Studienplan des Kurses Algebra und Geometrie I

Zweck und Zielgruppe

Dieser Kurs ist der erste der beiden, die die Algebra und die Geometrie zusammenfassen, die der Analysis und der Hochschulmathematik vorausgehen. Sein Zweck ist nicht nur, das Rechnen zu lehren, sondern zu zeigen, woher jede Rechnung stammt: Der Kurs konstruiert seine Gegenstände, statt sie als bekannt vorauszusetzen, geht von wenigen Axiomen über die natürlichen Zahlen aus und leitet aus ihnen, Erweiterung um Erweiterung, die Arithmetik der ganzen, der rationalen, der reellen und der komplexen Zahlen in algebraischer Form her, die Algebra der Polynome und die algebraischen Funktionen, die analytische Geometrie der Ebene und schließlich die Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen. Jedes verwendete Ergebnis wird formuliert und bewiesen oder ausdrücklich als angenommen erklärt, wenn sein Beweis in einen anderen Kurs gehört.

Er richtet sich an Schülerinnen und Schüler der letzten Schuljahre, die sich vor dem Eintritt in die Hochschule solide vorbereiten wollen, an Studierende im ersten Studienjahr der Naturwissenschaften, der Ingenieurwissenschaften, der Wirtschaftswissenschaften oder des Lehramts Mathematik und an alle, die eine Mathematik, die sie als Sammlung von Rezepten gelernt haben, mit Strenge neu aufbauen wollen. Er setzt nicht mehr voraus als die Schularithmetik: mit ganzen Zahlen und Brüchen rechnen und die elementaren Figuren der ebenen Geometrie erkennen. Nun beweist der Kurs fast alles, was er behauptet; deshalb wird empfohlen, vorher oder parallel den Kurs Mathematische Logik I: Aussagenlogik zu studieren, der lehrt, Beweise mit expliziten Junktoren, Quantoren und Schlussregeln zu lesen und zu führen.

Ist dem so, dann nimmt der Kurs auf der Website einen Platz am Eingang ein, und drei Kurse hängen von ihm ab. Finanzmathematik und Datenanalyse mit R verlangen ihn als einzige Vorbedingung, weil sie die Folgen, das Zählen, die Gleichungen und linearen Gleichungssysteme, die Exponentialfunktion und die Logarithmen verwenden, die hier konstruiert werden. Der dritte ist seine Fortsetzung, Algebra und Geometrie II: Trigonometrie, komplexe Zahlen und Geometrie des Raumes, die das hier Erreichte aufnimmt, um die trigonometrischen Funktionen, die Polarform der komplexen Zahlen, die Matrizen und die analytische Geometrie des Raumes zu untersuchen. Daraus folgt, dass, wer Analysis I anstrebt, beide Kurse durchlaufen muss, weil jener Kurs den zweiten verlangt.

Übergeordnete Lernziele

Die folgenden Lernziele beschreiben, was Studierende, die den Kurs abschließen, können sollen. Jedes ist als beobachtbare Leistung formuliert, sodass es sich mit einer konkreten Aufgabe überprüfen lässt; jede thematische Lektion nennt ihrerseits eigene Lernziele, die einem oder mehreren der übergeordneten dienen, und die Abschlusslektion zeigt, in welchen Einheiten und Lektionen jedes bearbeitet wird. Die acht Lernziele sind nummeriert, damit man sie zitieren kann.

