Plan d’études d’Algèbre et géométrie I

Propos et public

Ce cours est le premier des deux qui réunissent l’algèbre et la géométrie qui précèdent l’analyse et les mathématiques universitaires. Son propos n’est pas seulement d’apprendre à calculer, mais de montrer d’où provient chaque calcul : le cours construit ses objets au lieu de les supposer connus, part de quelques axiomes sur les entiers naturels et en déduit, extension après extension, l’arithmétique des entiers relatifs, des rationnels, des réels et des complexes sous forme algébrique, l’algèbre des polynômes et les fonctions algébriques, la géométrie analytique du plan et, enfin, les fonctions exponentielle, logarithme et hyperboliques. Chaque résultat employé est énoncé et démontré, ou déclaré expressément admis lorsque sa démonstration relève d’un autre cours.

Il s’adresse aux élèves des dernières années de l’enseignement secondaire qui souhaitent une préparation solide avant d’entrer à l’université, aux étudiants de première année universitaire en sciences, en ingénierie, en économie ou en formation des professeurs de mathématiques, et à quiconque veut reconstruire avec rigueur des mathématiques apprises comme un ensemble de recettes. Il ne suppose rien de plus que l’arithmétique scolaire : calculer avec des entiers et des fractions, et reconnaître les figures élémentaires de la géométrie plane. Or, comme le cours démontre presque tout ce qu’il affirme, il est recommandé d’avoir étudié auparavant, ou d’étudier en parallèle, le cours Logique mathématique I : logique propositionnelle, qui apprend à lire et à construire les démonstrations avec des connecteurs, des quantificateurs et des règles d’inférence explicites.

Cela étant, le cours occupe une place d’entrée sur le site, et trois cours en dépendent. Mathématiques financières et Analyse de données avec R l’exigent comme unique prérequis, parce qu’ils emploient les suites arithmétiques et géométriques, le dénombrement, les équations et les systèmes linéaires, l’exponentielle et les logarithmes qui sont construits ici. Le troisième est sa continuation, Algèbre et géométrie II : trigonométrie, nombres complexes et géométrie de l’espace, qui reprend ce qui est acquis ici pour étudier les fonctions trigonométriques, la forme polaire des complexes, les matrices et la géométrie analytique de l’espace. Il s’ensuit que qui aspire à Analyse I doit suivre les deux cours, car ce cours exige le second.

Objectifs d’apprentissage globaux

Les objectifs ci-dessous décrivent ce qu’un étudiant qui achève le cours doit être capable de faire. Chacun est formulé comme une performance observable, de sorte qu’on puisse le vérifier par une tâche concrète ; chaque leçon thématique déclare, à son tour, ses propres objectifs, qui servent un ou plusieurs des objectifs globaux, et la leçon de clôture montre dans quelles unités et quelles leçons chacun est travaillé. Les huit objectifs sont numérotés pour pouvoir être cités.

