Plan de estudios de Cálculo I

Propósito y destinatarios

Tres problemas antiguos condujeron al cálculo: la velocidad de un móvil en un instante, la pendiente de la tangente a una curva y el área de una figura curva. En los tres, la sustitución directa produce $\frac{0}{0}$ o una suma sin sentido, y la respuesta correcta es aquello a lo que se acercan las aproximaciones. Este curso da a esa idea de acercarse una definición exacta, el límite, y estudia con ella los dos primeros problemas, que conducen a la derivada; el tercero conduce a la integral, materia de Cálculo II: Cálculo Integral.

Su propósito es fundar el cálculo diferencial de las funciones de una variable real sobre la definición de límite y el axioma de completitud, y deducir de ellos, con demostraciones completas, lo que la derivada permite saber del cambio, de la forma y de los extremos de una función. Si esto es así, el curso no es un repertorio de reglas de derivación, sino un edificio deductivo: cada resultado que se emplea se enuncia y se demuestra, o se declara expresamente admitido cuando su demostración pertenece a otro curso, como ocurre con el teorema que garantiza la existencia de las funciones definidas implícitamente o con la rapidez con que converge el método de Newton-Raphson, que exigen instrumentos posteriores. Las definiciones se escriben como enunciados cuantificados, y las demostraciones con épsilon y delta se ordenan para reutilizarse: tres lemas de la clase sobre el álgebra de límites sostienen las reglas de los límites, y la factorización de Carathéodory, las reglas de derivación.

Se dirige a quien haya completado Álgebra y Geometría II, o domine por otra vía sus contenidos: estudiantes del primer año universitario de ciencias, ingeniería, economía o pedagogía en matemática, estudiantes de los últimos años de la enseñanza escolar que preparan su ingreso a la universidad, y quien quiera reconstruir con rigor un cálculo que aprendió como un conjunto de reglas.

Conocimientos previos y prerrequisitos

El prerrequisito del curso es Álgebra y Geometría II, que supone a su vez Álgebra y Geometría I. De los dos, el curso usa sobre todo el axioma de completitud de los números reales, con el supremo y el ínfimo, y el cálculo con desigualdades y valores absolutos, que la clase sobre la recta real establece y sobre los que descansan los teoremas de Bolzano, de Weierstrass y del valor medio; las funciones, sus inversas, sus transformaciones y sus tablas de signos; las potencias de exponente real, el número $e$ y la exponencial natural, el logaritmo y las funciones hiperbólicas; la inducción y el binomio de Newton; y, de Álgebra y Geometría II, las funciones trigonométricas, sus inversas, las fórmulas de suma y de transformación en productos, y la desigualdad $\sin x < x < \tan x$ para $0 < x < \frac{\pi}{2}$, de la que depende la derivada del seno.

Ahora bien, muchos de esos resultados se admitieron allí sin demostración porque exigían el límite: la continuidad de las funciones racionales y de las trigonométricas, las asíntotas y el teorema del valor intermedio. Este curso los demuestra uno por uno. Quien dude de alguno de los conocimientos previos puede volver a la síntesis de la unidad correspondiente de Álgebra y Geometría; además, la evaluación de entrada de cada unidad incluye preguntas sobre lo que la unidad da por sabido, con la clase que conviene repasar ante cada error.

El curso está pensado, por último, para seguirse en paralelo con un curso de lógica de predicados, la Lógica Matemática II, prevista en el sitio: las clases escriben las definiciones como enunciados cuantificados y trabajan su negación sin depender de ese curso. Quien quiera adquirir antes el hábito de la deducción formal puede estudiar Lógica Matemática I: Lógica Proposicional.

