微分積分学 I：学習計画

要約

この課はコースの最初の単元をなし、コースの学習計画の全体を示す。コースの目的、対象とする人、代数と幾何から引き継ぐもの、そしてこのコースが通じているコースを述べる。コースが掲げる七つの全体的な学習目標を述べる。三つの内容の単元と、それを構成する課を記述する。コースが求める学習量、その単元ごとの配分、推奨する学習ペース、単位数を見積もる。各課がどのように組み立てられ、学習の確かめ方がどのように考えられているかを説明し、最後に、コースの学び方について助言する。

学習目標

コースの単元の順序を記述し、各単元がそれ以降の単元に何をもたらし、代数と幾何 I と II から何を受け取るかを説明する。
コースの全体的な学習目標を述べ、それぞれの目標にどの単元とどの課が寄与するかを見分ける。
単元ごとの見積もり時間から、コースまたはその一部が求める学習量を計算し、それに基づいて個人の学習ペースを計画する。
サイトの課の構成と、その例題、演習問題、挑戦課題、単元テストの適切な使い方を説明する。

目的と対象者

三つの古い問題が微分積分学を生んだ。動く物体のある瞬間における速さ、曲線の接線の傾き、曲線で囲まれた図形の面積である。三つのいずれでも、そのまま代入すると $\frac{0}{0}$ か意味のない和が得られ、正しい答えは、近似の値が近づいていく先のものである。このコースは、近づくというこの考えに極限という正確な定義を与え、それを用いて最初の二つの問題を学ぶ。それらは導関数に通じる。三つ目の問題は積分に通じ、それは微分積分学 II：積分法の主題である。

その目的は、一変数の実関数の微分法を極限の定義と完備性公理の上に築き、そこから、導関数が関数の変化、形、極値について教えてくれることを、完全な証明とともに導くことである。そうであれば、このコースは微分の公式の寄せ集めではなく、演繹による建物である。用いる結果はすべて述べて証明するか、その証明が別のコースに属するときは、認めることを明示する。陰関数の存在を保証する定理や、ニュートン・ラフソン法が収束する速さがそうであり、これらはのちに学ぶ道具を必要とする。定義は量化子を含む言明として書かれ、ε と δ による証明は再利用できるように組み立てられる。極限の演算法則の課にある三つの補題が極限の公式を支え、カラテオドリの分解が微分の公式を支える。

このコースは、代数と幾何 IIを修了した人、またはほかの方法でその内容を身につけた人を対象とする。すなわち、理学、工学、経済学、数学教育を専攻する大学一年生、大学入学の準備をしている学校教育の最終学年の生徒、そして、かつて公式の寄せ集めとして学んだ微分積分学を厳密に組み立て直したいすべての人である。

前提知識と前提コース

このコースの前提コースは代数と幾何 IIであり、それはさらに代数と幾何 Iを前提とする。この二つのコースから、このコースが主に用いるのは次のものである。上限と下限を伴う実数の完備性公理、そして不等式と絶対値の計算。後者は実数直線の課が確立し、ボルツァーノの定理、ワイエルシュトラスの定理、平均値の定理はその上に立つ。関数、その逆関数、その変換、その符号表。実数の指数をもつ累乗、数 $e$ と自然指数関数、対数、双曲線関数。帰納法と二項定理。そして代数と幾何 II からは、三角関数、その逆関数、加法定理と和積の公式、そして不等式 $\sin x < x < \tan x$ （ただし $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ）であり、正弦の導関数はこの不等式に依存する。

ただし、これらの結果の多くは、極限を必要とするために、そこでは証明なしに認められた。有理関数と三角関数の連続性、漸近線、中間値の定理である。このコースはそれらを一つずつ証明する。前提知識のどれかに不安がある人は、代数と幾何の該当する単元のまとめの課に戻ることができる。さらに、各単元の導入テストには、その単元が既知とすることについての問いが含まれ、誤りごとに復習するとよい課が示される。

最後に、このコースは、サイトで予定されている述語論理のコース、数理論理学 II と並行して学べるように考えられている。各課は定義を量化子を含む言明として書き、その否定を扱うが、そのコースには依存しない。形式的な推論の習慣を先に身につけたい人は、数理論理学 I：命題論理を学ぶことができる。

