र और योगों का गुणनफलों में रूपांतरण, और असमिका $\sin x < x < \tan x$ (जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$), जिस पर ज्या का अवकलज निर्भर है।

अब, इनमें से बहुत-से परिणाम वहाँ बिना उपपत्ति के स्वीकार किए गए थे, क्योंकि उनके लिए सीमा चाहिए थी: परिमेय फलनों और त्रिकोणमितीय फलनों का सांतत्य, अनंतस्पर्शी और मध्यवर्ती मान प्रमेय। यह पाठ्यक्रम उन्हें एक-एक करके सिद्ध करता है। जिसे किसी पूर्व ज्ञान पर संदेह हो, वह बीजगणित और ज्यामिति की संगत इकाई के सारांश पाठ पर लौट सकता है; इसके अतिरिक्त, प्रत्येक इकाई के प्रवेश मूल्यांकन में उस बारे में प्रश्न हैं जो इकाई ज्ञात मानती है, साथ में वह पाठ जिसे हर त्रुटि पर दोहराना उचित है।

अंत में, पाठ्यक्रम इस तरह सोचा गया है कि उसे विधेय तर्क के एक पाठ्यक्रम, गणितीय तर्कशास्त्र II, के साथ-साथ पढ़ा जा सके, जो साइट पर प्रस्तावित है: पाठ परिभाषाओं को परिमाणकों वाले कथनों के रूप में लिखते हैं और उनके निषेध पर काम करते हैं, उस पाठ्यक्रम पर निर्भर हुए बिना। जो पहले औपचारिक निगमन का अभ्यास प्राप्त करना चाहे, वह गणितीय तर्कशास्त्र I: प्रस्तावात्मक तर्क पढ़ सकता है।

यह कहाँ ले जाता है

दो पाठ्यक्रमों के लिए यह पाठ्यक्रम पूर्वापेक्षा है। कलन II: समाकलन कलन समाकल को आयतों के क्षेत्रफलों के योगों की सीमा के रूप में परिभाषित करेगा, उसे आधारभूत प्रमेय के द्वारा अवकलज से जोड़ेगा, जिसका आधार वह उपप्रमेय है जिसके अनुसार समान अवकलज वाले दो फलनों में एक अचर का अंतर होता है, और अवकलन के नियमों को उलटी दिशा में तय करेगा: प्रतिस्थापन शृंखला नियम को उलटता है, और भागशः समाकलन गुणनफल के नियम को। यांत्रिकी I: यांत्रिकी के मूल सिद्धांत वेग और त्वरण को स्थिति के पहले और दूसरे अवकलज के रूप में लेगा। कलन II के बाद, कलन III: बहुचर कलन सीमा, अवकलज और चरम मानों को अनेक चरों के फलनों तक ले जाएगा।

इससे निकलता है कि यह पाठ्यक्रम, स्पष्ट निर्णय से, बाद के पाठ्यक्रमों के लिए क्या छोड़ता है। कलन II के लिए, एकसमान सांतत्य, प्रतिअवकलज, अनुक्रम, जो निश्चित समाकल का और अंत में श्रेणियों का मार्ग खोलेंगे, और टेलर बहुपद, जो अवकल की त्रुटि को परिबद्ध करेगा और न्यूटन-रैफ़सन विधि के द्विघात अभिसरण को सिद्ध करेगा। कलन III के लिए, प्राचलिक वक्र और अस्पष्ट फलन प्रमेय, जिसे इकाई 2 का अस्पष्ट अवकलन मानकर चलता है।

पाठ्यक्रम के परिणाम उन पाठ्यक्रमों में भी फिर आते हैं जो इसकी माँग नहीं करते। वित्तीय गणित में सतत चक्रवृद्धि एक महत्वपूर्ण सीमा होगी, और वह दर जो भुगतानों की एक शृंखला के वर्तमान मान को किसी दी गई राशि के बराबर करती है, न्यूटन-रैफ़सन विधि से निकाली जाएगी। R के साथ डेटा विश्लेषण में वृद्धि के मॉडल अनंत पर अपने व्यवहार से पहचाने जाएँगे, और आँकड़ों का माध्य उस संख्या के रूप में मिलेगा जो वर्गों के एक योग को न्यूनतम बनाती है। C++ में प्रोग्रामिंग I में द्विभाजन विधि मध्यवर्ती मान प्रमेय पर भरोसा करती है, किसी एल्गोरिथ्म की लागत बड़े $\operatorname{O}$ संकेतन से मापी जाती है, और चल बिंदु अंकगणित उन पूर्णांकन त्रुटियों को समझाता है जिनसे कंप्यूटर मानों की किसी सारणी को धोखा देता है, जैसे इकाई 1 की सारणी को।

