Piano di studi di Algebra e Geometria I

Scopo e destinatari

Questo corso è il primo dei due che riuniscono l’algebra e la geometria che precedono l’analisi e la matematica universitaria. Il suo scopo non è solo insegnare a calcolare, ma mostrare da dove proviene ogni calcolo: il corso costruisce i suoi oggetti invece di supporli noti, parte da pochi assiomi sui numeri naturali e ne deduce, ampliamento dopo ampliamento, l’aritmetica degli interi, dei razionali, dei reali e dei complessi in forma algebrica, l’algebra dei polinomi e le funzioni algebriche, la geometria analitica del piano e, infine, le funzioni esponenziale, logaritmica e iperboliche. Ogni risultato che si impiega viene enunciato e dimostrato, oppure dichiarato espressamente ammesso quando la sua dimostrazione appartiene a un altro corso.

Si rivolge agli studenti degli ultimi anni della scuola secondaria che desiderano una preparazione solida prima di entrare all’università, agli studenti del primo anno universitario di scienze, ingegneria, economia o formazione degli insegnanti di matematica, e a chiunque voglia ricostruire con rigore una matematica che ha imparato come un insieme di ricette. Non presuppone altro che l’aritmetica scolastica: operare con interi e frazioni, e riconoscere le figure elementari della geometria piana. Ora, poiché il corso dimostra quasi tutto ciò che afferma, si raccomanda di aver studiato prima, o di studiare in parallelo, il corso di Logica Matematica I: Logica Proposizionale, che insegna a leggere e a costruire le dimostrazioni con connettivi, quantificatori e regole di inferenza espliciti.

Se è così, il corso occupa un posto d’ingresso nel sito, e da esso dipendono tre corsi. Matematica Finanziaria e Analisi dei Dati con R lo richiedono come unico prerequisito, perché impiegano le progressioni, il conteggio, le equazioni e i sistemi lineari, l’esponenziale e i logaritmi che qui si costruiscono. Il terzo è la sua continuazione, Algebra e Geometria II: Trigonometria, Numeri Complessi e Geometria dello Spazio, che riprende quanto qui ottenuto per studiare le funzioni trigonometriche, la forma polare dei complessi, le matrici e la geometria analitica dello spazio. Ne segue che chi aspira ad Analisi I deve percorrere entrambi i corsi, perché quel corso richiede il secondo.

Obiettivi di apprendimento globali

Gli obiettivi elencati qui sotto descrivono ciò che uno studente che completa il corso deve essere in grado di fare. Ciascuno è formulato come una prestazione osservabile, in modo che lo si possa verificare con un compito concreto; ogni lezione tematica dichiara, a sua volta, i propri obiettivi, che servono uno o più degli obiettivi globali, e la lezione di chiusura mostra in quali unità e lezioni si lavora su ciascuno. Gli otto obiettivi sono numerati perché si possano citare.