1. Objectif 1. Démontrer des énoncés d’arithmétique, d’algèbre et de géométrie par un raisonnement déductif explicite, en employant la démonstration directe, la contraposition, le raisonnement par l’absurde, la récurrence sous ses diverses formes et le principe du bon ordre, et distinguer dans chaque démonstration ce qui est déduit de ce qui est admis.
2. Objectif 2. Construire les ensembles de nombres avec le langage des ensembles, des relations et des fonctions : les entiers naturels définis par les axiomes de Peano, les entiers relatifs et les rationnels comme classes d’équivalence, les réels comme corps ordonné complet et les complexes comme couples de réels ; expliquer quelle équation sans solution motive chaque extension et quelle propriété y est gagnée ou perdue.
3. Objectif 3. Démontrer et appliquer l’arithmétique des entiers relatifs : la division euclidienne et la divisibilité, les nombres premiers et la factorisation unique, le plus grand commun diviseur et les équations diophantiennes linéaires, les congruences, la numération de position et le dénombrement.
4. Objectif 4. Transformer des expressions algébriques (puissances, radicaux, polynômes et fractions rationnelles) et résoudre des équations, des inéquations et des systèmes du premier degré, polynomiaux, rationnels, avec radicaux et avec valeur absolue, en justifiant l’équivalence de chaque transformation et en vérifiant les solutions.
5. Objectif 5. Analyser des fonctions réelles d’une variable réelle, en déterminant leur ensemble de définition, leur ensemble image, leurs signes, leurs zéros, leurs asymptotes, leur réciproque et leur composition, et tracer leur courbe représentative, en particulier au moyen de transformations de courbes connues.
6. Objectif 6. Représenter des lieux géométriques du plan par des équations et, réciproquement, reconnaître la courbe que définit une équation : droites sous forme cartésienne, vectorielle et paramétrique, cercles, paraboles, ellipses et hyperboles d’axes parallèles aux axes de coordonnées, et régions définies par des inéquations.
7. Objectif 7. Résoudre des problèmes avec les fonctions exponentielle, logarithme et hyperboliques, en déduisant leurs propriétés de leurs définitions et en résolvant les équations et les inéquations qui les contiennent.
8. Objectif 8. Modéliser mathématiquement des situations de la science, de la technique, de l’économie et de la vie quotidienne avec les outils du cours (systèmes linéaires, programmation linéaire, modèles de croissance et de décroissance), et communiquer par écrit les mises en équation, les calculs et les démonstrations avec une notation correcte, une argumentation complète et un contrôle de la vraisemblance des résultats.

Les objectifs 2 à 7 correspondent, pour l’essentiel, aux grands thèmes du cours ; le premier et le huitième, en revanche, sont transversaux : ils n’appartiennent pas à une unité, mais s’exercent dans toutes. Il s’ensuit que leur réussite ne peut être attribuée à une seule leçon, et qu’il convient de les cultiver tout au long du cours. Or, tous deux ont aussi des leçons qui les servent de manière principale : le premier, l’introduction de l’unité 1, qui montre pourquoi aucun nombre fini de vérifications ne démontre une affirmation sur tous les entiers naturels, et les cinq synthèses, dont la partie centrale reconstruit la chaîne déductive de chaque unité ; le huitième, celles où la mise en équation d’un problème est la matière même : les systèmes linéaires qui modélisent des situations, la programmation linéaire et les modèles de croissance.

Contenus

Le cours s’organise en sept unités. La première et la dernière encadrent le parcours ; les cinq intermédiaires développent les contenus. Chacune de celles-ci s’ouvre par une leçon d’introduction, qui présente ses leçons, le contexte historique de ses idées, le problème à leur origine et leur importance, et se clôt par une leçon de synthèse, qui reconstruit la chaîne déductive de l’unité, la relie au reste du cours et propose dix défis d’une difficulté supérieure à celle des problèmes des leçons.

Unité 0. Présentation du cours

Elle se compose de cette leçon, qui fixe le propos, les objectifs globaux, les contenus, la charge de travail et la conception du cours.

Unité 1. Les entiers naturels

Son objectif est de fixer le langage des ensembles, des relations et des fonctions, de déduire des axiomes de Peano l’arithmétique des entiers naturels et des entiers relatifs, jusqu’aux congruences, et d’établir la récurrence comme l’instrument de démonstration du cours.

1. Les entiers naturels : introduction.
2. Ensembles, relations et fonctions.
3. Les entiers naturels et les axiomes de Peano.
4. Opérations de base sur les entiers naturels et relations d’ordre.
5. Sommes, suites arithmétiques et géométriques, récurrence.
6. Divisibilité et division euclidienne.
7. Nombres premiers et théorème fondamental de l’arithmétique.
8. Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple.
9. Congruences et arithmétique modulaire.
10. Systèmes de numération de position.
11. Combinatoire élémentaire et formule du binôme de Newton.
12. Les entiers naturels : synthèse et défis.

Unité 2. Les ensembles de nombres

Son objectif est d’étendre les entiers naturels jusqu’aux complexes, chaque fois pour résoudre une équation qui n’avait pas de solution, et de maîtriser l’ordre, la valeur absolue, les puissances et les équations du premier degré.