समग्र अधिगम उद्देश्य

नीचे दिए उद्देश्य बताते हैं कि पाठ्यक्रम पूरा करने वाला क्या करने में सक्षम होना चाहिए। प्रत्येक को एक अवलोकनीय प्रदर्शन के रूप में कहा गया है, ताकि उसे किसी ठोस कार्य से जाँचा जा सके; प्रत्येक पाठ, अपनी ओर से, अपने उद्देश्य घोषित करता है, और समापन पाठ, पाठ-दर-पाठ, दिखाता है कि प्रत्येक पाठ इन सात में से किस उद्देश्य को सौंपा गया। उद्देश्य क्रमांकित हैं ताकि उस पाठ में उनका उल्लेख किया जा सके।

1. उद्देश्य 1। स्पष्ट निगमनात्मक युक्ति द्वारा अवकल कलन के कथनों को सिद्ध करना: परिभाषाओं को परिमाणकों वाले कथनों के रूप में लिखना और उनका निषेध करना, पहले से सिद्ध प्रमेयिकाओं का फिर से उपयोग करने वाले एप्सिलॉन और डेल्टा वाली युक्तियाँ रचना, अस्तित्व प्रमेयों को पूर्णता अभिगृहीत से निकालना, प्रत्युदाहरणों से दिखाना कि कोई परिकल्पना हटाई नहीं जा सकती, और प्रत्येक उपपत्ति में निकाले गए और स्वीकार किए गए के बीच अंतर करना।
2. उद्देश्य 2। एक वास्तविक चर के फलनों की सीमाओं को, परिमित, एकपक्षीय, अनंत पर और अनंत, परिभाषित करना और निकालना, सीमाओं के बीजगणित, सैंडविच प्रमेय, महत्वपूर्ण सीमाओं, तुल्य अनंतसूक्ष्मों और लोपिताल नियम से अनिर्धार्य रूपों का निराकरण करना, और उनसे किसी फलन के अनंतस्पर्शी और उसके आलेख का निरूपण निर्धारित करना।
3. उद्देश्य 3। किसी फलन के सांतत्य का निर्णय करना और उसके असांतत्यों का वर्गीकरण करना, प्रारंभिक फलनों और उनके प्रतिलोमों का सांतत्य सिद्ध करना, और पूर्णता अभिगृहीत पर टिकी बोलत्सानो, मध्यवर्ती मान और वायरस्ट्रास की प्रमेयों को लागू करना, ताकि हलों और चरम मानों का अस्तित्व सिद्ध किया जा सके और किसी अंतराल का प्रतिबिंब निकाला जा सके।
4. उद्देश्य 4। अवकलज को अंतर-भागफल की सीमा के रूप में परिभाषित करना और उसे रैखिक सन्निकटन और काराथेओडोरी गुणनखंडन से अभिलक्षित करना, अवकलन के नियम, शृंखला नियम और प्रतिलोम फलन का अवकलज सिद्ध करना, और उनसे प्रारंभिक फलनों, अस्पष्ट रूप से परिभाषित फलनों और चर घातांक वाली घातों का अवकलन करना और उच्च कोटि के अवकलज निकालना, प्रत्येक अवकलज का प्रांत स्पष्ट करते हुए।
5. उद्देश्य 5। फ़र्मा प्रमेय, रोल प्रमेय, लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय और कॉशी की माध्यमान प्रमेय को सिद्ध करना और लागू करना, उनसे एकदिष्टता, स्थानीय और निरपेक्ष चरम, और उत्तलता के परीक्षण निकालना, और पहले और दूसरे अवकलज से किसी फलन के आलेख के आकार का अध्ययन करना: वर्धन और ह्रास, चरम, अवतलता, नति परिवर्तन और वक्रता।
6. उद्देश्य 6। अवकल, द्विभाजन विधि और न्यूटन-रैफ़सन विधि से फलनों के मानों और समीकरणों के मूलों का सन्निकटन करना, प्रत्येक सन्निकटन की त्रुटि को माध्यमान प्रमेय, एकदिष्टता या उत्तलता से परिबद्ध करना, और पहचानना कि कोई विधि कब विफल होती है या धीरे अभिसरित होती है।
7. उद्देश्य 7। ज्यामिति, भौतिकी और अन्य विज्ञानों की स्थितियों को, जैसे परिवर्तन की दरें, संबंधित दरें और इष्टतमीकरण समस्याएँ, अवकलज से मॉडल करना, चरों, उनके मात्रकों और प्रांत को परिशुद्धता से निर्धारित करते हुए, और निरूपणों, गणनाओं और उपपत्तियों को लिखकर संप्रेषित करना, सही संकेतन के साथ, लाइबनिज़ संकेतन सहित, पूर्ण युक्ति-विन्यास के साथ और परिणामों की संभाव्यता की जाँच के साथ।