1. Obiettivo 1. Dimostrare enunciati di aritmetica, algebra e geometria mediante un ragionamento deduttivo esplicito, impiegando la dimostrazione diretta, la dimostrazione per contronominale, la dimostrazione per assurdo, l’induzione nelle sue diverse forme e il principio del buon ordinamento, e distinguere in ogni dimostrazione ciò che è dedotto da ciò che è ammesso.
2. Obiettivo 2. Costruire gli insiemi numerici con il linguaggio degli insiemi, delle relazioni e delle funzioni: i naturali definiti dagli assiomi di Peano, gli interi e i razionali come classi di equivalenza, i reali come campo ordinato completo e i complessi come coppie di reali; spiegare quale equazione senza soluzione motiva ogni ampliamento e quale proprietà vi si guadagna o vi si perde.
3. Obiettivo 3. Dimostrare e applicare l’aritmetica degli interi: la divisione con resto e la divisibilità, i numeri primi e la fattorizzazione unica, il massimo comune divisore e le equazioni diofantee lineari, le congruenze, la numerazione posizionale e il conteggio combinatorio.
4. Obiettivo 4. Trasformare espressioni algebriche (potenze, radicali, polinomi e frazioni algebriche) e risolvere equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado, polinomiali, razionali, con radicali e con valore assoluto, giustificando l’equivalenza di ogni trasformazione e verificando le soluzioni.
5. Obiettivo 5. Analizzare funzioni reali di variabile reale, determinandone il dominio, l’insieme immagine, i segni, gli zeri, gli asintoti, l’inversa e la composizione, e rappresentarne il grafico, in particolare mediante trasformazioni di grafici noti.
6. Obiettivo 6. Rappresentare luoghi geometrici del piano mediante equazioni e, viceversa, riconoscere la curva che un’equazione definisce: rette in forma cartesiana, vettoriale e parametrica, circonferenze, parabole, ellissi e iperboli con assi paralleli agli assi coordinati, e regioni definite da disequazioni.
7. Obiettivo 7. Risolvere problemi con le funzioni esponenziale, logaritmica e iperboliche, deducendone le proprietà dalle loro definizioni e risolvendo le equazioni e le disequazioni che le contengono.
8. Obiettivo 8. Modellizzare matematicamente situazioni della scienza, della tecnica, dell’economia e della vita quotidiana con gli strumenti del corso (sistemi lineari, programmazione lineare, modelli di crescita e di decadimento), e comunicare per iscritto le impostazioni, i calcoli e le dimostrazioni con notazione corretta, argomentazione completa e controllo della plausibilità dei risultati.

Gli obiettivi da 2 a 7 corrispondono, nell’essenziale, ai grandi temi del corso; il primo e l’ottavo, invece, sono trasversali: non appartengono a un’unità, ma si esercitano in tutte. Ne segue che il loro raggiungimento non può essere attribuito a una sola lezione, e che conviene coltivarli lungo l’intero corso. Ora, entrambi hanno anche lezioni che li servono in modo principale: il primo, l’introduzione dell’unità 1, che mostra perché nessuna quantità finita di verifiche dimostra un’affermazione su tutti i naturali, e le cinque sintesi, la cui parte centrale ricostruisce la catena deduttiva di ciascuna unità; l’ottavo, quelle in cui l’impostazione di un problema è la materia stessa: i sistemi lineari che modellizzano situazioni, la programmazione lineare e i modelli di crescita.

Contenuti

Il corso si organizza in sette unità. La prima e l’ultima inquadrano il percorso; le cinque intermedie sviluppano i contenuti. Ciascuna di queste si apre con una lezione di introduzione, che presenta le sue lezioni, il contesto storico delle sue idee, il problema che diede loro origine e la loro rilevanza, e si chiude con una lezione di sintesi, che ricostruisce la catena deduttiva dell’unità, la collega al resto del corso e propone dieci sfide di difficoltà superiore a quella dei problemi delle lezioni.

Unità 0. Presentazione del corso

Consta di questa lezione, che fissa lo scopo, gli obiettivi globali, i contenuti, l’impegno e la progettazione del corso.

Unità 1. I numeri naturali

Il suo obiettivo è fissare il linguaggio degli insiemi, delle relazioni e delle funzioni, dedurre dagli assiomi di Peano l’aritmetica dei naturali e degli interi, fino alle congruenze, e stabilire l’induzione come lo strumento di dimostrazione del corso.

1. I numeri naturali: introduzione.
2. Insiemi, relazioni e funzioni.
3. I numeri naturali e gli assiomi di Peano.
4. Operazioni di base sui numeri naturali e relazioni d’ordine.
5. Sommatorie, progressioni e induzione.
6. Divisibilità e divisione con resto.
7. Numeri primi e teorema fondamentale dell’aritmetica.
8. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo.
9. Congruenze e aritmetica modulare.
10. Sistemi di numerazione posizionale.
11. Calcolo combinatorio elementare e binomio di Newton.
12. I numeri naturali: sintesi e sfide.

Unità 2. Gli insiemi numerici

Il suo obiettivo è ampliare i naturali fino ai complessi, ogni volta per risolvere un’equazione che non aveva soluzione, e padroneggiare l’ordine, il valore assoluto, le potenze e le equazioni di primo grado.