Hacia dónde conduce

Dos cursos tienen a este por prerrequisito. Cálculo II: Cálculo Integral definirá la integral como el límite de sumas de áreas de rectángulos, la ligará con la derivada mediante el teorema fundamental, cuya base es el corolario según el cual dos funciones con la misma derivada difieren en una constante, y recorrerá al revés las reglas de derivación: la sustitución invierte la regla de la cadena, y la integración por partes, la del producto. Mecánica I: Fundamentos de Mecánica tomará la velocidad y la aceleración como la primera y la segunda derivada de la posición. Después de Cálculo II, Cálculo III: Cálculo Multivariable llevará el límite, la derivada y los extremos a las funciones de varias variables.

De ello se sigue lo que este curso deja, por decisión expresa, a los siguientes. A Cálculo II, la continuidad uniforme, las primitivas, las sucesiones, que abrirán la integral definida y, al final, las series, y el polinomio de Taylor, que acotará el error de la diferencial y demostrará la convergencia cuadrática del método de Newton-Raphson. A Cálculo III, las curvas paramétricas y el teorema de la función implícita, que la derivación implícita de la unidad 2 supone.

Los resultados del curso reaparecen también en cursos que no lo exigen. En Matemáticas Financieras, la capitalización continua será un límite notable, y la tasa que iguala el valor presente de una serie de pagos con un monto dado se calculará con el método de Newton-Raphson. En Análisis de Datos con R, los modelos de crecimiento se distinguirán por su comportamiento en el infinito, y la media de unos datos se obtendrá como el número que hace mínima una suma de cuadrados. En Programación en C++ I, la bisección confía en el teorema del valor intermedio, el costo de un algoritmo se mide con la notación de la $\operatorname{O}$ grande, y la aritmética de coma flotante explica los errores de redondeo con que un computador engaña a una tabla de valores, como la de la unidad 1.

Objetivos de aprendizaje globales

Los objetivos siguientes describen lo que quien complete el curso debe ser capaz de hacer. Cada uno se formula como un desempeño observable, de modo que pueda comprobarse con una tarea concreta; cada clase declara, a su vez, sus propios objetivos, y la clase de cierre muestra, clase por clase, a cuál de estos siete se asignó cada una. Los objetivos se numeran para que puedan citarse en ella.

1. Objetivo 1. Demostrar los enunciados del cálculo diferencial mediante razonamiento deductivo explícito: escribir las definiciones como enunciados cuantificados y negarlos, construir argumentos con épsilon y delta que reutilicen los lemas ya demostrados, deducir los teoremas de existencia del axioma de completitud, mostrar con contraejemplos que una hipótesis no puede suprimirse, y distinguir en cada demostración lo deducido de lo admitido.
2. Objetivo 2. Definir y calcular límites de funciones de una variable real, finitos, laterales, en el infinito e infinitos, resolver las formas indeterminadas con el álgebra de límites, el teorema del sándwich, los límites notables, los infinitésimos equivalentes y la regla de L'Hôpital, y determinar con ellos las asíntotas de una función y la representación de su gráfico.
3. Objetivo 3. Decidir la continuidad de una función y clasificar sus discontinuidades, demostrar la continuidad de las funciones elementales y de sus inversas, y aplicar los teoremas de Bolzano, del valor intermedio y de Weierstrass, que descansan en el axioma de completitud, para probar la existencia de soluciones y de valores extremos y para hallar la imagen de un intervalo.
4. Objetivo 4. Definir la derivada como límite del cociente incremental y caracterizarla por la aproximación lineal y por la factorización de Carathéodory, demostrar las reglas de derivación, la regla de la cadena y la derivada de la función inversa, y derivar con ellas las funciones elementales, las funciones definidas implícitamente, las potencias de exponente variable y las derivadas sucesivas, precisando el dominio de cada derivada.
5. Objetivo 5. Demostrar y aplicar los teoremas de Fermat, de Rolle, del valor medio de Lagrange y del valor medio de Cauchy, deducir de ellos los criterios de monotonía, de extremos locales y absolutos y de convexidad, y estudiar con la primera y la segunda derivada la forma del gráfico de una función: crecimiento, extremos, concavidad, inflexión y curvatura.
6. Objetivo 6. Aproximar valores de funciones y raíces de ecuaciones con la diferencial, el método de bisección y el de Newton-Raphson, acotar el error de cada aproximación con el teorema del valor medio, la monotonía o la convexidad, y reconocer cuándo un método falla o converge con lentitud.
7. Objetivo 7. Modelar con la derivada situaciones de la geometría, de la física y de las demás ciencias, como razones de cambio, tasas relacionadas y problemas de optimización, fijando las variables, sus unidades y el dominio con precisión, y comunicar por escrito los planteamientos, los cálculos y las demostraciones con notación correcta, incluida la de Leibniz, argumentación completa y control de la plausibilidad de los resultados.