उद्देश्य 2, 4 और 5 मुख्यतः विषय-वस्तु की तीन इकाइयों के संगत हैं: उद्देश्य 2 इकाई 1 के, जो सीमाओं का अध्ययन करती है; उद्देश्य 4 इकाई 2 के, जो अवकलजों का अध्ययन करती है; उद्देश्य 5 इकाई 3 के, जो माध्यमान प्रमेयों को लागू करती है। लोपिताल नियम, यद्यपि इकाई 3 में कॉशी की माध्यमान प्रमेय से आरंभ करके सिद्ध किया जाता है, मुख्य रूप से सीमाएँ निकालने के काम आता है, और इसलिए उद्देश्य 2 का है। उद्देश्य 3 और 6 ऐसे धागे हैं जो तीनों इकाइयों में से होकर जाते हैं। उद्देश्य 3 के मुख्य पाठ हैं: इकाई 1 का सीमा और सांतत्य वाला पाठ, इकाई 2 का मध्यवर्ती मान प्रमेय वाला पाठ और इकाई 3 का वायरस्ट्रास प्रमेय वाला पाठ; अंतिम दो पूर्णता पर टिके हैं, जिसका उपयोग इकाई 1 एकदिष्ट फलनों की सीमाओं के लिए पहले ही करती है। सन्निकटन किसी अनंतसूक्ष्म के मुख्य भाग में, द्विभाजन में, अवकल में और माध्यमान प्रमेय से मिलने वाले परिबंधों में प्रकट होता है, और न्यूटन-रैफ़सन विधि में उसका अपना पाठ है। इसके विपरीत, पहला और सातवाँ उद्देश्य अनुप्रस्थ हैं: वे किसी एक इकाई के नहीं हैं, बल्कि सभी इकाइयों में उनका अभ्यास होता है। इससे यह निकलता है कि उनकी प्राप्ति किसी निश्चित पाठ को नहीं सौंपी जा सकती, और उन्हें पूरे पाठ्यक्रम में विकसित करना उचित है। फिर भी, दोनों के ऐसे पाठ भी हैं जो मुख्य रूप से उनकी सेवा करते हैं: पहले के, तीन सारांश पाठ, जिनका केंद्रीय भाग प्रत्येक इकाई की निगमनात्मक शृंखला को फिर से गढ़ता है; सातवें के, वे दो पाठ जिनकी विषय-वस्तु ही प्रश्न का निरूपण है, अर्थात् परिवर्तन की दरों और संबंधित दरों वाला पाठ और इष्टतमीकरण समस्याओं वाला पाठ।

विषय-वस्तु

पाठ्यक्रम पाँच इकाइयों में संगठित है। पहली और अंतिम इकाई पूरे मार्ग को ढाँचा देती हैं; बीच की तीन इकाइयाँ विषय-वस्तु का विकास करती हैं। इनमें से प्रत्येक एक परिचय पाठ से खुलती है, जो उसके पाठों, उसके विचारों की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि, उन्हें जन्म देने वाली समस्या और उनके महत्त्व को प्रस्तुत करता है, और एक सारांश पाठ से बंद होती है, जो इकाई की निगमनात्मक शृंखला को फिर से गढ़ता है, उसे पाठ्यक्रम के शेष भाग से और बीजगणित और ज्यामिति से जोड़ता है और पाठों के प्रश्नों से अधिक कठिन दस चुनौतियाँ प्रस्तावित करता है।

इकाई 0. पाठ्यक्रम का परिचय

इसमें यही पाठ है, जो पाठ्यक्रम का प्रयोजन, समग्र उद्देश्य, विषय-वस्तु, अध्ययन-भार और रूपरेखा निर्धारित करता है।

इकाई 1. सीमाएँ और सांतत्य

इसका उद्देश्य है: सीमा को एप्सिलॉन और डेल्टा से परिभाषित करना, उसके नियम सिद्ध करना और उसके सभी रूपों में, परिमित, एकपक्षीय, अनंत पर और अनंत, उसे निकालना; सीमाओं से अनंतस्पर्शियों को परिभाषित करना; सांतत्य को परिभाषित करना और प्रारंभिक फलनों के लिए उसे सिद्ध करना, और तुल्य अनंतसूक्ष्मों और अनंतबृहतों के द्वारा फलनों की तुलना करना।

1. सीमाएँ और सांतत्य: परिचय।
2. एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा।
3. सीमाओं का बीजगणित।
4. सैंडविच प्रमेय और त्रिकोणमितीय सीमाएँ।
5. एकपक्षीय सीमाएँ।
6. चर के अनंत की ओर अग्रसर होने पर सीमाएँ।
7. अनंत सीमाएँ।
8. अनंतस्पर्शी रेखाएँ और आलेखीय निरूपण की तकनीकें।
9. सीमा और सांतत्य।
10. प्रारंभिक फलनों का सांतत्य और महत्वपूर्ण सीमाएँ।
11. तुल्य अनंतसूक्ष्म और अनंतबृहत् फलन।
12. सीमाएँ और सांतत्य: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 2. अवकलज

