代数与几何 I：最终回顾

摘要

本条目不是又一节课，而是课程的最终回顾：它重温课程计划在开始时提出的八项学习目标，用一张图展示每个单元及其每一节课如何为这些目标作出贡献，逐项目标地汇总各单元结业测评的首次作答，并指出课程此后延伸的方向，以此结束整个历程：在代数与几何 II 课程中，以及在这第一门课程所开启的各门学科中。

课程的宗旨

课程诞生时有一个总目标：从关于自然数的少数几条公理出发，构建数系、多项式的代数、初等代数函数与超越函数以及平面解析几何，并证明所用到的每一个结果，使学完课程的人不仅会计算，而且知道每个计算从何而来。关于课程计划的那一课把这一总目标展开为八项总体学习目标；不妨把它们连同图中引用它们时所用的编号一起放在眼前：

以明确的演绎推理进行证明，区分推导出的内容与承认的内容。
用集合、关系与函数的语言构造数系，从皮亚诺公理直到代数形式的复数。
证明并运用整数的算术：整除性、素数、最大公因数、同余、位值记数法与计数。
变换代数式，解方程、不等式与方程组，并为每一处变形给出依据。
分析实函数并作出其图像。
用方程表示平面上的轨迹，并辨认一个方程所确定的曲线。
运用指数函数、对数函数与双曲函数解决问题，并从它们的定义推出它们的性质。
为科学、技术与日常生活中的情境建立模型，并以书面形式表达问题的建立、计算与证明。

此外，课程的每节专题课都声明了自己的具体目标，其中每一项都直接服务于这八项目标中的一项或几项；导言课则不同，还声明了一些定向性目标（描述本单元、交代其历史），它们不服务于任何一项。按照代数与几何两门课程共同的标准，总结课都与目标 1 相连，因为它们的核心重建了本单元的演绎链。若是如此，整门课程便可呈现为一条脊柱的形态：头部是总目标；中轴是各单元的顺序，每个单元有自己的一截；每节课是这一截上的一个节点，与它最直接服务的总体目标相连；八项目标环绕中轴浮动，由滋养它们的各课支撑。