Los objetivos 2, 4 y 5 corresponden, en lo esencial, a las tres unidades de contenido: el 2 a la unidad 1, que estudia los límites; el 4 a la unidad 2, que estudia las derivadas; el 5 a la unidad 3, que aplica los teoremas del valor medio. La regla de L'Hôpital, aunque se demuestra en la unidad 3 a partir del teorema de Cauchy, sirve sobre todo para calcular límites, y por eso pertenece al objetivo 2. Los objetivos 3 y 6 son hilos que atraviesan las tres unidades. El objetivo 3 tiene como principales la clase sobre el límite y la continuidad de la unidad 1, la del teorema del valor intermedio de la unidad 2 y la del teorema de Weierstrass de la unidad 3; las dos últimas descansan en la completitud, que la unidad 1 usa ya para los límites de las funciones monótonas. La aproximación aparece en la parte principal de un infinitésimo, en la bisección, en la diferencial y en las cotas que da el teorema del valor medio, y tiene en el método de Newton-Raphson su clase propia. El primero y el séptimo, en cambio, son transversales: no pertenecen a una unidad, sino que se ejercitan en todas. De ello se sigue que su logro no puede atribuirse a una clase determinada, y que conviene cultivarlos a lo largo del curso entero. Ahora bien, ambos tienen también clases que los sirven de modo principal: el primero, las tres síntesis, cuya parte central reconstruye la cadena deductiva de cada unidad; el séptimo, las dos clases en que el planteamiento es la materia misma, la de las razones de cambio y las tasas relacionadas y la de los problemas de optimización.

Contenidos

El curso se organiza en cinco unidades. La primera y la última enmarcan el recorrido; las tres intermedias desarrollan los contenidos. Cada una de estas se abre con una clase de introducción, que presenta sus clases, el trasfondo histórico de sus ideas, el problema que les dio origen y su relevancia, y se cierra con una clase de síntesis, que reconstruye la cadena deductiva de la unidad, la enlaza con el resto del curso y con Álgebra y Geometría, y propone diez desafíos de dificultad superior a la de los problemas de las clases.

Unidad 0. Presentación del curso

Consta de esta clase, que fija el propósito, los objetivos globales, los contenidos, la dedicación y el diseño del curso.

Unidad 1. Límites y continuidad

Su objetivo es definir el límite con épsilon y delta, demostrar sus reglas y calcularlo en todas sus formas, finitas, laterales, en el infinito e infinitas; definir con límites las asíntotas; definir la continuidad y demostrarla para las funciones elementales, y comparar funciones mediante los infinitésimos y los infinitos equivalentes.

1. Límites y continuidad: introducción.
2. Límite de funciones de una variable real.
3. Álgebra de límites.
4. El teorema del sándwich y los límites trigonométricos.
5. Límites laterales.
6. Límites cuando la variable tiende a infinito.
7. Límites infinitos.
8. Asíntotas y técnicas de representación gráfica.
9. Límite y continuidad.
10. Continuidad de las funciones elementales y límites notables.
11. Infinitésimos e infinitos equivalentes.
12. Límites y continuidad: síntesis y desafíos.