1. Gli insiemi numerici: introduzione.
2. Insiemi numerici: dai naturali ai complessi.
3. I numeri interi: costruzione, segni e ordine.
4. I numeri razionali: le frazioni e le loro operazioni.
5. La rappresentazione decimale dei numeri razionali.
6. La retta reale: ordine, intervalli e valore assoluto.
7. Potenze a esponente razionale e radicali.
8. Equazioni e disequazioni di primo grado e sistemi lineari.
9. I numeri complessi: operazioni ed equazioni.
10. Gli insiemi numerici: sintesi e sfide.

Unità 3. Funzioni algebriche e polinomi

Il suo obiettivo è fare della fattorizzazione lo strumento che decide radici, segni, disequazioni, domini, asintoti e grafici delle funzioni algebriche.

1. Funzioni algebriche e polinomi: introduzione.
2. Funzioni algebriche di variabile reale.
3. Operazioni tra funzioni, inversa e trasformazioni dei grafici.
4. Algebra dei polinomi reali.
5. Scomposizione dei trinomi di secondo grado e di grado 2n.
6. Radici dei polinomi di grado superiore e divisione sintetica.
7. Frazioni algebriche e fratti semplici.
8. Tabelle dei segni e disequazioni.
9. Funzioni razionali: asintoti e grafico.
10. Funzioni con radicali: dominio, segno e grafico.
11. Funzioni algebriche e polinomi: sintesi e sfide.

Unità 4. Geometria analitica del piano

Il suo obiettivo è tradurre le proprietà geometriche in equazioni e le equazioni in curve, dalla retta fino alle coniche e alle regioni della programmazione lineare. Le loro analoghe nello spazio, le quadriche, non sono trattate in questo corso né nel corso II, che di esse studia solo la sfera; nell’organizzazione attuale del sito, il loro studio spetta ad Analisi III.

1. Geometria analitica del piano: introduzione.
2. L’equazione della retta e i sistemi cartesiani.
3. Vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta.
4. L’equazione della parabola: definizioni e proprietà.
5. Caratterizzazione delle parabole e loro grafici.
6. L’equazione dell’ellisse e della circonferenza.
7. La circonferenza: tangenti, posizioni reciproche e potenza.
8. L’equazione dell’iperbole e la sua deduzione.
9. Le sezioni coniche: caratterizzazione e grafico.
10. Disequazioni nel piano e programmazione lineare.
11. Geometria analitica del piano: sintesi e sfide.

Unità 5. Funzioni esponenziale, logaritmica e iperboliche

Il suo obiettivo è definire le funzioni che trasformano somme in prodotti e prodotti in somme, dedurne le proprietà e impiegarle nella modellizzazione della crescita.

1. Funzioni esponenziale, logaritmica e iperboliche: introduzione.
2. La funzione esponenziale e la potenza a esponente reale.
3. Il numero e e l’esponenziale naturale.
4. La funzione logaritmo e le sue proprietà.
5. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.
6. Modelli di crescita e decadimento esponenziale.
7. Le funzioni iperboliche.
8. Esponenziale, logaritmo e funzioni iperboliche: sintesi e sfide.

Unità 6. Chiusura del corso

Consta della lezione Bilancio finale di Algebra e Geometria I, che ricorda gli otto obiettivi globali, mostra in una figura in quali unità e lezioni si lavora su ciascuno, riunisce per obiettivo il primo tentativo delle valutazioni d’uscita e indica dove prosegue lo studio.

Impegno e crediti

L’impegno di un corso non si misura con le ore di lezione frontale, che in un corso asincrono non esistono, ma con il lavoro totale dello studente: leggere, seguire le dimostrazioni, risolvere problemi e ripassare. La stima considera il tempo di lettura, di studio dei problemi risolti, di lavoro sui problemi proposti e sulle sfide e di risposta alle valutazioni di unità, con un margine per il ripasso.

Risultati

Le lezioni del corso contengono nel complesso $212$ problemi risolti, $210$ problemi proposti e $50$ sfide. L’impegno stimato per unità, arrotondato all’ora, è il seguente:

• Unità 0, presentazione del corso: $1$ ora.
• Unità 1, i numeri naturali: $69$ ore.
• Unità 2, gli insiemi numerici: $58$ ore.
• Unità 3, funzioni algebriche e polinomi: $63$ ore.
• Unità 4, geometria analitica del piano: $62$ ore.
• Unità 5, funzioni esponenziale, logaritmica e iperboliche: $46$ ore.
• Unità 6, chiusura del corso: meno di un’ora.

