Bilan final d’Algèbre et géométrie I

Résumé

Cette entrée n’est pas une leçon de plus, mais le bilan final du cours : elle rappelle les huit objectifs d’apprentissage que le plan d’études s’est fixés au départ, montre dans une seule figure comment chaque unité et chacune de ses leçons y ont contribué, réunit objectif par objectif le premier essai des évaluations de sortie des unités et clôt le parcours en indiquant où il se poursuit, dans le cours d’Algèbre et géométrie II et dans les disciplines que ce premier cours ouvre.

Ce que le cours s’est proposé

Le cours est né d’un but général : construire, à partir de quelques axiomes sur les entiers naturels, les ensembles de nombres, l’algèbre des polynômes, les fonctions algébriques et transcendantes élémentaires et la géométrie analytique du plan, en démontrant chaque résultat employé, de sorte que qui l’achève sache non seulement calculer, mais aussi d’où provient chaque calcul. La leçon sur le plan d’études a déployé ce but en huit objectifs d’apprentissage globaux, qu’il convient d’avoir sous les yeux avec la numérotation par laquelle la figure les cite :

Démontrer par un raisonnement déductif explicite, en distinguant ce qui est déduit de ce qui est admis.
Construire les ensembles de nombres, des axiomes de Peano aux nombres complexes sous forme algébrique, avec le langage des ensembles, des relations et des fonctions.
Démontrer et appliquer l’arithmétique des entiers : divisibilité, nombres premiers, plus grand commun diviseur, congruences, numération de position et dénombrement.
Transformer des expressions algébriques et résoudre des équations, des inéquations et des systèmes, en justifiant chaque passage.
Analyser des fonctions réelles et en tracer la courbe représentative.
Représenter des lieux géométriques du plan par des équations et reconnaître la courbe que définit une équation.
Résoudre des problèmes avec les fonctions exponentielle, logarithme et hyperboliques, en déduisant leurs propriétés de leurs définitions.
Modéliser des situations de la science, de la technique et de la vie quotidienne, et communiquer par écrit des mises en équation, des calculs et des démonstrations.

Chaque leçon thématique du cours a en outre énoncé ses propres objectifs spécifiques, et chacun d’eux a servi directement un ou plusieurs de ces huit ; les leçons d’introduction, en revanche, ont aussi énoncé des objectifs d’orientation (décrire l’unité, situer son histoire) qui ne contribuent à aucun. Les synthèses, selon un critère commun aux deux cours d’Algèbre et géométrie, sont reliées à l’objectif 1, parce que leur cœur reconstruit la chaîne déductive de l’unité. S’il en est ainsi, le cours entier prend la forme d’une colonne vertébrale : la tête est le but général ; la colonne, l’ordre des unités, chacune avec son tronçon ; chaque leçon est un nœud de ce tronçon, relié à l’objectif global qu’il sert le plus directement, et les huit objectifs flottent autour de la colonne, soutenus par les leçons qui les nourrissent.