Unidad 2. Derivadas

Su objetivo es definir la derivada como límite y caracterizarla por la aproximación lineal y por la factorización de Carathéodory; demostrar las reglas de derivación y la regla de la cadena; demostrar el teorema del valor intermedio, del que se deduce la continuidad de la inversa que exige su derivada; derivar las funciones elementales, sus inversas, las funciones definidas implícitamente y las potencias de exponente variable, y aplicar las derivadas sucesivas, la diferencial y las razones de cambio.

1. Derivadas: introducción.
2. La derivada como el límite de una función.
3. Reglas de derivación.
4. Derivadas de las funciones elementales.
5. Regla de la cadena para la derivada de la composición de funciones.
6. Teorema del valor intermedio.
7. Derivada de la función inversa y derivación implícita.
8. La variable en el exponente y la derivación logarítmica.
9. Derivadas sucesivas y diferencial.
10. Razones de cambio y tasas relacionadas.
11. Derivadas: síntesis y desafíos.

Unidad 3. Aplicaciones de las derivadas

Su objetivo es demostrar, a partir del axioma de completitud, los teoremas de Weierstrass, de Fermat, de Rolle, de Lagrange y de Cauchy, y deducir de ellos la regla de L'Hôpital y los criterios de monotonía, de extremos y de convexidad; estudiar la curvatura de un gráfico, resolver problemas de optimización y aproximar raíces con el método de Newton-Raphson.

1. Aplicaciones de las derivadas: introducción.
2. Teorema de Weierstrass de los valores extremos.
3. Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy.
4. Regla de L'Hôpital.
5. Monotonía y criterio de la primera derivada.
6. Máximos y mínimos de una función.
7. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
8. Curvatura y radio de curvatura.
9. Problemas de optimización.
10. El método de Newton-Raphson.
11. Aplicaciones de las derivadas: síntesis y desafíos.

Unidad 4. Cierre del curso

Consta de la clase Balance final de Cálculo I, que recuerda los siete objetivos globales, muestra en una figura a cuál de ellos se asignó cada clase del curso y qué objetivos específicos alcanzó cada unidad, y reúne por objetivo el primer intento de las evaluaciones de salida.

Dedicación y créditos

La dedicación de un curso no se mide por las horas de exposición, que en un curso asincrónico no existen, sino por el trabajo total de quien lo estudia: leer, seguir las demostraciones, resolver problemas y repasar. La estimación sigue el mismo método en todos los cursos del sitio: cuenta el tiempo de lectura del texto de cada clase a cien palabras por minuto, contando cada fórmula como una palabra, veinte minutos por problema resuelto, treinta y cinco por problema propuesto, cuarenta y cinco por desafío y doce por evaluación de entrada o de salida, y añade un margen de un décimo para el repaso.

Resultados

Las clases de las unidades 1 a 3 contienen en conjunto $140$ problemas resueltos, $140$ problemas propuestos y $30$ desafíos, además de seis evaluaciones de unidad. La dedicación estimada por unidad, redondeada a la hora, es la siguiente:

• Unidad 0, presentación del curso: menos de $1$ hora.
• Unidad 1, límites y continuidad: $66$ horas.
• Unidad 2, derivadas: $61$ horas.
• Unidad 3, aplicaciones de las derivadas: $63$ horas.
• Unidad 4, cierre del curso: menos de $1$ hora.

Las tres unidades de contenido tienen una carga parecida: la unidad 1 reúne más clases, y la unidad 3, clases más extensas. El total es de unas $191$ horas de trabajo. Conviene leer esta cifra como lo que es: una estimación para quien estudia todas las demostraciones y resuelve todos los problemas y desafíos. Quien ya haya estudiado cálculo, o se limite a los problemas propuestos sin abordar los desafíos, empleará bastante menos; quien estudie el tema por primera vez y sin hábito de demostrar puede necesitar más, sobre todo en la unidad 1, donde se aprende a razonar con épsilon y delta.