इसका उद्देश्य है: अवकलज को सीमा के रूप में परिभाषित करना और उसे रैखिक सन्निकटन और काराथेओडोरी गुणनखंडन से अभिलक्षित करना; अवकलन के नियम और शृंखला नियम सिद्ध करना; मध्यवर्ती मान प्रमेय सिद्ध करना, जिससे प्रतिलोम का वह सांतत्य निकलता है जो उसके अवकलज के लिए आवश्यक है; प्रारंभिक फलनों, उनके प्रतिलोमों, अस्पष्ट रूप से परिभाषित फलनों और चर घातांक वाली घातों का अवकलन करना, और उच्च कोटि के अवकलजों, अवकल और परिवर्तन की दरों को लागू करना।

1. अवकलज: परिचय।
2. फलन की सीमा के रूप में अवकलज।
3. अवकलन के नियम।
4. प्रारंभिक फलनों के अवकलज।
5. फलनों के संघटन के अवकलज के लिए शृंखला नियम।
6. मध्यवर्ती मान प्रमेय।
7. प्रतिलोम फलन का अवकलज और अस्पष्ट अवकलन।
8. घातांक में चर और लघुगणकीय अवकलन।
9. उच्च कोटि के अवकलज और अवकल।
10. परिवर्तन की दरें और संबंधित दरें।
11. अवकलज: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 3. अवकलज के अनुप्रयोग

इसका उद्देश्य है: पूर्णता अभिगृहीत से आरंभ करके वायरस्ट्रास, फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी की प्रमेयों को सिद्ध करना, और उनसे लोपिताल नियम और एकदिष्टता, चरम और उत्तलता के परीक्षण निकालना; किसी आलेख की वक्रता का अध्ययन करना, इष्टतमीकरण समस्याएँ हल करना और न्यूटन-रैफ़सन विधि से मूलों का सन्निकटन करना।

1. अवकलज के अनुप्रयोग: परिचय।
2. वायरस्ट्रास का चरम मान प्रमेय।
3. फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय।
4. लोपिताल नियम।
5. एकदिष्टता और प्रथम अवकलज परीक्षण।
6. किसी फलन के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ।
7. अवतलता, उत्तलता और नति परिवर्तन बिंदु।
8. वक्रता और वक्रता त्रिज्या।
9. इष्टतमीकरण की समस्याएँ।
10. न्यूटन-रैफ़सन विधि।
11. अवकलज के अनुप्रयोग: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 4. पाठ्यक्रम का समापन

इसमें कलन I: अंतिम समीक्षा पाठ है, जो सात समग्र उद्देश्यों को याद दिलाता है, एक आकृति में दिखाता है कि पाठ्यक्रम का प्रत्येक पाठ उनमें से किसे सौंपा गया और प्रत्येक इकाई ने कौन-से विशिष्ट उद्देश्य प्राप्त किए, और प्रत्येक उद्देश्य के अनुसार समापन मूल्यांकनों के पहले प्रयास को एकत्र करता है।

अध्ययन-भार और क्रेडिट

किसी पाठ्यक्रम का अध्ययन-भार व्याख्यान के घंटों से नहीं मापा जाता, जो एक अतुल्यकालिक पाठ्यक्रम में होते ही नहीं, बल्कि उसे पढ़ने वाले के कुल काम से: पढ़ना, उपपत्तियों का अनुसरण करना, प्रश्न हल करना और दोहराना। अनुमान साइट के सभी पाठ्यक्रमों में एक ही विधि का पालन करता है: वह प्रत्येक पाठ के पाठ्य को पढ़ने का समय सौ शब्द प्रति मिनट की दर से गिनता है, प्रत्येक सूत्र को एक शब्द मानते हुए, और प्रति हल किए गए प्रश्न बीस मिनट, प्रति प्रस्तावित प्रश्न पैंतीस, प्रति चुनौती पैंतालीस और प्रति प्रवेश या समापन मूल्यांकन बारह मिनट गिनता है, और दोहराने के लिए दसवें भाग का अतिरिक्त समय जोड़ता है।

परिणाम

इकाइयों 1 से 3 के पाठों में कुल मिलाकर $140$ हल किए गए प्रश्न, $140$ प्रस्तावित प्रश्न और $30$ चुनौतियाँ हैं, और इनके अतिरिक्त छह इकाई मूल्यांकन। प्रति इकाई अनुमानित अध्ययन-भार, घंटे तक पूर्णांकित, इस प्रकार है:

• इकाई 0, पाठ्यक्रम का परिचय: $1$ घंटे से कम।
• इकाई 1, सीमाएँ और सांतत्य: $66$ घंटे।
• इकाई 2, अवकलज: $61$ घंटे।
• इकाई 3, अवकलज के अनुप्रयोग: $63$ घंटे।
• इकाई 4, पाठ्यक्रम का समापन: $1$ घंटे से कम।