このコースの行き先

二つのコースが、このコースを前提とする。微分積分学 II：積分法は、積分を長方形の面積の和の極限として定義し、基本定理によって導関数と結びつけ、微分の公式を逆向きにたどる。基本定理の土台となるのは、同じ導関数をもつ二つの関数は定数だけ異なるという系である。置換積分は合成関数の微分法を逆にたどり、部分積分は積の微分の公式を逆にたどる。力学 I：力学の基礎は、速度と加速度を位置の一次導関数と二次導関数としてとらえる。微分積分学 II のあと、微分積分学 III：多変数の微分積分は、極限、導関数、極値を多変数関数へ広げる。

このことから、このコースが明確な判断のもとでその後のコースに残すものが従う。微分積分学 II には、一様連続性、原始関数、数列（これは定積分への道を開き、最後には級数へと通じる）、そしてテイラー多項式を残す。テイラー多項式は微分の誤差を見積もり、ニュートン・ラフソン法の 2 次収束を証明する。微分積分学 III には、媒介変数表示された曲線と陰関数定理を残す。第 2 単元の陰関数の微分法は、この定理を前提としている。

このコースの結果は、このコースを前提としないコースにも現れる。金融数学では、連続複利が重要な極限となり、一連の支払いの現在価値を与えられた金額に等しくする利率が、ニュートン・ラフソン法で計算される。R によるデータ分析では、成長のモデルが無限遠でのふるまいによって区別され、データの平均が、平方の和を最小にする数として得られる。C++ プログラミング Iでは、二分法が中間値の定理に依拠し、アルゴリズムのコストが大きい $\operatorname{O}$ の記法で測られ、浮動小数点の算術が、コンピュータが値の表を欺く丸め誤差を説明する。第 1 単元の表がその例である。

全体的な学習目標

以下の目標は、コースを修了した人ができるようになるべきことを述べる。各目標は観察可能な行為として定式化され、具体的な課題で確かめられるようにしてある。各課はそれぞれ固有の目標を掲げる。そして締めくくりの課は、課ごとに、それぞれの課がこの七つの目標のどれに割り当てられたかを示す。目標には、その課で引用できるように番号を付ける。

目標 1。明示的な演繹的推論によって微分法の命題を証明する。定義を量化子を含む言明として書いてその否定をつくり、すでに証明した補題を再利用する ε と δ による論証を組み立て、存在定理を完備性公理から導き、ある仮定が省けないことを反例で示し、各証明の中で導いたことと認めたことを区別する。
目標 2。一変数の実関数の極限、すなわち有限の極限、片側極限、無限遠における極限、無限大の極限を定義して計算し、極限の演算法則、はさみうちの原理、重要な極限、同値な無限小、ロピタルの定理によって不定形を解消し、それらを用いて関数の漸近線とグラフのかき方を定める。
目標 3。関数の連続性を判定してその不連続点を分類し、初等関数とその逆関数の連続性を証明し、完備性公理に基づくボルツァーノの定理、中間値の定理、ワイエルシュトラスの定理を適用して、解と最大値・最小値の存在を証明し、区間の像を求める。
目標 4。導関数を平均変化率の極限として定義し、一次近似とカラテオドリの分解によって特徴づけ、微分の公式、合成関数の微分法、逆関数の微分法を証明し、それらを用いて初等関数、陰関数、指数が変数である累乗を微分し、高階導関数を求める。その際、各導関数の定義域を明確にする。
目標 5。フェルマーの定理、ロルの定理、ラグランジュの平均値の定理、コーシーの平均値の定理を証明して適用し、そこから単調性、極値と最大値・最小値、凹凸の判定法を導き、一次導関数と二次導関数によって関数のグラフの形、すなわち増減、極値、凹凸、変曲点、曲率を調べる。
目標 6。微分、二分法、ニュートン・ラフソン法によって関数の値と方程式の解の近似値を求め、各近似の誤差を平均値の定理、単調性、凹凸によって見積もり、方法がうまくいかないときや収束が遅いときを見分ける。
目標 7。変化率、関連する変化率、最適化問題のような幾何学、物理学、そのほかの科学の状況を導関数によってモデル化し、変数、その単位、定義域を正確に定め、立式、計算、証明を、ライプニッツの記法を含む正しい記法、完全な論証、結果の妥当性の検討とともに書いて伝える。