Ahora bien, la cifra es nominal: es la que fija los créditos del curso, y supone una lectura a ritmo constante y tres cuartos de hora por desafío. Mientras no se mida con estudiantes reales, conviene acompañarla de una banda realista. Si la lectura avanzara a la mitad del ritmo supuesto, como ocurre cuando cada demostración se reescribe con papel y lápiz, y cada desafío exigiera setenta y cinco minutos en lugar de cuarenta y cinco, el mismo método daría unas $231$ horas. Por tanto, la dedicación esperable se sitúa entre unas $191$ y unas $231$ horas. El extremo superior es una cota prudente, no una medición; la banda se corregirá cuando se conozca el tiempo que emplean quienes estudian el curso, y hasta entonces los créditos se calculan con la cifra nominal.

Ritmo sugerido

Para nombrar los ritmos, este plan usa el mismo criterio que los demás planes del sitio: la dedicación completa es la de un año académico de $60$ créditos, unas $1650$ horas repartidas en unas cuarenta semanas, es decir, unas $40$ horas semanales, y la media jornada es la mitad, unas $20$ horas semanales. De ello se sigue un ritmo recomendado de un semestre de dieciséis semanas, con unas $12$ horas semanales de estudio, menos de un tercio de la dedicación completa; con la banda realista, de $12$ a $14$ horas semanales, sigue por debajo de la media jornada. Así, Cálculo I puede ocupar el semestre siguiente a Álgebra y Geometría II, y Cálculo II, el que viene después.

Un ritmo intensivo, de unas $24$ horas semanales, algo más de la media jornada, completa el curso en ocho semanas, lo que equivale a la dedicación de quien no estudia ningún otro curso exigente en el mismo período. Un ritmo más holgado, de unas $6$ horas semanales, lo lleva a dos semestres, que pueden repartirse así: las unidades 0 a 2, los límites, la continuidad y las derivadas, ocupan unas $128$ horas, y las unidades 3 y 4, las aplicaciones de las derivadas y el cierre, unas $63$.

Créditos

Los créditos de este sitio miden la dedicación total que un curso exige a quien lo estudia (la lectura, los problemas, los desafíos y el repaso), y no las horas de clase. Un crédito equivale a unas $27{,}5$ horas de trabajo, y un año de dedicación completa, a $60$ créditos, es decir, a unas $1650$ horas; es el mismo criterio con que el apartado anterior nombra los ritmos de estudio.

Ahora bien, dividiendo las $191$ horas estimadas por $27{,}5$ se obtiene 6,95, que se redondea a $7$. Si se admite para el crédito una banda de $25$ a $30$ horas de trabajo, el número $C$ de créditos del curso queda acotado entre 6,4 y 7,6:

Por tanto, el curso tiene $7$ créditos, algo menos de la octava parte de un año de dedicación completa. Quien desee estudiar solo una parte del curso puede usar la lista de horas por unidad: las unidades 0 a 2, por ejemplo, suman unas $128$ horas, es decir, unos $5$ créditos.

Su utilidad es práctica: permiten comparar entre sí la carga de los cursos del sitio y decidir cuántos conviene estudiar a la vez sin sobrepasar el tiempo disponible. Quien disponga, por ejemplo, de media jornada durante un semestre de dieciséis semanas, es decir, de unas $320$ horas, puede abordar cursos que sumen unos $12$ créditos; con la dedicación completa del mismo semestre, unos $23$.

Estos créditos son una medida propia del sitio para planificar el estudio: no corresponden a ningún sistema oficial de créditos ni suponen el reconocimiento académico de ninguna institución.