1. Lernziel 1. Aussagen der Arithmetik, der Algebra und der Geometrie durch explizites deduktives Schließen beweisen, mit dem direkten Beweis, der Kontraposition, dem Widerspruchsbeweis, der Induktion in ihren verschiedenen Formen und dem Wohlordnungsprinzip, und in jedem Beweis das Hergeleitete vom Angenommenen unterscheiden.
2. Lernziel 2. Die Zahlbereiche mit der Sprache der Mengen, Relationen und Funktionen konstruieren: die natürlichen Zahlen, definiert durch die Peano-Axiome, die ganzen und die rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen, die reellen Zahlen als vollständigen angeordneten Körper und die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen; erklären, welche Gleichung ohne Lösung jede Erweiterung motiviert und welche Eigenschaft dabei gewonnen wird oder verloren geht.
3. Lernziel 3. Die Arithmetik der ganzen Zahlen beweisen und anwenden: die Division mit Rest und die Teilbarkeit, die Primzahlen und die eindeutige Primfaktorzerlegung, den größten gemeinsamen Teiler und die linearen diophantischen Gleichungen, die Kongruenzen, die Stellenwertsysteme und das kombinatorische Zählen.
4. Lernziel 4. Algebraische Ausdrücke (Potenzen, Wurzeln, Polynome und Bruchterme) umformen und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme lösen, ob ersten Grades, polynomial, rational, mit Wurzeln oder mit Beträgen, wobei die Äquivalenz jeder Umformung begründet und die Lösungen überprüft werden.
5. Lernziel 5. Reelle Funktionen einer reellen Variablen analysieren, indem man ihre Definitionsmenge, Wertemenge, Vorzeichen, Nullstellen, Asymptoten, Umkehrfunktion und Verkettung bestimmt, und ihren Graphen darstellen, insbesondere durch Transformationen bekannter Graphen.
6. Lernziel 6. Geometrische Örter der Ebene durch Gleichungen darstellen und umgekehrt die Kurve erkennen, die eine Gleichung definiert: Geraden in kartesischer, vektorieller und Parameterform, Kreise, Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln mit Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sowie durch Ungleichungen definierte Gebiete.
7. Lernziel 7. Probleme mit den Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen lösen, indem man ihre Eigenschaften aus ihren Definitionen herleitet und die Gleichungen und Ungleichungen löst, in denen sie vorkommen.
8. Lernziel 8. Situationen aus Wissenschaft, Technik, Wirtschaft und Alltag mit den Werkzeugen des Kurses (lineare Gleichungssysteme, lineare Optimierung, Wachstums- und Zerfallsmodelle) mathematisch modellieren und Ansätze, Rechnungen und Beweise schriftlich darlegen, mit korrekter Notation, vollständiger Argumentation und einer Kontrolle der Plausibilität der Ergebnisse.

Die Lernziele 2 bis 7 entsprechen im Wesentlichen den großen Themen des Kurses; das erste und das achte dagegen sind übergreifend: Sie gehören zu keiner einzelnen Einheit, sondern werden in allen geübt. Daraus folgt, dass ihr Erreichen keiner einzelnen Lektion zugeschrieben werden kann und dass man sie über den ganzen Kurs hinweg pflegen sollte. Nun haben beide auch Lektionen, die ihnen in erster Linie dienen: das erste die Einführung der Einheit 1, die zeigt, warum keine endliche Anzahl von Überprüfungen eine Aussage über alle natürlichen Zahlen beweist, und die fünf Synthesen, deren Kernstück die deduktive Kette jeder Einheit rekonstruiert; das achte diejenigen, in denen das Aufstellen eines Ansatzes selbst der Gegenstand ist: die linearen Gleichungssysteme, die Situationen modellieren, die lineare Optimierung und die Wachstumsmodelle.

Inhalte

Der Kurs ist in sieben Einheiten aufgeteilt. Die erste und die letzte rahmen den Weg ein; die fünf mittleren entwickeln die Inhalte. Jede von diesen beginnt mit einer Einführungslektion, die ihre Lektionen, den historischen Hintergrund ihrer Ideen, das Problem, aus dem sie entstanden, und ihre Bedeutung vorstellt, und endet mit einer Synthese-Lektion, die die deduktive Kette der Einheit rekonstruiert, sie mit dem Rest des Kurses verbindet und zehn Herausforderungen stellt, die schwieriger sind als die Aufgaben der Lektionen.

Einheit 0. Vorstellung des Kurses

Sie besteht aus dieser Lektion, die den Zweck, die übergeordneten Lernziele, die Inhalte, den Aufwand und die Gestaltung des Kurses festlegt.

Einheit 1. Die natürlichen Zahlen

Ihr Ziel ist es, die Sprache der Mengen, Relationen und Funktionen festzulegen, aus den Peano-Axiomen die Arithmetik der natürlichen und der ganzen Zahlen bis zu den Kongruenzen herzuleiten und die Induktion als das Beweismittel des Kurses zu etablieren.