1. Les ensembles de nombres : introduction.
2. Ensembles de nombres : des entiers naturels aux complexes.
3. Les entiers relatifs : construction, signes et ordre.
4. Les nombres rationnels : les fractions et leurs opérations.
5. Le développement décimal des nombres rationnels.
6. La droite réelle : ordre, intervalles et valeur absolue.
7. Puissances à exposant rationnel et radicaux.
8. Équations et inéquations du premier degré, systèmes linéaires.
9. Les nombres complexes : opérations et équations.
10. Les ensembles de nombres : synthèse et défis.

Unité 3. Fonctions algébriques et polynômes

Son objectif est de faire de la factorisation l’instrument qui décide des racines, des signes, des inéquations, des ensembles de définition, des asymptotes et des courbes représentatives des fonctions algébriques.

1. Fonctions algébriques et polynômes : introduction.
2. Fonctions algébriques d’une variable réelle.
3. Opérations sur les fonctions, réciproque et transformations.
4. Algèbre des polynômes réels.
5. Factorisation des trinômes du second degré et de degré 2n.
6. Racines des polynômes de degré supérieur et division synthétique.
7. Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples.
8. Tableaux de signes et inéquations.
9. Fonctions rationnelles : asymptotes et courbe représentative.
10. Fonctions avec radicaux : ensemble de définition, signe, courbe.
11. Fonctions algébriques et polynômes : synthèse et défis.

Unité 4. Géométrie analytique du plan

Son objectif est de traduire les propriétés géométriques en équations et les équations en courbes, de la droite jusqu’aux coniques et aux régions de la programmation linéaire. Leurs analogues dans l’espace, les quadriques, ne sont traitées ni dans ce cours ni dans le cours II, qui n’en étudie que la sphère ; dans l’organisation actuelle du site, leur étude relève de Analyse III.

1. Géométrie analytique du plan : introduction.
2. L’équation de la droite et les repères cartésiens.
3. Vecteurs du plan et équations paramétriques de la droite.
4. L’équation de la parabole : définitions et propriétés.
5. Caractérisation et tracé des paraboles.
6. L’équation de l’ellipse et du cercle.
7. Le cercle : tangentes, positions relatives et puissance.
8. L’équation de l’hyperbole et sa déduction.
9. Les coniques : caractérisation et tracé.
10. Inéquations dans le plan et programmation linéaire.
11. Géométrie analytique du plan : synthèse et défis.

Unité 5. Fonctions exponentielle, logarithme et hyperboliques

Son objectif est de définir les fonctions qui changent les sommes en produits et les produits en sommes, d’en déduire les propriétés et de les employer dans la modélisation de la croissance.

1. Fonctions exponentielle, logarithme et hyperboliques : introduction.
2. La fonction exponentielle et les puissances à exposant réel.
3. Le nombre e et la fonction exponentielle.
4. La fonction logarithme et ses propriétés.
5. Équations et inéquations exponentielles et logarithmiques.
6. Modèles de croissance et de décroissance exponentielles.
7. Les fonctions hyperboliques.
8. Fonctions exponentielles et hyperboliques : synthèse et défis.

Unité 6. Clôture du cours

Elle se compose de la leçon Bilan final d’Algèbre et géométrie I, qui rappelle les huit objectifs globaux, montre sur une figure dans quelles unités et quelles leçons chacun est travaillé, réunit par objectif la première tentative des évaluations de sortie et indique où se poursuit l’étude.

Charge de travail et crédits

La charge de travail d’un cours ne se mesure pas aux heures d’exposé, qui n’existent pas dans un cours asynchrone, mais au travail total de l’étudiant : lire, suivre les démonstrations, résoudre des problèmes et réviser. L’estimation tient compte du temps de lecture, d’étude des problèmes résolus, de travail sur les problèmes proposés et sur les défis et de réponse aux évaluations d’unité, avec une marge pour la révision.

Résultats

Les leçons du cours contiennent au total $212$ problèmes résolus, $210$ problèmes proposés et $50$ défis. La charge de travail estimée par unité, arrondie à l’heure, se répartit ainsi :

• Unité 0, présentation du cours : $1$ heure.
• Unité 1, les entiers naturels : $69$ heures.
• Unité 2, les ensembles de nombres : $58$ heures.
• Unité 3, fonctions algébriques et polynômes : $63$ heures.
• Unité 4, géométrie analytique du plan : $62$ heures.
• Unité 5, fonctions exponentielle, logarithme et hyperboliques : $46$ heures.
• Unité 6, clôture du cours : moins d’une heure.