Diseño del curso

Modalidad

El curso es asincrónico, en línea y de ritmo autónomo: no tiene fechas, sesiones en vivo ni plazos, y cada estudiante avanza a la velocidad que le permiten su preparación y su tiempo. Por ahora está escrito en español; se traducirá a los catorce idiomas del sitio, con la misma matemática en todos: las fórmulas y los pasos de las demostraciones serán idénticos en cada versión, y solo se traducirá el texto. Cada clase declara qué clase conviene haber estudiado antes, y las primeras remiten a Álgebra y Geometría, de modo que el orden recomendado es explícito y puede verificarse.

La estructura de una clase

Todas las clases temáticas siguen la misma estructura. Comienzan con un resumen y con una lista de objetivos de aprendizaje propios, formulados como desempeños observables. Siguen la teoría, con las definiciones, los teoremas enunciados con precisión y sus demostraciones, y los ejemplos. Las demostraciones y los ejemplos se presentan como reproductores de pasos: cada paso escribe una línea del razonamiento, ilumina los términos que intervienen y, cuando se apoya en un resultado anterior, vuelve sobre él y lo ilumina mientras se lee, de modo que la memoria del razonamiento quede a la vista; muchos se acompañan de una figura que cambia con cada paso. Cierran la clase cinco problemas resueltos, con su solución paso a paso, y cinco problemas propuestos, cada uno con una pista plegada y, después, la respuesta final, para que el estudiante compruebe su resultado sin que se le revele el camino; algunos propuestos, sobre todo los de demostración, añaden, plegada tras la respuesta, una solución desarrollada, que conviene abrir solo después de haber redactado la propia.

Las clases de introducción y de síntesis tienen una estructura propia. La introducción presenta la unidad, su historia, el problema que le dio origen y su relevancia; la síntesis reconstruye en una figura la cadena deductiva de la unidad, con los resultados que reutiliza y los eslabones que demuestra, la enlaza con las unidades anteriores y con Álgebra y Geometría, y propone diez desafíos, cada uno con pista, respuesta final y una solución desarrollada plegada, que combinan varias clases y exigen más invención que los problemas propuestos.

El lector de voz

Cada clase puede escucharse en voz alta con el lector del sitio, que usa las voces del propio dispositivo: el texto se lee tal como está escrito y las fórmulas se pronuncian en palabras. Esto permite repasar una clase lejos de la pantalla, seguir una demostración escuchándola mientras se mira el reproductor de pasos, y estudiar con limitaciones visuales.

Evaluación

El curso no califica ni certifica: su evaluación en el sitio es formativa. Los problemas propuestos permiten comprobar el logro de los objetivos de cada clase, y los desafíos, el de los objetivos de cada unidad. Cada una de las tres unidades de contenido tiene, además, una evaluación de entrada en su introducción y una de salida en su síntesis, antes de los desafíos: autoevaluaciones breves, corregidas en el navegador sin calificación. La de entrada tiene nueve o diez preguntas sobre la unidad, más cinco o seis sobre lo que la unidad da por sabido de las anteriores o de Álgebra y Geometría, y la de salida, once o doce; ambas indican qué clase repasar ante cada error y se comparan entre sí para mostrar el avance. El balance final reúne el primer intento de cada evaluación de salida en un perfil por objetivo global, que se guarda, como ellas, solo en el navegador del estudiante. La validación de las habilidades, con valor de certificación, se hará más adelante y fuera de este sitio, en otra plataforma.