विषय-वस्तु की तीनों इकाइयों का भार मिलता-जुलता है: इकाई 1 में अधिक पाठ हैं, और इकाई 3 में अधिक लंबे पाठ। कुल लगभग $191$ घंटे का काम है। इस आँकड़े को वही समझना उचित है जो यह है: उस व्यक्ति के लिए एक अनुमान जो सभी उपपत्तियों का अध्ययन करता है और सभी प्रश्न और चुनौतियाँ हल करता है। जिसने पहले कलन पढ़ा हो, या जो चुनौतियों को छुए बिना प्रस्तावित प्रश्नों तक सीमित रहे, उसे काफ़ी कम समय लगेगा; जो विषय पहली बार और सिद्ध करने के अभ्यास के बिना पढ़ता है, उसे अधिक की आवश्यकता हो सकती है, विशेषकर इकाई 1 में, जहाँ एप्सिलॉन और डेल्टा के साथ विचार करना सीखा जाता है।

अब, यह आँकड़ा नाममात्र है: यही पाठ्यक्रम के क्रेडिट निर्धारित करता है, और यह स्थिर गति से पढ़ना और प्रति चुनौती पौन घंटा मानकर चलता है। जब तक वास्तविक विद्यार्थियों के साथ इसे मापा न जाए, इसके साथ एक यथार्थवादी परास देना उचित है। यदि पढ़ना मानी गई गति की आधी गति से चले, जैसा तब होता है जब प्रत्येक उपपत्ति कागज़ और पेंसिल से फिर से लिखी जाती है, और प्रत्येक चुनौती पैंतालीस के बजाय पचहत्तर मिनट माँगे, तो वही विधि लगभग $231$ घंटे देगी। अतः अपेक्षित अध्ययन-भार लगभग $191$ और लगभग $231$ घंटों के बीच स्थित है। ऊपरी छोर एक सावधानीपूर्ण सीमा है, कोई माप नहीं; परास तब सुधारा जाएगा जब यह ज्ञात होगा कि पाठ्यक्रम पढ़ने वाले वास्तव में कितना समय लगाते हैं, और तब तक क्रेडिट नाममात्र आँकड़े से गिने जाते हैं।

सुझाई गई गति

गतियों को नाम देने के लिए यह योजना वही मानदंड अपनाती है जो साइट की अन्य योजनाएँ: पूर्णकालिक अध्ययन $60$ क्रेडिट के एक शैक्षणिक वर्ष का है, लगभग चालीस सप्ताहों में बँटे लगभग $1650$ घंटे, अर्थात् प्रति सप्ताह लगभग $40$ घंटे, और अंशकालिक अध्ययन उसका आधा है, प्रति सप्ताह लगभग $20$ घंटे। इससे सोलह सप्ताहों के एक सत्र की अनुशंसित गति निकलती है, प्रति सप्ताह लगभग $12$ घंटे के अध्ययन के साथ, जो पूर्णकालिक के एक-तिहाई से कम है; यथार्थवादी परास के साथ, प्रति सप्ताह $12$ से $14$ घंटे, यह अंशकालिक से नीचे ही रहती है। इस प्रकार कलन I बीजगणित और ज्यामिति II के बाद वाले सत्र में पढ़ा जा सकता है, और कलन II उसके बाद वाले सत्र में।

एक गहन गति, प्रति सप्ताह लगभग $24$ घंटे, अंशकालिक से कुछ अधिक, पाठ्यक्रम को आठ सप्ताहों में पूरा कर देती है, जो उस व्यक्ति के अध्ययन-भार के बराबर है जो उसी अवधि में कोई अन्य कठिन पाठ्यक्रम नहीं पढ़ता। एक अधिक ढीली गति, प्रति सप्ताह लगभग $6$ घंटे, उसे दो सत्रों तक फैला देती है, जिन्हें इस प्रकार बाँटा जा सकता है: इकाइयाँ 0 से 2, अर्थात् सीमाएँ, सांतत्य और अवकलज, लगभग $128$ घंटे लेती हैं, और इकाइयाँ 3 और 4, अर्थात् अवकलज के अनुप्रयोग और समापन, लगभग $63$।

क्रेडिट

इस साइट के क्रेडिट उस कुल अध्ययन-भार को मापते हैं जो कोई पाठ्यक्रम उसे पढ़ने वाले से माँगता है (पढ़ना, प्रश्न, चुनौतियाँ और दोहराना), न कि कक्षा के घंटों को। एक क्रेडिट लगभग $27.5$ घंटे के काम के बराबर है, और पूर्णकालिक अध्ययन का एक वर्ष $60$ क्रेडिट के, अर्थात् लगभग $1650$ घंटों के बराबर; यह वही मानदंड है जिससे ऊपर का अनुभाग अध्ययन की गतियों के नाम रखता है।

फिर भी, अनुमानित $191$ घंटों को $27.5$ से भाग देने पर 6.95 मिलता है, जो पूर्णांकित होकर $7$ होता है। यदि क्रेडिट के लिए $25$ से $30$ घंटे के काम का परास स्वीकार किया जाए, तो पाठ्यक्रम के क्रेडिट की संख्या $C$ 6.4 और 7.6 के बीच सीमित होती है:

अतः पाठ्यक्रम $7$ क्रेडिट का है, पूर्णकालिक अध्ययन के एक वर्ष के आठवें भाग से कुछ कम। जो पाठ्यक्रम का केवल एक भाग पढ़ना चाहे, वह प्रति इकाई घंटों की सूची का उपयोग कर सकता है: उदाहरण के लिए, इकाइयाँ 0 से 2 मिलकर लगभग $128$ घंटे बनाती हैं, अर्थात् लगभग $5$ क्रेडिट।

इनकी उपयोगिता व्यावहारिक है: ये साइट के पाठ्यक्रमों के भार की आपस में तुलना करने में, और यह तय करने में सहायता करते हैं कि उपलब्ध समय से अधिक हुए बिना एक साथ कितने पाठ्यक्रम पढ़ना उचित है। उदाहरण के लिए, सोलह सप्ताह के एक सत्र में अंशकालिक अध्ययन, अर्थात् लगभग $320$ घंटे, कुल लगभग $12$ क्रेडिट के पाठ्यक्रमों के लिए पर्याप्त है; उसी सत्र में पूर्णकालिक अध्ययन, लगभग $23$ क्रेडिट के लिए।

ये क्रेडिट अध्ययन की योजना बनाने के लिए साइट का अपना माप हैं: ये किसी आधिकारिक क्रेडिट प्रणाली के अनुरूप नहीं हैं, और न ही किसी संस्था द्वारा शैक्षणिक मान्यता का संकेत देते हैं।

पाठ्यक्रम की रूपरेखा

अध्ययन का स्वरूप

पाठ्यक्रम अतुल्यकालिक, ऑनलाइन और स्व-गति वाला है: इसकी कोई तिथियाँ, सजीव सत्र या समय-सीमाएँ नहीं हैं, और प्रत्येक विद्यार्थी उस गति से आगे बढ़ता है जिसकी अनुमति उसकी तैयारी और उसका समय देते हैं। यह साइट की चौदह भाषाओं में उपलब्ध है, सभी में एक ही गणित के साथ: सूत्र और उपपत्तियों के चरण हर संस्करण में समान हैं, और केवल पाठ्य का अनुवाद होता है। प्रत्येक पाठ बताता है कि उससे पहले किस पाठ का अध्ययन करना उचित है, और आरंभिक पाठ बीजगणित और ज्यामिति का उल्लेख करते हैं, जिससे अनुशंसित क्रम स्पष्ट है और जाँचा जा सकता है।

एक पाठ की संरचना

सभी विषय-पाठ एक ही संरचना का पालन करते हैं। वे एक सार और अपने अधिगम उद्देश्यों की एक सूची से आरंभ होते हैं, जो अवलोकनीय प्रदर्शनों के रूप में कहे गए हैं। फिर सिद्धांत आता है, परिभाषाओं, सटीकता से कहे गए प्रमेयों और उनकी उपपत्तियों, और उदाहरणों के साथ। उपपत्तियाँ और उदाहरण चरण-वादकों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं: प्रत्येक चरण युक्ति की एक पंक्ति लिखता है, उसमें आने वाले पदों को उजागर करता है और, जब वह किसी पहले के परिणाम पर टिका हो, तो उस पर लौटकर पढ़ते समय उसे उजागर करता है, ताकि युक्ति की स्मृति दृष्टि में बनी रहे; कई के साथ एक आकृति होती है जो प्रत्येक चरण के साथ बदलती है। पाठ को पाँच हल किए गए प्रश्न समाप्त करते हैं, अपने चरण-दर-चरण हल के साथ, और पाँच प्रस्तावित प्रश्न, प्रत्येक के साथ एक मुड़ा हुआ संकेत और, उसके बाद, अंतिम उत्तर, ताकि विद्यार्थी मार्ग प्रकट हुए बिना अपना परिणाम जाँच सके; कुछ प्रस्तावित प्रश्न, विशेषकर उपपत्ति वाले, उत्तर के बाद मुड़ा हुआ एक विस्तृत हल जोड़ते हैं, जिसे अपना हल लिख लेने के बाद ही खोलना उचित है।

परिचय पाठों और सारांश पाठों की अपनी संरचना है। परिचय इकाई, उसके इतिहास, उसे जन्म देने वाली समस्या और उसके महत्त्व को प्रस्तुत करता है; सारांश एक आकृति में इकाई की निगमनात्मक शृंखला को, उन परिणामों के साथ जिन्हें वह फिर से उपयोग करता है और उन कड़ियों के साथ जिन्हें वह सिद्ध करता है, फिर से गढ़ता है, उसे पूर्ववर्ती इकाइयों से और बीजगणित और ज्यामिति से जोड़ता है, और दस चुनौतियाँ प्रस्तावित करता है, प्रत्येक के साथ संकेत, अंतिम उत्तर और मुड़ा हुआ एक विस्तृत हल, जो कई पाठों को मिलाती हैं और प्रस्तावित प्रश्नों से अधिक सूझ माँगती हैं।