Il totale è di circa $299$ ore di lavoro dello studente. Conviene leggere questa cifra per ciò che è: una stima per uno studente che studia tutte le dimostrazioni e risolve tutti i problemi e le sfide. Chi padroneggia già parte dei contenuti, o si limita ai problemi proposti senza affrontare le sfide, impiegherà molto meno; chi studia l’argomento per la prima volta e senza l’abitudine a dimostrare può averne bisogno di più.

Ora, la cifra di $299$ ore è nominale: è quella che fissa i crediti del corso, e presuppone una lettura del testo a ritmo costante e tre quarti d’ora per sfida. Finché non sarà misurata con studenti reali, conviene accompagnarla con un intervallo realistico. Se la lettura avanzasse alla metà del ritmo supposto, come accade quando ogni dimostrazione si riscrive con carta e matita, e ogni sfida richiedesse settantacinque minuti invece di quarantacinque, la stessa stima darebbe circa $370$ ore. Pertanto, l’impegno prevedibile si colloca tra circa $300$ e circa $370$ ore. L’estremo superiore è una stima prudente, non una misurazione; l’intervallo sarà corretto quando si conoscerà il tempo che impiegano coloro che studiano il corso, e fino ad allora i crediti si calcolano con la cifra nominale.

Ritmo suggerito

Per denominare i ritmi, questo piano e quello del corso II seguono lo stesso criterio: l’impegno a tempo pieno è quello di un anno accademico di $60$ crediti, circa $1650$ ore distribuite in una quarantina di settimane, cioè circa $40$ ore settimanali, e l’impegno a tempo parziale ne è la metà, circa $20$ ore settimanali. Ne segue un ritmo raccomandato di un semestre di sedici settimane, con circa $18$ o $19$ ore settimanali di studio, poco meno del tempo parziale; con l’intervallo realistico, da $19$ a $23$ ore settimanali, si colloca intorno al tempo parziale. Il semestre dopo si può dedicare allora al corso di Algebra e Geometria II. Come alternativa più distesa, compatibile con altre materie impegnative, il corso si può ripartire in due semestri, con circa $9$ ore settimanali: la prima metà, unità da 0 a 2, occupa circa $128$ ore, e la seconda, unità da 3 a 6, circa $171$, cosicché conviene cominciare il secondo semestre con un po’ di vantaggio.

Equivalenza in crediti trasferibili

I sistemi di crediti trasferibili misurano un corso in base al lavoro totale che richiede allo studente, e non alle ore di lezione in presenza, affinché gli studi compiuti in un’istituzione possano essere riconosciuti in un’altra. Il Sistema europeo di trasferimento e accumulazione dei crediti, adottato dalle università europee a partire dalla Dichiarazione di Bologna, assegna $60$ crediti a un anno accademico a tempo pieno, e fissa ogni credito tra $25$ e $30$ ore di lavoro. Il Sistema di crediti trasferibili del Cile, adottato dalle università cilene con un impianto analogo, assegna anch’esso $60$ crediti all’anno accademico e fissa ogni credito tra $24$ e $31$ ore di lavoro.

Ora, dividendo le $299$ ore stimate per gli estremi di ciascun intervallo, il corso equivale a tra $10$ e $12$ crediti europei, approssimativamente (da 10,0 a 12,0), e a tra $10$ e $12$ crediti trasferibili cileni (da 9,6 a 12,5). Prendendo come riferimento il valore centrale di entrambi gli intervalli, di 27,5 ore per credito, si ottiene nei due sistemi lo stesso numero, 10,9, che si arrotonda a 11. Per i crediti europei, il numero $C$ di crediti risulta così delimitato:

Pertanto, si raccomanda di assegnare al corso $11$ crediti europei e $11$ crediti trasferibili cileni, cioè poco più della sesta parte di un anno accademico a tempo pieno. La cifra è maggiore di quella di un insegnamento semestrale corrente di algebra, e ciò si spiega con l’esigenza di studiare tutte le dimostrazioni e con la costruzione degli insiemi numerici, che i programmi abituali tendono a omettere.