目標 2、4、5 は、おおむね三つの内容の単元に対応する。目標 2 は極限を学ぶ第 1 単元に、目標 4 は導関数を学ぶ第 2 単元に、目標 5 は平均値の定理を応用する第 3 単元に対応する。ロピタルの定理は、第 3 単元でコーシーの平均値の定理から証明されるが、主に極限の計算に役立つので、目標 2 に属する。目標 3 と目標 6 は三つの単元を貫く糸である。目標 3 の主な課は、第 1 単元の極限と連続性の課、第 2 単元の中間値の定理の課、第 3 単元のワイエルシュトラスの定理の課である。あとの二つは完備性に基づき、第 1 単元はすでに単調関数の極限に完備性を用いている。近似は、無限小の主要部、二分法、微分、平均値の定理が与える誤差の見積もりに現れ、ニュートン・ラフソン法にその固有の課をもつ。これに対して、第一と第七の目標は横断的である。どれか一つの単元に属するのではなく、すべての単元で練習される。したがって、その達成を特定の課に帰することはできず、コース全体を通じて養うのがよい。とはいえ、どちらにも主としてそれに資する課がある。第一の目標には、各単元の演繹の鎖を中心部分で再構成する三つのまとめの課が、第七の目標には、問題の立式そのものが題材である二つの課、すなわち変化率と関連する変化率の課と最適化問題の課がそれにあたる。

内容

コースは五つの単元からなる。最初と最後の単元は全体の道のりの枠組みをなし、中間の三つの単元が内容を展開する。これらの各単元は導入の課で始まる。導入の課は単元の各課、その考え方の歴史的背景、それらを生んだ問題、その意義を示す。そして単元はまとめの課で閉じる。まとめの課は単元の演繹の鎖を再構成し、それをコースのほかの部分および代数と幾何と結びつけ、各課の問題よりも難しい十の挑戦課題を出す。

第 0 単元コースの紹介

この単元はこの課からなり、この課がコースの目的、全体目標、内容、学習量、設計を定める。

第 1 単元極限と連続性

その目標は、極限を ε と δ によって定義し、その法則を証明し、有限、片側、無限遠、無限大というあらゆる形で極限を計算すること、極限によって漸近線を定義すること、連続性を定義して初等関数についてそれを証明すること、そして同値な無限小と無限大によって関数を比較することである。

第 2 単元導関数

その目標は、導関数を極限として定義し、一次近似とカラテオドリの分解によって特徴づけること、微分の公式と合成関数の微分法を証明すること、中間値の定理を証明し、そこから逆関数の微分に必要な逆関数の連続性を導くこと、初等関数、その逆関数、陰関数、指数が変数である累乗を微分し、高階導関数、微分、変化率を応用することである。

第 3 単元導関数の応用

その目標は、完備性公理から出発してワイエルシュトラス、フェルマー、ロル、ラグランジュ、コーシーの定理を証明し、そこからロピタルの定理と、単調性、極値、凹凸の判定法を導くこと、グラフの曲率を調べ、最適化問題を解き、ニュートン・ラフソン法によって方程式の解の近似値を求めることである。

第 4 単元コースのまとめ

この単元は微分積分学 I：最終総括の課からなる。この課は七つの全体目標を振り返り、コースの各課がそのどれに割り当てられたか、各単元がどの個別目標を達成したかを図で示し、まとめテストの最初の解答を目標ごとにまとめる。

学習量と単位

コースの学習量は講義の時間で測るのではない。非同期のコースには講義の時間がないからである。測るのは学ぶ人の作業の総量、すなわち読むこと、証明をたどること、問題を解くこと、復習することである。見積もりはサイトのすべてのコースで同じ方法に従う。各課の本文を読む時間を一分あたり百語として、数式は一つを一語と数え、例題一題につき二十分、演習問題一題につき三十五分、挑戦課題一題につき四十五分、導入テストまたはまとめテスト一回につき十二分を数え、復習のために十分の一の余裕を加える。