वाचक

हर पाठ को साइट के वाचक से ऊँची आवाज़ में सुना जा सकता है, जो उपकरण की अपनी आवाज़ों का प्रयोग करता है: पाठ्य वैसे ही पढ़ा जाता है जैसे लिखा है और सूत्र शब्दों में उच्चारित होते हैं। इससे स्क्रीन से दूर किसी पाठ को दोहराया जा सकता है, चरण-वादक को देखते हुए सुनकर किसी उपपत्ति का अनुसरण किया जा सकता है, और दृष्टि-सीमाओं के साथ अध्ययन किया जा सकता है।

मूल्यांकन

पाठ्यक्रम न अंक देता है न प्रमाणित करता है: साइट पर उसकी जाँच रचनात्मक है। प्रस्तावित प्रश्न प्रत्येक पाठ के उद्देश्यों की प्राप्ति को जाँचने देते हैं, और चुनौतियाँ प्रत्येक इकाई के उद्देश्यों की प्राप्ति को। इसके अतिरिक्त, विषय-वस्तु की तीनों इकाइयों में से प्रत्येक के परिचय में एक प्रवेश मूल्यांकन है और सारांश में, चुनौतियों से पहले, एक समापन मूल्यांकन: ये संक्षिप्त स्व-जाँचें हैं, जो ब्राउज़र में बिना अंकों के जाँची जाती हैं। प्रवेश मूल्यांकन में इकाई के बारे में नौ या दस प्रश्न होते हैं, और उनके अतिरिक्त पाँच या छह प्रश्न उस बारे में जो इकाई पूर्ववर्ती इकाइयों से या बीजगणित और ज्यामिति से ज्ञात मानती है, और समापन मूल्यांकन में ग्यारह या बारह; दोनों हर त्रुटि पर बताते हैं कि कौन-सा पाठ दोहराना है, और प्रगति दिखाने के लिए उनकी आपस में तुलना की जाती है। अंतिम समीक्षा हर समापन मूल्यांकन के पहले प्रयास को समग्र उद्देश्य के अनुसार एक रूपरेखा-चित्र में एकत्र करती है, जो उन्हीं की तरह केवल विद्यार्थी के ब्राउज़र में सहेजा जाता है। कौशलों का सत्यापन, प्रमाणन के मान के साथ, आगे चलकर और इस साइट के बाहर, किसी अन्य प्लेटफ़ॉर्म पर होगा।

समग्र उद्देश्यों के लिए इसके अतिरिक्त प्राप्ति के निम्नलिखित प्रमाण सुझाए जाते हैं, जिन्हें प्रत्येक विद्यार्थी स्वयं तैयार कर सकता है:

• उद्देश्य 1: पाठ देखे बिना पाठ्यक्रम के किसी प्रमेय की उपपत्ति लिखना, जैसे काराथेओडोरी गुणनखंडन के साथ शृंखला नियम या लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय, और एक प्रत्युदाहरण से दिखाना कि उसकी कोई भी परिकल्पना अनावश्यक नहीं है।
• उद्देश्य 2: किसी अनिर्धार्य सीमा को दो तरीकों से निकालना, तुल्य अनंतसूक्ष्मों से और लोपिताल नियम से, और किसी फलन के सभी अनंतस्पर्शी ज्ञात करना।
• उद्देश्य 3: बोलत्सानो प्रमेय और एकदिष्टता से सिद्ध करना कि किसी समीकरण का किसी अंतराल में ठीक एक हल है, और किसी संतत फलन के अंतर्गत किसी संवृत और परिबद्ध अंतराल का प्रतिबिंब ज्ञात करना।
• उद्देश्य 4: चर आधार और चर घातांक वाली किसी घात का और किसी अस्पष्ट रूप से परिभाषित फलन का अवकलन करना, यह स्पष्ट करते हुए कि प्रत्येक अवकलज कहाँ अस्तित्व में है।
• उद्देश्य 5: किसी फलन की एकदिष्टता, चरम, उत्तलता और नति परिवर्तन बिंदुओं का अध्ययन करना, और उनसे उसका आलेख खींचना।
• उद्देश्य 6: बीजीय रूप से हल न होने वाले किसी समीकरण के किसी मूल का न्यूटन-रैफ़सन विधि से सन्निकटन करना, आरंभ-बिंदु चुनना और प्राप्त सन्निकटन की त्रुटि को परिबद्ध करना।
• उद्देश्य 7: किसी इष्टतमीकरण समस्या या संबंधित दरों की समस्या का पूर्ण हल लिखना, निरूपण, प्रांत, विकास, चरम के औचित्य, उत्तर और संभाव्यता की जाँच के साथ, इस प्रकार कि कोई अन्य व्यक्ति अतिरिक्त व्याख्याओं के बिना उसका अनुसरण कर सके।