1. Die natürlichen Zahlen: Einführung.
2. Mengen, Relationen und Funktionen.
3. Die natürlichen Zahlen und die Peano-Axiome.
4. Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen und Ordnungsrelationen.
5. Summen, arithmetische und geometrische Folgen und Induktion.
6. Teilbarkeit und Division mit Rest.
7. Primzahlen und der Fundamentalsatz der Arithmetik.
8. Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches.
9. Kongruenzen und modulare Arithmetik.
10. Stellenwertsysteme.
11. Elementare Kombinatorik und der binomische Lehrsatz.
12. Die natürlichen Zahlen: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 2. Die Zahlbereiche

Ihr Ziel ist es, die natürlichen Zahlen bis zu den komplexen Zahlen zu erweitern, jedes Mal, um eine Gleichung zu lösen, die keine Lösung hatte, und die Ordnung, den Betrag, die Potenzen und die Gleichungen ersten Grades zu beherrschen.

1. Die Zahlbereiche: Einführung.
2. Zahlbereiche: von den natürlichen zu den komplexen Zahlen.
3. Die ganzen Zahlen: Konstruktion, Vorzeichen und Ordnung.
4. Die rationalen Zahlen: Brüche und ihre Rechenoperationen.
5. Die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen.
6. Die Zahlengerade: Ordnung, Intervalle und Betrag.
7. Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln.
8. Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme.
9. Die komplexen Zahlen: Rechenoperationen und Gleichungen.
10. Die Zahlbereiche: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 3. Algebraische Funktionen und Polynome

Ihr Ziel ist es, die Faktorisierung zu dem Werkzeug zu machen, das über Nullstellen, Vorzeichen, Ungleichungen, Definitionsmengen, Asymptoten und Graphen der algebraischen Funktionen entscheidet.

1. Algebraische Funktionen und Polynome: Einführung.
2. Algebraische Funktionen einer reellen Variablen.
3. Funktionsverknüpfung, Umkehrfunktion und Graphentransformation.
4. Algebra der reellen Polynome.
5. Quadratische Polynome und Trinome vom Grad 2n faktorisieren.
6. Nullstellen höhergradiger Polynome und synthetische Division.
7. Bruchterme und Partialbruchzerlegung.
8. Vorzeichentabellen und Ungleichungen.
9. Rationale Funktionen: Asymptoten und Graph.
10. Wurzelfunktionen: Definitionsmenge, Vorzeichen und Graph.
11. Funktionen und Polynome: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 4. Analytische Geometrie der Ebene

Ihr Ziel ist es, geometrische Eigenschaften in Gleichungen zu übersetzen und Gleichungen in Kurven, von der Geraden bis zu den Kegelschnitten und den Gebieten der linearen Optimierung. Ihre Gegenstücke im Raum, die Quadriken, werden weder in diesem Kurs noch im Kurs II behandelt, der von ihnen nur die Kugel untersucht; im gegenwärtigen Aufbau der Website gehört ihr Studium zu Analysis III.

1. Analytische Geometrie der Ebene: Einführung.
2. Die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme.
3. Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden.
4. Die Parabelgleichung: Definitionen und Eigenschaften.
5. Charakterisierung von Parabeln und ihre Graphen.
6. Die Gleichung der Ellipse und des Kreises.
7. Der Kreis: Tangenten, gegenseitige Lage und Potenz eines Punktes.
8. Die Hyperbelgleichung und ihre Herleitung.
9. Kegelschnitte: Charakterisierung und Graphen.
10. Ungleichungen in der Ebene und lineare Optimierung.
11. Analytische Geometrie der Ebene: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 5. Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen

Ihr Ziel ist es, die Funktionen zu definieren, die Summen in Produkte und Produkte in Summen verwandeln, ihre Eigenschaften herzuleiten und sie bei der Modellierung von Wachstum einzusetzen.

1. Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen: Einführung.
2. Die Exponentialfunktion und Potenzen mit reellen Exponenten.
3. Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
4. Die Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften.
5. Exponential- und Logarithmusgleichungen und -ungleichungen.
6. Modelle exponentiellen Wachstums und Zerfalls.
7. Die Hyperbelfunktionen.
8. Exponentialfunktionen: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 6. Abschluss des Kurses

Sie besteht aus der Lektion Abschlussbilanz des Kurses Algebra und Geometrie I, die an die acht übergeordneten Lernziele erinnert, in einer Abbildung zeigt, in welchen Einheiten und Lektionen jedes bearbeitet wird, nach Lernzielen den ersten Versuch der Abschlusstests zusammenführt und angibt, wohin das Studium führt.

Aufwand und Leistungspunkte

Der Aufwand eines Kurses bemisst sich nicht nach den Vortragsstunden, die es in einem asynchronen Kurs nicht gibt, sondern nach der gesamten Arbeit der Studierenden: lesen, den Beweisen folgen, Aufgaben lösen und wiederholen. Die Schätzung berücksichtigt die Zeit für das Lesen, für das Studium der gelösten Aufgaben, für die Arbeit an den Übungsaufgaben und den Herausforderungen und für die Beantwortung der Einheitentests, mit einem Spielraum für die Wiederholung.

Ergebnisse

Die Lektionen des Kurses enthalten insgesamt $212$ gelöste Aufgaben, $210$ Übungsaufgaben und $50$ Herausforderungen. Der geschätzte Aufwand pro Einheit, auf volle Stunden gerundet, verteilt sich so:

• Einheit 0, Vorstellung des Kurses: $1$ Stunde.
• Einheit 1, die natürlichen Zahlen: $69$ Stunden.
• Einheit 2, die Zahlbereiche: $58$ Stunden.
• Einheit 3, algebraische Funktionen und Polynome: $63$ Stunden.
• Einheit 4, analytische Geometrie der Ebene: $62$ Stunden.
• Einheit 5, Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen: $46$ Stunden.
• Einheit 6, Abschluss des Kurses: weniger als eine Stunde.

Insgesamt sind es etwa $299$ Stunden Arbeit der Studierenden. Diese Zahl sollte man als das lesen, was sie ist: eine Schätzung für Studierende, die alle Beweise studieren und alle Aufgaben und Herausforderungen lösen. Wer einen Teil der Inhalte schon beherrscht oder sich auf die Übungsaufgaben beschränkt, ohne die Herausforderungen anzugehen, wird deutlich weniger brauchen; wer das Thema zum ersten Mal und ohne Übung im Beweisen studiert, kann mehr brauchen.

Nun ist die Zahl von $299$ Stunden nominell: Sie legt die Leistungspunkte des Kurses fest und setzt ein Lesen des Textes in gleichbleibendem Tempo und eine Dreiviertelstunde pro Herausforderung voraus. Solange sie nicht an realen Studierenden gemessen ist, sollte man sie durch eine realistische Spanne ergänzen. Ginge das Lesen im halben angenommenen Tempo voran, wie es geschieht, wenn man jeden Beweis mit Papier und Bleistift neu schreibt, und verlangte jede Herausforderung fünfundsiebzig statt fünfundvierzig Minuten, so ergäbe dieselbe Schätzung etwa $370$ Stunden. Daher liegt der zu erwartende Aufwand zwischen etwa $300$ und etwa $370$ Stunden. Die obere Grenze ist eine vorsichtige Schranke, keine Messung; die Spanne wird korrigiert, sobald man die Zeit kennt, die die Studierenden des Kurses tatsächlich aufwenden, und bis dahin werden die Leistungspunkte mit der nominellen Zahl berechnet.