Le total est d’environ $299$ heures de travail de l’étudiant. Il convient de lire ce chiffre pour ce qu’il est : une estimation pour un étudiant qui étudie toutes les démonstrations et résout tous les problèmes et tous les défis. Qui maîtrise déjà une partie des contenus, ou se limite aux problèmes proposés sans aborder les défis, y passera bien moins de temps ; qui étudie le sujet pour la première fois et sans l’habitude de démontrer peut avoir besoin de davantage.

Or, le chiffre de $299$ heures est nominal : c’est celui qui fixe les crédits du cours, et il suppose une lecture du texte à rythme constant et trois quarts d’heure par défi. Tant qu’il n’est pas mesuré avec de vrais étudiants, il convient de l’accompagner d’une fourchette réaliste. Si la lecture avançait à la moitié du rythme supposé, comme c’est le cas lorsque chaque démonstration est réécrite avec un crayon et du papier, et si chaque défi exigeait soixante-quinze minutes au lieu de quarante-cinq, la même estimation donnerait environ $370$ heures. Par conséquent, la charge de travail à prévoir se situe entre environ $300$ et environ $370$ heures. La borne supérieure est une estimation prudente, non une mesure ; la fourchette sera corrigée lorsqu’on connaîtra le temps qu’y consacrent ceux qui étudient le cours, et jusque-là les crédits se calculent avec le chiffre nominal.

Rythme suggéré

Pour nommer les rythmes, ce plan et celui du cours II suivent le même critère : le temps plein est celui d’une année universitaire de $60$ crédits, environ $1650$ heures réparties sur une quarantaine de semaines, soit environ $40$ heures par semaine, et le mi-temps en est la moitié, environ $20$ heures par semaine. Il s’ensuit un rythme recommandé d’un semestre de seize semaines, avec environ $18$ ou $19$ heures d’étude par semaine, un peu moins qu’un mi-temps ; avec la fourchette réaliste, de $19$ à $23$ heures par semaine, il se situe autour du mi-temps. Le semestre d’après peut alors être consacré au cours d’Algèbre et géométrie II. Comme option plus souple, compatible avec d’autres matières exigeantes, le cours peut être réparti sur deux semestres, avec environ $9$ heures par semaine : la première moitié, unités 0 à 2, occupe environ $128$ heures, et la seconde, unités 3 à 6, environ $171$, de sorte qu’il convient de commencer le second semestre avec un peu d’avance.

Crédits

Les crédits de ce site mesurent la charge de travail totale qu’un cours exige de qui l’étudie (la lecture, les problèmes, les défis et la révision), et non les heures de cours. Un crédit équivaut à environ $27{,}5$ heures de travail, et une année à temps plein, à $60$ crédits, c’est-à-dire à environ $1650$ heures ; c’est le même critère que suit la sous-section précédente pour nommer les rythmes d’étude.

Or, en divisant les $299$ heures estimées par $27{,}5$, on obtient 10,9, qui s’arrondit à $11$. Si l’on admet pour le crédit une fourchette de $25$ à $30$ heures de travail, le nombre $C$ de crédits du cours est compris entre 10,0 et 12,0 :

Par conséquent, le cours compte $11$ crédits, un peu plus du sixième d’une année à temps plein. Cette charge de travail est supérieure à celle d’une matière semestrielle courante d’algèbre, ce qui s’explique par l’exigence d’étudier toutes les démonstrations et par la construction des ensembles de nombres, que les programmes habituels omettent d’ordinaire.

Leur utilité est pratique : ils permettent de comparer entre eux la charge de travail des cours du site et de décider combien il convient d’en étudier à la fois sans dépasser le temps disponible. Qui dispose, par exemple, d’un mi-temps pendant un semestre de seize semaines, c’est-à-dire d’environ $320$ heures, peut aborder des cours totalisant environ $12$ crédits ; à temps plein pendant le même semestre, environ $23$.