Para los objetivos globales se sugieren, además, las evidencias de logro siguientes, que cada estudiante puede producir por sí mismo:

• Objetivo 1: redactar, sin consultar la clase, la demostración de un teorema del curso, como la regla de la cadena con la factorización de Carathéodory o el teorema del valor medio de Lagrange, y mostrar con un contraejemplo que ninguna de sus hipótesis sobra.
• Objetivo 2: calcular un límite indeterminado por dos caminos, con los infinitésimos equivalentes y con la regla de L'Hôpital, y hallar todas las asíntotas de una función.
• Objetivo 3: demostrar que una ecuación tiene exactamente una solución en un intervalo, con el teorema de Bolzano y la monotonía, y hallar la imagen de un intervalo cerrado y acotado por una función continua.
• Objetivo 4: derivar una potencia de base y exponente variables y una función definida implícitamente, precisando dónde existe cada derivada.
• Objetivo 5: estudiar la monotonía, los extremos, la convexidad y los puntos de inflexión de una función, y trazar con ellos su gráfico.
• Objetivo 6: aproximar una raíz de una ecuación que no se despeja con el método de Newton-Raphson, elegir el punto de partida y acotar el error de la aproximación obtenida.
• Objetivo 7: escribir la solución completa de un problema de optimización o de tasas relacionadas, con planteamiento, dominio, desarrollo, justificación del extremo, respuesta y control de plausibilidad, de modo que otra persona pueda seguirla sin explicaciones adicionales.

Cómo estudiar este curso

El curso está pensado para estudiarse en orden. Cada unidad supone las anteriores y los dos cursos de Álgebra y Geometría, y muchas demostraciones citan resultados de clases previas; saltar una clase obliga, tarde o temprano, a volver sobre ella. Esto vale sobre todo para la unidad 1: las definiciones con épsilon y delta y los lemas de sus primeras clases sostienen todas las demostraciones posteriores.

Cada unidad tiene dos puntos de control. La evaluación de entrada, al comienzo de la introducción, es el punto de partida: conviene responderla antes de estudiar la unidad, sin consultar nada, y anotar las clases a las que remiten los errores, que son las que piden más cuidado. La evaluación de salida, en la síntesis y antes de los desafíos, es el contraste: se responde al terminar las clases, también sin consultar, y se compara con la de entrada para ver qué cambió y qué clases conviene repasar. En ambas cuenta el primer intento, que es el que se compara y el que reúne el perfil del balance final; los siguientes se hacen ya con la retroalimentación vista. Los desafíos completan la comprobación, porque exigen combinar y redactar lo que las preguntas breves solo tocan. De ello se sigue que quien crea dominar ya una unidad no debe decidirlo por una sola prueba: si su evaluación de salida es sólida y resuelve los desafíos de la síntesis, puede pasar a la siguiente; si no, conviene recorrer las clases que una y otros señalen.

En cada clase, conviene leer primero el resumen y los objetivos, que dicen qué se busca; estudiar después la teoría con papel y lápiz, intentando anticipar cada paso de las demostraciones antes de que el reproductor lo escriba; intentar los problemas resueltos antes de mirar su solución, y resolver los propuestos sin ayuda, abriendo la pista solo cuando el intento se haya agotado, y la respuesta solo al final, para comprobar. Un problema cuya respuesta se consultó antes de intentarlo no ha sido resuelto, sino leído. En un curso de cálculo, además, conviene desconfiar de las tablas de valores y de los gráficos trazados por una calculadora: sugieren un límite o un extremo, pero no lo demuestran, y la unidad 1 muestra tablas que engañan.

Los desafíos son más difíciles que los problemas de las clases, y es normal que algunos requieran varios intentos en días distintos. No conviene detenerse indefinidamente en uno: anotarlo, seguir avanzando y volver a él más tarde es, con frecuencia, el camino más corto. Ahora bien, la dedicación estimada supone que todos se intentan con seriedad, y en ese esfuerzo se juega buena parte de lo que el curso puede enseñar.

Por último, conviene escribir. Redactar una demostración o una solución completa, con sus premisas y sus conclusiones, es la única manera de saber si se ha comprendido, y es también el séptimo de los objetivos del curso. Un cuaderno de estudio, en el que se reescriban con palabras propias las definiciones y los teoremas de cada unidad, es el mejor material de repaso que el curso puede dejar, y lo será más aún en Cálculo II, que volverá sobre casi todo lo que aquí se demuestra.