Empfohlenes Tempo

Um die Lerntempi zu benennen, folgen dieser Plan und der des Kurses II demselben Kriterium: Vollzeit entspricht einem Studienjahr von $60$ Leistungspunkten, etwa $1650$ Stunden, verteilt auf rund vierzig Wochen, also etwa $40$ Wochenstunden, und ein Teilzeitstudium der Hälfte davon, etwa $20$ Wochenstunden. Daraus folgt ein empfohlenes Tempo von einem Semester zu sechzehn Wochen mit etwa $18$ oder $19$ Wochenstunden Lernzeit, etwas weniger als ein Teilzeitstudium; mit der realistischen Spanne, $19$ bis $23$ Wochenstunden, liegt es etwa bei einem Teilzeitstudium. Das darauffolgende Semester kann dann dem Kurs Algebra und Geometrie II gewidmet werden. Als großzügigere Alternative, vereinbar mit anderen anspruchsvollen Fächern, lässt sich der Kurs auf zwei Semester verteilen, mit etwa $9$ Wochenstunden: Die erste Hälfte, die Einheiten 0 bis 2, umfasst etwa $128$ Stunden, die zweite, die Einheiten 3 bis 6, etwa $171$, sodass es sich empfiehlt, das zweite Semester mit etwas Vorsprung zu beginnen.

Entsprechung in übertragbaren Leistungspunkten

Systeme übertragbarer Leistungspunkte bemessen einen Kurs nach der gesamten Arbeit, die er von den Studierenden verlangt, und nicht nach den Präsenzstunden, damit Studienleistungen, die an einer Einrichtung erbracht wurden, an einer anderen anerkannt werden können. Das Europäische System zur Übertragung und Akkumulierung von Studienleistungen, das die europäischen Hochschulen im Gefolge der Bologna-Erklärung eingeführt haben, weist einem Vollzeit-Studienjahr $60$ Leistungspunkte zu und setzt jeden Leistungspunkt mit $25$ bis $30$ Arbeitsstunden an. Das chilenische System übertragbarer Leistungspunkte, das die chilenischen Hochschulen nach einem analogen Muster eingeführt haben, weist dem Studienjahr ebenfalls $60$ Leistungspunkte zu und setzt jeden Leistungspunkt mit $24$ bis $31$ Arbeitsstunden an.

Nun entspricht der Kurs, wenn man die geschätzten $299$ Stunden durch die Grenzen jedes Intervalls teilt, ungefähr zwischen $10$ und $12$ europäischen Leistungspunkten (10,0 bis 12,0) und zwischen $10$ und $12$ chilenischen übertragbaren Leistungspunkten (9,6 bis 12,5). Nimmt man als Bezugsgröße den Mittelwert beider Intervalle, 27,5 Stunden pro Leistungspunkt, so erhält man in beiden Systemen dieselbe Zahl, 10,9, die auf 11 gerundet wird. Für die europäischen Leistungspunkte ist die Zahl $C$ der Leistungspunkte somit wie folgt eingegrenzt:

Daher wird empfohlen, dem Kurs $11$ europäische Leistungspunkte und $11$ chilenische übertragbare Leistungspunkte zuzuweisen, also etwas mehr als ein Sechstel eines Vollzeit-Studienjahres. Die Zahl ist höher als die einer gewöhnlichen einsemestrigen Algebra-Lehrveranstaltung, und das erklärt sich aus der Anforderung, alle Beweise zu studieren, und aus der Konstruktion der Zahlbereiche, die die üblichen Lehrpläne meist auslassen.

Gestaltung des Kurses

Studienform

Der Kurs ist asynchron, online und im eigenen Tempo: Er hat keine Termine, keine Live-Sitzungen und keine Fristen, und alle Studierenden kommen so schnell voran, wie ihre Vorbereitung und ihre Zeit es erlauben. Er wird in den vierzehn Sprachen der Website angeboten, mit derselben Mathematik in allen: Die Formeln und die Schritte der Beweise sind in jeder Fassung identisch, und nur der Text wird übersetzt. Die Lektionen geben an, welche anderen Lektionen man vorher studiert haben sollte, sodass die empfohlene Reihenfolge explizit ist und sich überprüfen lässt.