Ces crédits sont une mesure propre au site pour planifier l’étude : ils ne correspondent à aucun système officiel de crédits et n’impliquent la reconnaissance académique d’aucun établissement.

Conception du cours

Modalité

Le cours est asynchrone, en ligne et à rythme libre : il n’a ni dates, ni séances en direct, ni échéances, et chaque étudiant avance à la vitesse que lui permettent sa préparation et son temps. Il est proposé dans les quatorze langues du site, avec les mêmes mathématiques dans toutes : les formules et les étapes des démonstrations sont identiques dans chaque version, et seul le texte est traduit. Les leçons déclarent quelles autres leçons il convient d’avoir étudiées auparavant, de sorte que l’ordre recommandé est explicite et peut être vérifié.

La structure d’une leçon

Toutes les leçons thématiques suivent la même structure. Elles commencent par un résumé et par une liste d’objectifs d’apprentissage propres, formulés comme des performances observables. Viennent ensuite la théorie, avec les définitions, les théorèmes énoncés avec précision et leurs démonstrations, et les exemples. Les démonstrations et les exemples se présentent comme des lecteurs pas à pas : chaque étape écrit une ligne du raisonnement, éclaire les termes qui interviennent et, lorsqu’elle s’appuie sur un résultat antérieur, y revient et l’éclaire pendant la lecture, de sorte que la mémoire du raisonnement reste sous les yeux ; beaucoup s’accompagnent d’une figure qui change à chaque étape. La leçon se clôt par cinq problèmes résolus (six dans deux leçons de l’unité 3), avec leur solution pas à pas, et cinq problèmes proposés, chacun avec une indication repliée puis la réponse finale, pour que l’étudiant vérifie son résultat sans que le chemin lui soit révélé ; les problèmes proposés de démonstration ajoutent, repliée après la réponse, une solution détaillée, qu’il convient de n’ouvrir qu’après avoir rédigé la sienne.

Les leçons d’introduction et de synthèse ont une structure propre. L’introduction présente l’unité, son histoire, le problème à son origine et son importance ; la synthèse reconstruit la chaîne déductive de l’unité, la relie aux unités antérieures et ultérieures, et propose dix défis, chacun avec une indication, une réponse finale et une solution détaillée repliée, qui combinent plusieurs leçons et exigent plus d’invention que les problèmes proposés.

Le lecteur vocal

Chaque leçon peut être écoutée à voix haute avec le lecteur du site, qui utilise les voix de l’appareil lui-même : le texte est lu tel qu’il est écrit et les formules sont prononcées en mots. Cela permet de réviser une leçon loin de l’écran, de suivre une démonstration en l’écoutant tout en regardant le lecteur pas à pas, et d’étudier avec une déficience visuelle.

Évaluation

Le cours ne note pas : son évaluation est formative et repose sur l’auto-évaluation. Les problèmes proposés permettent de vérifier la réussite des objectifs de chaque leçon, et les défis, celle des objectifs de chaque unité.

S’y ajoutent les évaluations d’unité. Celle d’entrée, au début de l’introduction, est une auto-évaluation brève, de dix questions sur l’unité, auxquelles s’ajoutent, à partir de l’unité 2, trois questions sur ce que l’unité tient pour connu des unités antérieures, et elle mesure le point de départ ; celle de sortie, dans la synthèse et avant les défis, compte douze questions, mesure les acquis et se compare avec celle d’entrée. Les deux se corrigent dans le navigateur même : chaque réponse reçoit une explication, chaque erreur typique, une remarque qui l’identifie, et chaque question renvoie à la leçon qu’il convient de réviser. Aucune d’elles ne note ni ne certifie, et leurs résultats ne sont conservés que dans le navigateur de l’étudiant ; la validation des compétences acquises se fera plus tard sur une autre plateforme. Les cinq unités comportent les deux évaluations, et le bilan final réunit la première tentative de chaque évaluation de sortie dans un profil par objectif global.