Progettazione del corso

Modalità

Il corso è asincrono, online e a ritmo autonomo: non ha date, sessioni dal vivo né scadenze, e ogni studente avanza alla velocità che gli consentono la sua preparazione e il suo tempo. È offerto nelle quattordici lingue del sito, con la stessa matematica in tutte: le formule e i passi delle dimostrazioni sono identici in ogni versione, e si traduce solo il testo. Le lezioni dichiarano quali altre lezioni conviene aver studiato prima, in modo che l’ordine raccomandato sia esplicito e possa essere verificato.

La struttura di una lezione

Tutte le lezioni tematiche seguono la stessa struttura. Cominciano con un riassunto e con un elenco di obiettivi di apprendimento propri, formulati come prestazioni osservabili. Seguono la teoria, con le definizioni, i teoremi enunciati con precisione e le loro dimostrazioni, e gli esempi. Le dimostrazioni e gli esempi si presentano come riproduttori passo per passo: ogni passo scrive una riga del ragionamento, illumina i termini che intervengono e, quando si appoggia su un risultato anteriore, vi ritorna e lo illumina mentre si legge, in modo che la memoria del ragionamento resti in vista; molti sono accompagnati da una figura che cambia a ogni passo. Chiudono la lezione cinque problemi risolti (sei in due lezioni dell’unità 3), con la loro soluzione passo per passo, e cinque problemi proposti, ciascuno con un suggerimento ripiegato e, poi, la risposta finale, perché lo studente verifichi il suo risultato senza che gli si riveli il cammino; i problemi proposti di dimostrazione aggiungono, ripiegata dopo la risposta, una soluzione svolta, che conviene aprire solo dopo aver redatto la propria.

Le lezioni di introduzione e di sintesi hanno una struttura propria. L’introduzione presenta l’unità, la sua storia, il problema che le diede origine e la sua rilevanza; la sintesi ricostruisce la catena deduttiva dell’unità, la collega alle unità anteriori e a quelle posteriori, e propone dieci sfide, ciascuna con suggerimento, risposta finale e una soluzione svolta ripiegata, che combinano più lezioni ed esigono più inventiva dei problemi proposti.

Il lettore vocale

Ogni lezione si può ascoltare ad alta voce con il lettore del sito, che usa le voci del dispositivo stesso: il testo si legge così come è scritto e le formule si pronunciano a parole. Ciò permette di ripassare una lezione lontano dallo schermo, di seguire una dimostrazione ascoltandola mentre si guarda il riproduttore passo per passo, e di studiare con limitazioni visive.

Valutazione

Il corso non assegna voti: la sua valutazione è formativa e si basa sull’autovalutazione. I problemi proposti permettono di verificare il raggiungimento degli obiettivi di ogni lezione, e le sfide, quello degli obiettivi di ogni unità.

A ciò si aggiungono le valutazioni di unità. Quella d’ingresso, all’inizio dell’introduzione, è un’autovalutazione breve, di dieci domande sull’unità, alle quali a partire dall’unità 2 se ne aggiungono tre su ciò che l’unità dà per noto delle unità anteriori, e misura il punto di partenza; quella d’uscita, nella sintesi e prima delle sfide, ha dodici domande, misura quanto raggiunto e si confronta con quella d’ingresso. Entrambe si correggono nel browser stesso: ogni risposta riceve una spiegazione, ogni errore tipico, un’osservazione che lo identifica, e ogni domanda rinvia alla lezione che conviene ripassare. Nessuna di esse assegna voti né certifica, e i loro risultati si conservano soltanto nel browser dello studente; la convalida delle abilità acquisite si farà più avanti su un’altra piattaforma. Le cinque unità includono entrambe le valutazioni, e il bilancio finale riunisce il primo tentativo di ogni valutazione d’uscita in un profilo per obiettivo globale.

