I numeri naturali: introduzione

Riepilogo

Questa lezione apre l’unità dedicata ai numeri naturali. Presenta le sue dieci lezioni e il filo deduttivo che le unisce, dal linguaggio degli insiemi e dagli assiomi di Peano fino al binomio di Newton; ripercorre la storia di queste idee, dal conteggio preistorico e dall’aritmetica di Euclide fino all’assiomatizzazione di Dedekind e di Peano alla fine del XIX secolo; formula con precisione il problema che diede loro origine, quello di dimostrare un’affermazione su infiniti numeri senza esaminarli uno per uno, e indica dove vengono usate di nuovo in questo corso, in altri corsi del sito e nella scienza e nella tecnica.

Obiettivi di apprendimento

Descrivere la sequenza dei contenuti dell’unità e spiegare che cosa apporta ciascuna lezione alla successiva.
Collocare nel loro contesto storico i principali risultati dell’aritmetica dei naturali e i loro autori.
Spiegare, con un esempio, perché nessuna quantità finita di verifiche dimostra un’affermazione su tutti i naturali, e quale ruolo svolge il principio di induzione.
Riconoscere, in altri temi del corso e in altre discipline, gli strumenti che l’unità costruisce.

Valutazione d’ingresso

Prima di percorrere l’unità conviene misurare il punto di partenza. Questa valutazione è un’autovalutazione: non dà un voto, e il suo unico scopo è orientare lo studio. Le sue dieci domande riguardano, una per una e in ordine, le dieci lezioni dell’unità; la quarta chiede, inoltre, di impostare come una somma un problema descritto a parole. Le stesse abilità si misurano di nuovo alla fine, nella lezione di sintesi; poiché questa è la prima unità del corso, non ci sono domande su unità precedenti. Una domanda che non si riesce a risolvere segnala la lezione su cui conviene soffermarsi.

I contenuti dell’unità

Nel piano di studi si è avvertito che il corso costruisce i suoi oggetti invece di supporli noti. Questa prima unità è il fondamento di tale costruzione: parte da pochi assiomi sui numeri con cui si conta e ne deduce l’intera aritmetica dei naturali. Il poco che ammette in più è dichiarato espressamente al suo posto: le regole della teoria ingenua degli insiemi e della negazione dei quantificatori; l’esistenza delle funzioni definite per ricorsione, garantita dal teorema di ricorsione di Dedekind; l’unicità del numero di elementi di un insieme finito, e la finitezza dei suoi sottoinsiemi, su cui poggia il conteggio; la commutatività generalizzata dei prodotti finiti; e le regole elementari degli interi, dei razionali e dei reali, che alcuni esempi e problemi anticipano e che l’unità successiva costruisce. Le sue dieci lezioni formano una catena in cui ogni anello poggia sui precedenti.

Insiemi, relazioni e funzioni. Fissa il linguaggio in cui è scritto tutto il corso: gli insiemi e le loro operazioni, le relazioni, in particolare quelle di equivalenza e d’ordine, e le funzioni. Le relazioni di equivalenza ricompariranno nell’unità successiva, dove gli interi e i razionali si costruiscono come classi di coppie.
I numeri naturali e gli assiomi di Peano. Definisce i naturali mediante l’ $1$ , l’operazione di successore e cinque assiomi, l’ultimo dei quali è il principio di induzione. Tutto ciò che segue nell’unità è conseguenza di questi assiomi e del poco che si ammette espressamente.
Operazioni di base sui numeri naturali e relazioni d’ordine. Enuncia il teorema di ricorsione, definisce con esso la somma, il prodotto e la potenza, ne dimostra per induzione le proprietà e fonda l’ordine sulla somma. Mostra che la sottrazione e la divisione non sempre esistono tra naturali, il che annuncia l’unità successiva.
Sommatorie, progressioni e induzione. Introduce la notazione di sommatoria, le somme telescopiche e le progressioni, e dimostra che l’induzione ordinaria implica l’induzione forte e il principio del buon ordinamento, e in che senso questi le sono equivalenti. Il principio del buon ordinamento sarà lo strumento di quasi tutte le dimostrazioni di esistenza dell’unità.
Divisibilità e divisione con resto. Dimostra, con il buon ordinamento, che ogni intero ammette un quoziente e un resto unici, e con ciò classifica gli interi secondo il loro resto e giustifica i criteri di divisibilità.
Numeri primi e teorema fondamentale dell’aritmetica. Prova che i primi sono infiniti e che ogni naturale maggiore di $1$ si scompone in primi in un unico modo, e ne deduce, tra l’altro, che la radice quadrata di un naturale che non è un quadrato perfetto è irrazionale.
Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Presenta l’algoritmo di Euclide, che calcola il massimo comune divisore senza fattorizzare, ne deduce l’identità di Bézout e risolve completamente le equazioni diofantee lineari.
Congruenze e aritmetica modulare. Trasforma la divisione con resto in un calcolo: due interi sono congrui modulo $n$ quando danno lo stesso resto, e la congruenza rispetta la somma e il prodotto, cosicché molti problemi di divisibilità si risolvono operando soltanto con i resti.
Sistemi di numerazione posizionale. Dimostra che ogni naturale si scrive in un unico modo in qualsiasi base, spiega perché i procedimenti di calcolo imparati a scuola sono corretti e perché i computer lavorano in base $2$ .
Calcolo combinatorio elementare e binomio di Newton. Definisce il numero di elementi di un insieme finito, dimostra i principi additivo e moltiplicativo, insegna con essi a contare senza enumerare, definisce i coefficienti binomiali e dimostra il teorema del binomio di Newton, che riunisce l’induzione, le sommatorie e il conteggio.