Pour les objectifs globaux, on suggère les preuves de réussite ci-dessous :

• Objectif 1 : rédiger, sans consulter la leçon, la démonstration d’un théorème du cours, comme l’infinité des nombres premiers ou l’unicité de la division euclidienne, et celle d’un défi qui demande une récurrence.
• Objectif 2 : expliquer par écrit quelle équation motive chaque extension des entiers naturels aux complexes, et démontrer que la somme des entiers relatifs, définie au moyen de classes de couples d’entiers naturels, est bien définie.
• Objectif 3 : résoudre une équation diophantienne linéaire avec des contraintes, et calculer avec des congruences le reste d’une grande puissance.
• Objectif 4 : résoudre une inéquation rationnelle ou avec radicaux et valeur absolue, en justifiant chaque équivalence et en vérifiant la solution.
• Objectif 5 : étudier complètement une fonction rationnelle ou avec radicaux et tracer sa courbe représentative sans instrument de calcul, puis la vérifier avec un tel instrument.
• Objectif 6 : identifier la conique que définit une équation du second degré sans terme en $xy$, avec tous ses éléments, et décrire par des inéquations une région limitée par des droites et des coniques.
• Objectif 7 : résoudre une équation logarithmique en vérifiant l’ensemble de définition, et démontrer une identité hyperbolique à partir des définitions.
• Objectif 8 : mettre en équation et résoudre un problème de programmation linéaire ou ajuster un modèle exponentiel à des données, et rédiger la solution complète, avec mise en équation, développement, réponse et contrôle de vraisemblance, de sorte qu’une autre personne puisse la suivre sans explications supplémentaires.

Comment étudier ce cours

Le cours est conçu pour être étudié dans l’ordre. Chaque unité suppose les unités antérieures, et beaucoup de démonstrations citent des résultats de leçons antérieures ; sauter une leçon oblige, tôt ou tard, à y revenir.

Chaque unité comporte deux points de contrôle. L’évaluation d’entrée, au début de l’introduction, est le point de départ : il convient d’y répondre avant d’étudier l’unité, sans rien consulter, et de noter les leçons auxquelles renvoient les erreurs, qui sont celles qui demandent le plus de soin. L’évaluation de sortie, dans la synthèse et avant les défis, est le point de comparaison : on y répond après avoir terminé les leçons, également sans consulter, et on la compare avec celle d’entrée pour voir ce qui a changé et quelles leçons il convient de réviser. Dans les deux, c’est la première tentative qui compte, celle que l’on compare et celle que réunit le profil du bilan final ; les tentatives ultérieures se font après avoir vu les retours. Les défis complètent la vérification, car ils exigent de combiner et de rédiger ce que les questions brèves ne font qu’effleurer. Il s’ensuit que qui croit maîtriser déjà une unité ne doit pas en décider sur une seule épreuve : si son évaluation de sortie est solide et s’il résout les défis de la synthèse, il peut passer à l’unité d’après ; sinon, il convient de parcourir les leçons que l’une et les autres signalent.

Dans chaque leçon, il convient de lire d’abord le résumé et les objectifs, qui disent ce que l’on cherche ; d’étudier ensuite la théorie avec un crayon et du papier, en essayant d’anticiper chaque étape des démonstrations avant que le lecteur ne l’écrive ; de tenter les problèmes résolus avant de regarder leur solution, et de résoudre les problèmes proposés sans aide, en n’ouvrant l’indication que lorsque la tentative est épuisée, et la réponse seulement à la fin, pour vérifier. Un problème dont on a consulté la réponse avant de le tenter n’a pas été résolu, mais lu.

Les défis sont plus difficiles que les problèmes des leçons, et il est normal que certains demandent plusieurs tentatives sur des jours différents. Il ne convient pas de s’arrêter indéfiniment sur l’un d’eux : le noter, continuer d’avancer et y revenir plus tard est souvent le chemin le plus court. Or, la charge de travail estimée suppose que tous sont tentés sérieusement, et c’est dans cet effort que se joue une bonne part de ce que le cours peut enseigner.

Enfin, il convient d’écrire. Rédiger une démonstration ou une solution complète, avec ses prémisses et ses conclusions, est la seule manière de savoir si l’on a compris, et c’est aussi le huitième des objectifs du cours. Un cahier d’étude, dans lequel on réécrit avec ses propres mots les définitions et les théorèmes de chaque unité, est le meilleur matériau de révision que le cours puisse laisser.