結果

第 1 単元から第 3 単元までの課は全体で、例題 $140$ 題、演習問題 $140$ 題、挑戦課題 $30$ 題を含み、さらに六つの単元テストがある。単元ごとの見積もり学習量は、時間単位に丸めると次のとおりである。

第 0 単元、コースの紹介： $1$ 時間未満。
第 1 単元、極限と連続性： $66$ 時間。
第 2 単元、導関数： $61$ 時間。
第 3 単元、導関数の応用： $63$ 時間。
第 4 単元、コースのまとめ： $1$ 時間未満。

三つの内容の単元の負担は同程度である。第 1 単元は課の数が多く、第 3 単元は課が長い。合計はおよそ $191$ 時間の作業である。この数字は、あるがままに読むべきである。すなわち、すべての証明を学び、すべての問題と挑戦課題を解く人についての見積もりである。すでに微分積分学を学んだことのある人や、挑戦課題に取り組まず演習問題にとどめる人は、かなり少ない時間で済む。この主題を初めて学び、証明する習慣のない人は、より多くの時間を要するかもしれない。とくに、ε と δ による推論を学ぶ第 1 単元ではそうである。

ただし、この数字は名目上のものである。コースの単位はこの数字で決まり、一定の速さで読むこと、挑戦課題一題に四分の三時間をかけることを前提とする。実際の受講者で測定されるまでは、現実的な幅を添えておくのがよい。各証明を紙と鉛筆で書き直すときのように読む速さが想定の半分になり、挑戦課題一題に四十五分ではなく七十五分かかるとすれば、同じ方法でおよそ $231$ 時間になる。したがって、見込まれる学習量はおよそ $191$ 時間からおよそ $231$ 時間の間にある。上限は慎重な見積もりであって測定値ではない。この幅は、このコースを学ぶ人が実際にかける時間がわかった時点で修正し、それまでは名目上の数字で単位を計算する。

推奨するペース

ペースを呼び分けるため、この計画はサイトのほかの計画と同じ基準を使う。フルタイムとは $60$ 単位の一学年の学習量、すなわちおよそ四十週にわたるおよそ $1650$ 時間、つまり週におよそ $40$ 時間であり、パートタイムはその半分、週におよそ $20$ 時間である。ここから、推奨するペースは十六週の一学期で、週におよそ $12$ 時間の学習となる。これはフルタイムの三分の一に満たない。現実的な幅をとれば、週 $12$ 時間から $14$ 時間で、なおパートタイムを下回る。こうして、微分積分学 I は代数と幾何 II に続く学期を、微分積分学 II はさらにその次の学期を占めることができる。

集中的なペース、週およそ $24$ 時間は、パートタイムをやや上回り、八週間でコースを終える。これは、同じ時期にほかの要求の高いコースを一つも学ばない人の学習量にあたる。よりゆとりのあるペース、週およそ $6$ 時間なら、コースは二学期にわたり、次のように分けられる。第 0 単元から第 2 単元まで、すなわち極限、連続性、導関数がおよそ $128$ 時間、第 3 単元と第 4 単元、すなわち導関数の応用とまとめがおよそ $63$ 時間である。

単位

このサイトの単位は、コースが学ぶ人に求める学習の総量（読むこと、問題、挑戦課題、復習）を測るものであり、授業の時間を測るものではない。一単位はおよそ $27.5$ 時間の学習にあたり、フルタイムの一年は $60$ 単位、すなわちおよそ $1650$ 時間にあたる。これは、前の項でペースを呼び分けるのに用いたのと同じ基準である。

さて、見積もった $191$ 時間を $27.5$ で割ると 6.95 が得られ、これを丸めて $7$ とする。一単位の幅を $25$ 時間から $30$ 時間の学習と認めるなら、このコースの単位数 $C$ は 6.4 と 7.6 のあいだに挟まれる。