Per gli obiettivi globali, si suggeriscono le evidenze di raggiungimento elencate qui sotto:

• Obiettivo 1: redigere, senza consultare la lezione, la dimostrazione di un teorema del corso, come l’infinità dei primi o l’unicità della divisione con resto, e quella di una sfida che richieda l’induzione.
• Obiettivo 2: spiegare per iscritto quale equazione motiva ogni ampliamento dai naturali ai complessi, e dimostrare che la somma degli interi, definita mediante classi di coppie di naturali, è ben definita.
• Obiettivo 3: risolvere un’equazione diofantea lineare con vincoli, e calcolare con le congruenze il resto di una potenza grande.
• Obiettivo 4: risolvere una disequazione razionale o con radicali e valore assoluto, giustificando ogni equivalenza e verificando la soluzione.
• Obiettivo 5: studiare completamente una funzione razionale o con radicali e tracciarne il grafico senza strumenti di calcolo, e verificarlo poi con uno di essi.
• Obiettivo 6: identificare la conica che definisce un’equazione di secondo grado senza termine in $xy$, con tutti i suoi elementi, e descrivere mediante disequazioni una regione limitata da rette e coniche.
• Obiettivo 7: risolvere un’equazione logaritmica con verifica del dominio, e dimostrare un’identità iperbolica a partire dalle definizioni.
• Obiettivo 8: impostare e risolvere un problema di programmazione lineare o adattare un modello esponenziale a dei dati, e scrivere la soluzione completa, con impostazione, svolgimento, risposta e controllo di plausibilità, in modo che un’altra persona possa seguirla senza spiegazioni aggiuntive.

Come studiare questo corso

Il corso è pensato per essere studiato in ordine. Ogni unità presuppone quelle anteriori, e molte dimostrazioni citano risultati di lezioni anteriori; saltare una lezione obbliga, prima o poi, a tornarci sopra.

Ogni unità ha due punti di controllo. La valutazione d’ingresso, all’inizio dell’introduzione, è il punto di partenza: conviene rispondervi prima di studiare l’unità, senza consultare nulla, e annotare le lezioni a cui rinviano gli errori, che sono quelle che chiedono più cura. La valutazione d’uscita, nella sintesi e prima delle sfide, è il confronto: vi si risponde al termine delle lezioni, anch’essa senza consultare, e si confronta con quella d’ingresso per vedere che cosa è cambiato e quali lezioni conviene ripassare. In entrambe conta il primo tentativo, che è quello che si confronta e quello che riunisce il profilo del bilancio finale; i tentativi ulteriori si fanno ormai con la retroazione vista. Le sfide completano la verifica, perché esigono di combinare e redigere ciò che le domande brevi toccano soltanto. Ne segue che chi crede di padroneggiare già un’unità non deve deciderlo in base a una sola prova: se la sua valutazione d’uscita è solida e risolve le sfide della sintesi, può passare all’unità dopo; altrimenti, conviene percorrere le lezioni che l’una e le altre indicano.

In ogni lezione, conviene leggere prima il riassunto e gli obiettivi, che dicono che cosa si cerca; studiare poi la teoria con carta e matita, cercando di anticipare ogni passo delle dimostrazioni prima che il riproduttore lo scriva; tentare i problemi risolti prima di guardarne la soluzione, e risolvere i proposti senza aiuto, aprendo il suggerimento solo quando il tentativo si sia esaurito, e la risposta solo alla fine, per verificare. Un problema la cui risposta si è consultata prima di tentarlo non è stato risolto, ma letto.

Le sfide sono più difficili dei problemi delle lezioni, ed è normale che alcune richiedano diversi tentativi in giorni diversi. Non conviene fermarsi indefinitamente su una: annotarla, continuare ad avanzare e tornarci più tardi è, spesso, il cammino più breve. Ora, l’impegno stimato presuppone che tutte si tentino con serietà, e in questo sforzo si gioca buona parte di ciò che il corso può insegnare.

Infine, conviene scrivere. Redigere una dimostrazione o una soluzione completa, con le sue premesse e le sue conclusioni, è l’unico modo di sapere se si è capito, ed è anche l’ottavo degli obiettivi del corso. Un quaderno di studio, in cui si riscrivano con parole proprie le definizioni e i teoremi di ogni unità, è il miglior materiale di ripasso che il corso possa lasciare.