इस पाठ्यक्रम को कैसे पढ़ें

पाठ्यक्रम क्रम से पढ़ने के लिए बनाया गया है। प्रत्येक इकाई पूर्ववर्ती इकाइयों और बीजगणित और ज्यामिति के दोनों पाठ्यक्रमों को मानकर चलती है, और अनेक उपपत्तियाँ पहले के पाठों के परिणामों का उल्लेख करती हैं; किसी पाठ को छोड़ देना, देर-सबेर, उस पर लौटने को विवश करता है। यह बात विशेष रूप से इकाई 1 पर लागू होती है: एप्सिलॉन और डेल्टा वाली परिभाषाएँ और उसके आरंभिक पाठों की प्रमेयिकाएँ बाद की सभी उपपत्तियों को आधार देती हैं।

प्रत्येक इकाई में जाँच के दो बिंदु हैं। प्रवेश मूल्यांकन, परिचय के आरंभ में, आरंभ-बिंदु है: इकाई पढ़ने से पहले, कुछ भी देखे बिना, उसका उत्तर देना और उन पाठों को लिख लेना उचित है जिनकी ओर त्रुटियाँ संकेत करती हैं, क्योंकि उन्हीं पर अधिक ध्यान चाहिए। समापन मूल्यांकन, सारांश में और चुनौतियों से पहले, तुलना है: उसका उत्तर पाठ पूरे करने पर, इसी तरह कुछ देखे बिना, दिया जाता है, और प्रवेश मूल्यांकन से उसकी तुलना की जाती है ताकि दिखे कि क्या बदला और किन पाठों को दोहराना उचित है। दोनों में पहला प्रयास गिना जाता है, वही जिसकी तुलना होती है और जिसे अंतिम समीक्षा का रूपरेखा-चित्र एकत्र करता है; बाद के प्रयास प्रतिक्रिया देख लेने के बाद होते हैं। चुनौतियाँ जाँच को पूरा करती हैं, क्योंकि वे उसे मिलाने और लिखने की माँग करती हैं जिसे छोटे प्रश्न केवल छूते हैं। इससे निकलता है कि जो मानता है कि किसी इकाई पर उसका अधिकार हो चुका है, उसे यह निर्णय एक ही परीक्षा से नहीं करना चाहिए: यदि उसका समापन मूल्यांकन ठोस है और वह सारांश की चुनौतियाँ हल कर लेता है, तो वह बाद वाली इकाई पर जा सकता है; यदि नहीं, तो उन पाठों को फिर से पढ़ना उचित है जिनकी ओर दोनों संकेत करते हैं।

हर पाठ में पहले सारांश और उद्देश्य पढ़ना उचित है, जो बताते हैं कि क्या खोजा जा रहा है; फिर कागज़ और पेंसिल के साथ सिद्धांत पढ़ना, वादक के लिखने से पहले उपपत्तियों के हर चरण का अनुमान लगाने का प्रयास करते हुए; हल किए गए प्रश्नों का हल देखने से पहले उन्हें आज़माना, और प्रस्तावित प्रश्नों को बिना सहायता के हल करना, संकेत तभी खोलते हुए जब प्रयास समाप्त हो चुका हो, और उत्तर केवल अंत में, जाँचने के लिए। जिस प्रश्न का उत्तर उसे आज़माने से पहले देख लिया गया, वह हल नहीं हुआ, केवल पढ़ा गया। कलन के पाठ्यक्रम में, इसके अतिरिक्त, मानों की सारणियों और कैलकुलेटर द्वारा खींचे गए आलेखों पर संदेह करना उचित है: वे किसी सीमा या किसी चरम का संकेत देते हैं, पर उसे सिद्ध नहीं करते, और इकाई 1 ऐसी सारणियाँ दिखाती है जो भ्रम में डालती हैं।

चुनौतियाँ पाठों के प्रश्नों से अधिक कठिन हैं, और यह सामान्य है कि कुछ को अलग-अलग दिनों में कई प्रयास चाहिए। किसी एक पर अनिश्चित काल तक रुकना उचित नहीं: उसे लिख लेना, आगे बढ़ते रहना और बाद में उस पर लौटना प्रायः सबसे छोटा रास्ता है। अब, अनुमानित अध्ययन-भार मानता है कि सभी को गंभीरता से आज़माया जाता है, और पाठ्यक्रम जो सिखा सकता है उसका बड़ा भाग उसी प्रयास पर निर्भर है।

अंत में, लिखना उचित है। किसी उपपत्ति या पूर्ण हल को, उसके आधार-वाक्यों और निष्कर्षों सहित, लिखना ही यह जानने का एकमात्र उपाय है कि बात समझी गई या नहीं, और यह पाठ्यक्रम के उद्देश्यों में सातवाँ भी है। एक अध्ययन-पुस्तिका, जिसमें प्रत्येक इकाई की परिभाषाएँ और प्रमेय अपने शब्दों में फिर से लिखे जाते हैं, वह सबसे अच्छी दोहराव-सामग्री है जो पाठ्यक्रम छोड़ सकता है, और कलन II में और भी अधिक होगी, जो यहाँ सिद्ध की गई लगभग हर बात पर लौटेगा।