L’unità termina con la lezione di sintesi e sfide, che raccoglie ciò che si è ottenuto, ripete nella sua valutazione d’uscita le abilità della valutazione d’ingresso e propone problemi più difficili che combinano diverse lezioni.

Il contesto storico

Contare è anteriore allo scrivere. Ossa con serie di tacche, come quello di Ishango, rinvenuto nel Congo e con un’antichità stimata in circa ventimila anni, sono spesso interpretate come registrazioni di quantità. Le prime civiltà urbane ebbero bisogno di contare greggi, misurare campi e ripartire raccolti, e con ciò svilupparono sistemi di numerazione: circa quattromila anni fa gli scribi della Mesopotamia usavano già una numerazione posizionale in base $60$ , la cui impronta sopravvive nella misura del tempo e degli angoli.

In Grecia, a partire dal VI secolo prima della nostra era, i pitagorici studiarono i numeri per sé stessi e non solo come strumenti di calcolo. Classificarono i numeri figurati, come i triangolari $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , che sono le somme $1 + 2 + \cdots + n$ , e distinsero i pari dai dispari. Verso l’anno 300 prima della nostra era, Euclide riunì nei libri dal VII al IX degli Elementi l’aritmetica del suo tempo, ordinata deduttivamente: l’algoritmo che porta il suo nome, il lemma secondo cui un primo che divide un prodotto divide uno dei suoi fattori, la dimostrazione che i primi sono infiniti e la costruzione dei numeri perfetti pari. Nel III secolo prima della nostra era, Eratostene di Cirene ideò il suo crivello dei primi, e probabilmente nel III secolo della nostra era, Diofanto di Alessandria studiò nella sua Aritmetica equazioni le cui soluzioni dovevano essere numeri interi o razionali.

La numerazione decimale con lo zero come cifra si formò in India, fu esposta nel IX secolo da al-Khwarizmi e giunse in Europa, tra le altre vie, attraverso il Liber Abaci di Fibonacci, nel 1202. Il triangolo dei coefficienti binomiali era conosciuto in India, in Persia e in Cina secoli prima che Pascal gli dedicasse, verso la metà del XVII secolo, il trattato che gli diede il suo nome in Occidente. Ora, il ragionamento per induzione come metodo esplicito di dimostrazione è tardo: Francesco Maurolico lo impiegò in un’opera pubblicata nel 1575 per provare che la somma dei primi dispari è un quadrato, e Pascal lo formulò con chiarezza nel suo trattato sul triangolo aritmetico. Nello stesso secolo, Fermat ideò il metodo della discesa infinita, una forma del principio del buon ordinamento, e verso il 1665 Newton estese il teorema del binomio di Newton agli esponenti frazionari e negativi. Nel 1801 Gauss pubblicò le sue Disquisitiones Arithmeticae, con le quali l’aritmetica divenne una teoria sistematica, e in esse si trova la prima dimostrazione esplicita dell’unicità della fattorizzazione in primi.

Durante il XIX secolo, l’analisi matematica fu ricostruita su basi aritmetiche: i numeri reali furono definiti a partire dai razionali, come fece Dedekind nel 1872 con i suoi tagli, i razionali a partire dagli interi, e gli interi a partire dai naturali. Se è così, l’intera costruzione poggiava sui naturali, e restava da rispondere che cosa siano questi e da quali principi si deduca la loro aritmetica. Nel 1861 Hermann Grassmann aveva mostrato che la somma e il prodotto si possono definire ricorsivamente a partire dal successore, e che le loro proprietà si dimostrano per induzione. Nel 1888 Richard Dedekind pubblicò il saggio Che cosa sono e a che cosa servono i numeri?, che caratterizza i naturali mediante il successore e l’induzione, e nel 1889 Giuseppe Peano pubblicò, in latino, i suoi Arithmetices principia, nova methodo exposita, con l’elenco di assiomi che questo corso adotta e che, come là, comincia dall’ $1$ .

Il problema che diede origine alla teoria

I naturali sono infiniti, e quasi tutto ciò che interessa affermare di essi è un’affermazione su tutti insieme: che la somma è commutativa, che ogni naturale maggiore di $1$ si scompone in primi, che la somma dei primi $n$ dispari è $n^2$ . Nessuna affermazione di questo tipo si può verificare esaminando i casi uno per uno, perché non si finirebbe mai; e, ciò che è più grave, la verifica di molti casi, per quanto numerosi, non permette di concludere nulla sui restanti. Il problema è, dunque, il seguente: data una proprietà $P$ dei naturali, con quali principi si può dimostrare che ogni naturale la soddisfa?