\left( \frac{191}{30} \right) \leq C \leq \left( \frac{191}{25} \right)

したがって、このコースは $7$ 単位であり、フルタイムの一学年の八分の一をやや下回る。コースの一部だけを学びたい人は、単元ごとの時間の一覧を使うことができる。たとえば、第 0 単元から第 2 単元までで合計およそ $128$ 時間、すなわちおよそ $5$ 単位になる。

単位の効用は実際的なものである。単位によって、サイトのコースどうしの負担を比べ、使える時間を超えずに同時にいくつ学ぶのがよいかを決めることができる。たとえば、十六週の一学期をパートタイムで、すなわちおよそ $320$ 時間を使える人は、合計およそ $12$ 単位のコースに取り組むことができる。同じ学期をフルタイムで使えるなら、およそ $23$ 単位である。

これらの単位は、学習を計画するためにこのサイトが独自に用いる尺度であり、いかなる公的な単位制度にも対応せず、いかなる機関による学術的な認定を意味するものでもない。

コースの設計

形態

コースは非同期、オンライン、自分のペースで進めるものである。日程もライブ授業も締め切りもなく、受講者はそれぞれの準備と時間が許す速さで進む。コースはサイトの十四の言語で提供され、どの言語でも数学は同じである。数式と証明の各ステップはどの版でも同一で、訳されるのは本文だけである。各課は先に学んでおくとよい課を示し、最初の課は代数と幾何を参照するので、推奨される順序は明示されており、確かめることができる。

一つの課の構成

テーマを扱う課はすべて同じ構成をとる。まず概要と、観察可能な行為として定式化した固有の学習目標の一覧がある。続いて理論があり、定義、正確に述べられた定理とその証明、そして例からなる。証明と例はステップ再生器として示される。各ステップは推論の一行を書き、関わる項を強調し、先の結果に依拠するときはその結果に立ち返って、読んでいる間それを強調する。こうして推論の記憶が目に見える形で残る。多くの例には、ステップごとに変わる図が添えられる。課の最後には、ステップごとの解答付きの例題が五題と、演習問題が五題ある。演習問題にはそれぞれ折りたたまれたヒントがあり、そのあとに最終的な答えが示されるので、受講者は解き方を明かされることなく自分の結果を確かめられる。いくつかの演習問題、とくに証明を求めるものには、答えのあとに折りたたまれた詳しい解答が加わる。これは自分の解答を書き上げてから開くのがよい。

導入の課とまとめの課には固有の構成がある。導入は単元、その歴史、それを生んだ問題、その意義を示す。まとめは単元の演繹の鎖を、再利用する結果と証明する環とともに図で再構成し、それをそれより前の単元および代数と幾何と結びつけ、十の挑戦課題を出す。挑戦課題にはそれぞれヒント、最終的な答え、折りたたまれた詳しい解答があり、いくつかの課を組み合わせ、演習問題よりも多くの創意を求める。

音声読み上げ

各課は、端末自身の音声を使うサイトの読み上げ機能で、声に出して聞くことができる。本文は書かれたとおりに読まれ、数式は言葉で発音される。これにより、画面から離れて課を復習したり、ステップ再生器を見ながら聞いて証明をたどったり、視覚に制限があっても学んだりすることができる。

評価

このコースは成績をつけず、証明書も出さない。サイトでの確かめ方は形成的なものである。演習問題によって各課の目標の達成を、挑戦課題によって各単元の目標の達成を確かめることができる。さらに、三つの内容の単元のそれぞれに、導入の課には導入テストが、まとめの課には挑戦課題の前にまとめテストがある。どちらも短い自己診断で、ブラウザの中で採点され、成績はつかない。導入テストは単元についての九問か十問に加えて、単元がそれより前の単元や代数と幾何から既知とすることについての五問か六問からなり、まとめテストは十一問か十二問からなる。どちらも誤りごとに復習すべき課を示し、互いに比較して進歩を示す。最終総括は各まとめテストの最初の解答を全体目標ごとの概観にまとめ、それはテストと同じく受講者のブラウザにだけ保存される。証明書としての効力をもつ技能の認定は、のちに、このサイトの外の別のプラットフォームで行われる。