(\forall n \in \mathbb{N})\,P(n)

L’esempio che segue mostra fino a che punto le verifiche possano ingannare.

EsempioUn polinomio che sembra produrre solo primi

Eulero osservò nel XVIII secolo che l’espressione $n^2 + n + 41$ produce un numero primo per ciascuno dei valori $n = 1, 2, \ldots, 39$ . Ci si può chiedere se lo produca per ogni naturale $n$ .

Dimostrazione

$1^2 + 1 + 41 = 43, \quad 2^2 + 2 + 41 = 47, \quad 3^2 + 3 + 41 = 53$
I primi valori sono primi, come si verifica provando i primi il cui quadrato non li supera.
$39^2 + 39 + 41 = \resaltar{1601}$
La verifica si può prolungare, con pazienza, fino a $n = 39$ : i trentanove valori sono primi, e l’ultimo è $1601$ .
$40^2 + 40 + 41 = \resaltar{40 \cdot 41} + 41 = \resaltar{41 \cdot 41}$
Per $n = 40$ , i primi due termini hanno il fattore comune $40$ , e il risultato è $41$ volte $41$ .
$41^2 + 41 + 41 = 41 \cdot \resaltar{43}$
Per $n = 41$ il fallimento è ancora più visibile, perché i tre termini sono multipli di $41$ .
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$
Trentanove verifiche favorevoli non bastavano: l’affermazione è falsa. Invece la formula della somma dei primi dispari, che Maurolico dimostrò per induzione, vale per ogni naturale, e non per essere stata verificata in molti casi, ma perché si deduce da un principio che li abbraccia tutti.

La risposta che diedero Dedekind e Peano consiste nel dichiarare, come assioma, il principio che permette di passare dal finito all’infinito: se una proprietà vale per $1$ e si trasmette da ogni naturale al suo successore, vale per tutti. Ne segue un programma preciso, che è quello di questa unità: definire le operazioni in modo che ogni caso si riduca al precedente, e dimostrare per induzione, o per uno dei principi equivalenti, ciascuna delle loro proprietà. Ora, il problema ha un secondo volto, che percorre tutta l’unità: quello delle operazioni inverse. La sottrazione e la divisione non sempre sono possibili tra naturali, e la domanda su quando lo siano conduce alla divisibilità, ai primi e al massimo comune divisore; la domanda su come porvi rimedio conduce all’unità successiva, che amplia i naturali fino ai complessi.

La rilevanza dei numeri naturali

All’interno di questo corso, i risultati dell’unità ricompaiono di continuo. La lezione sui numeri interi li costruisce come coppie di naturali, e quella sui razionali, come coppie di interi; la divisione dei polinomi della lezione sulle radici dei polinomi di grado superiore imita la divisione con resto, e lo schema di Horner deriva dalla notazione posizionale. La stima del binomio per $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ prepara la lezione sul numero $e$ . La continuazione di questo corso, Algebra e Geometria II, continua a usarli: nella sua unità sui numeri complessi in forma polare, la formula di De Moivre si dimostra per induzione, e nella sua unità sulle matrici e le strutture algebriche, la lezione sulle strutture algebriche dà ai resti della divisione per $n$ la struttura algebrica di anello, che è un campo esattamente quando $n$ è primo.

Fuori da questo corso, le successioni e le somme di Analisi I si studiano con la notazione di sommatoria e con l’induzione, e la derivata di una potenza si ottiene con il binomio di Newton. In Fondamenti di Meccanica, la legge che Galileo pubblicò nel 1638, secondo cui un corpo che cade da fermo percorre in intervalli di tempo uguali distanze proporzionali ai dispari consecutivi $1, 3, 5, 7, \ldots$ , si trasforma, grazie alla somma dei primi dispari, nella proporzionalità tra la distanza percorsa e il quadrato del tempo. L’interesse semplice e l’interesse composto di Matematica Finanziaria sono progressioni aritmetiche e geometriche; i programmi di Programmazione in C++ I rappresentano i numeri in base $2$ , calcolano resti e applicano l’algoritmo di Euclide, e la loro ricorsione è la stessa idea delle definizioni ricorsive della somma e del prodotto. Il corso di Logica Matematica I: Logica Proposizionale studia le regole di deduzione che le dimostrazioni dell’unità impiegano.

Nella scienza e nella tecnica, la base $2$ è il linguaggio di ogni computer, e l’aritmetica dei resti sostiene le cifre di controllo con cui si rilevano gli errori nel copiare numeri di documenti, conti o libri. Il sistema crittografico pubblicato nel 1977 da Rivest, Shamir e Adleman, su cui poggia buona parte della sicurezza delle comunicazioni, si fonda su un contrasto che questa unità permette di comprendere: l’algoritmo di Euclide calcola rapidamente il massimo comune divisore di numeri di centinaia di cifre, mentre non si conosce alcun procedimento rapido per fattorizzarli. Il calcolo combinatorio, infine, è il fondamento del calcolo delle probabilità, e con esso della statistica e di buona parte della fisica e della biologia.