全体目標については、さらに、受講者が各自で作り出せる次のような達成の証拠を提案する。

目標 1：課を参照せずに、カラテオドリの分解による合成関数の微分法やラグランジュの平均値の定理のようなコースの定理の証明を書き、その仮定のどれも余分でないことを反例で示す。
目標 2：不定形の極限を、同値な無限小とロピタルの定理という二つの方法で計算し、関数のすべての漸近線を求める。
目標 3：ボルツァーノの定理と単調性によって、方程式が区間にちょうど一つの解をもつことを証明し、有界閉区間の連続関数による像を求める。
目標 4：底と指数がともに変化する累乗と陰関数を微分し、各導関数が存在する範囲を明確にする。
目標 5：関数の単調性、極値、凹凸、変曲点を調べ、それらを用いてグラフをかく。
目標 6：代数的には解けない方程式の解の近似値をニュートン・ラフソン法で求め、出発点を選び、得られた近似の誤差を見積もる。
目標 7：最適化問題または関連する変化率の問題について、立式、定義域、展開、極値の正当化、答え、妥当性の検討を備えた完全な解答を、ほかの人が追加の説明なしにたどれるように書く。

このコースの学び方

このコースは順に学ぶように作られている。各単元はそれより前の単元と二つの代数と幾何のコースを前提とし、多くの証明が先の課の結果を引用する。課を一つ飛ばすと、遅かれ早かれそこへ戻らなければならなくなる。このことはとくに第 1 単元にあてはまる。ε と δ による定義と、その最初の課の補題が、それ以降のすべての証明を支えている。

各単元には二つの確認点がある。導入テストは導入の課の初めにあり、出発点である。単元を学ぶ前に何も参照せずに答え、誤りが示す課を書き留めておくのがよい。それらがより注意を要する課である。まとめテストはまとめの課で挑戦課題の前にあり、照合である。各課を学び終えたときに、やはり何も参照せずに答え、導入テストと比べて、何が変わったか、どの課を復習するとよいかを見る。どちらも最初の解答が数えられる。比較されるのも、最終総括の概観にまとめられるのもそれである。それ以降の解答は、フィードバックを見たうえで行われる。挑戦課題は確認を完全なものにする。短い問いが触れるだけの内容を、組み合わせて書き表すことを求めるからである。このことから、ある単元をすでに身につけたと考える人も、一度のテストだけでそれを判断すべきではないことが従う。まとめテストの結果が確かで、まとめの課の挑戦課題が解けるなら、その先の単元に進んでよい。そうでなければ、両者が示す課を学び直すのがよい。

各課では、まず概要と目標を読むのがよい。それらは何を目指すかを述べている。そのうえで紙と鉛筆で理論を学び、再生器が書く前に証明の各ステップを予想するようにする。例題は解答を見る前に試み、演習問題は助けを借りずに解き、ヒントは試みが尽きたときにだけ開き、答えは最後に、確かめるためにだけ開く。試みる前に答えを見てしまった問題は、解いたのではなく、読んだのである。さらに、微分積分学のコースでは、値の表や電卓がかいたグラフを疑ってかかるのがよい。それらは極限や極値を示唆するが、証明はしない。第 1 単元では、人を欺く表を示している。

挑戦課題は各課の問題よりも難しく、いくつかは日を改めて何度も試みる必要があるのが普通である。一つの課題にいつまでもとどまるのはよくない。それを書き留め、先へ進み、あとで戻ってくることが、しばしば最短の道である。ただし、見積もった学習量は、すべての課題に真剣に取り組むことを前提としており、コースが教えうることの大部分は、その努力にかかっている。

最後に、書くことを勧める。前提と結論を備えた証明や完全な解答を書くことは、理解したかどうかを知る唯一の方法であり、コースの第七の目標でもある。各単元の定義と定理を自分の言葉で書き直した学習ノートは、コースが残しうる最良の復習教材であり、ここで証明することのほとんどすべてに立ち返る微分積分学 II では、なおさらそうなる。