Der Aufbau einer Lektion

Alle thematischen Lektionen folgen demselben Aufbau. Sie beginnen mit einer Zusammenfassung und einer Liste eigener Lernziele, formuliert als beobachtbare Leistungen. Es folgen die Theorie, mit den Definitionen, den präzise formulierten Sätzen und ihren Beweisen, und die Beispiele. Die Beweise und die Beispiele werden als Schritt-für-Schritt-Abspieler dargeboten: Jeder Schritt schreibt eine Zeile der Argumentation, hebt die beteiligten Terme hervor und, wenn er sich auf ein früheres Ergebnis stützt, holt er es wieder hervor und hebt es beim Lesen hervor, sodass das Gedächtnis der Argumentation sichtbar bleibt; viele werden von einer Abbildung begleitet, die sich mit jedem Schritt ändert. Den Abschluss der Lektion bilden fünf gelöste Aufgaben (sechs in zwei Lektionen der Einheit 3) mit ihrer Schritt-für-Schritt-Lösung und fünf Übungsaufgaben, jede mit einem eingeklappten Hinweis und danach dem Endergebnis, damit die Studierenden ihr Ergebnis prüfen können, ohne dass ihnen der Weg verraten wird; die Beweisaufgaben fügen, eingeklappt nach dem Ergebnis, eine ausführliche Lösung hinzu, die man erst öffnen sollte, nachdem man die eigene niedergeschrieben hat.

Die Einführungs- und die Synthese-Lektionen haben einen eigenen Aufbau. Die Einführung stellt die Einheit, ihre Geschichte, das Problem, aus dem sie entstand, und ihre Bedeutung vor; die Synthese rekonstruiert die deduktive Kette der Einheit, verbindet sie mit den früheren und den späteren Einheiten und stellt zehn Herausforderungen, jede mit Hinweis, Endergebnis und einer eingeklappten ausführlichen Lösung, die mehrere Lektionen verbinden und mehr Erfindungsgabe verlangen als die Übungsaufgaben.

Die Vorlesefunktion

Jede Lektion kann man sich mit der Vorlesefunktion der Website laut vorlesen lassen, die die Stimmen des eigenen Geräts verwendet: Der Text wird so gelesen, wie er geschrieben ist, und die Formeln werden in Worten ausgesprochen. Das erlaubt, eine Lektion fern vom Bildschirm zu wiederholen, einem Beweis zuzuhören, während man den Schritt-für-Schritt-Abspieler betrachtet, und mit Sehbeeinträchtigungen zu lernen.

Bewertung

Der Kurs vergibt keine Noten: Seine Bewertung ist formativ und stützt sich auf die Selbsteinschätzung. Die Übungsaufgaben erlauben zu prüfen, ob die Lernziele jeder Lektion erreicht sind, und die Herausforderungen, ob die Lernziele jeder Einheit erreicht sind.

Hinzu kommen die Einheitentests. Der Eingangstest zu Beginn der Einführung ist eine kurze Selbsteinschätzung mit zehn Fragen zur Einheit, zu denen ab der Einheit 2 drei Fragen über das hinzukommen, was die Einheit aus den früheren als bekannt voraussetzt, und er misst den Ausgangspunkt; der Abschlusstest in der Synthese und vor den Herausforderungen hat zwölf Fragen, misst das Erreichte und wird mit dem Eingangstest verglichen. Beide werden direkt im Browser korrigiert: Jede Antwort erhält eine Erklärung, jeder typische Fehler eine Bemerkung, die ihn kenntlich macht, und jede Frage verweist auf die Lektion, die man wiederholen sollte. Keiner von beiden benotet oder zertifiziert, und ihre Ergebnisse werden nur im Browser der Studierenden gespeichert; die Validierung der erworbenen Fähigkeiten erfolgt später auf einer anderen Plattform. Alle fünf Einheiten enthalten beide Tests, und die Abschlussbilanz führt den ersten Versuch jedes Abschlusstests in einem Profil nach übergeordneten Lernzielen zusammen.

Für die übergeordneten Lernziele werden die folgenden Nachweise des Erreichens vorgeschlagen:

• Lernziel 1: ohne die Lektion zu Rate zu ziehen, den Beweis eines Satzes des Kurses niederschreiben, etwa der Unendlichkeit der Primzahlen oder der Eindeutigkeit der Division mit Rest, und den einer Herausforderung, die Induktion erfordert.
• Lernziel 2: schriftlich erklären, welche Gleichung jede Erweiterung von den natürlichen bis zu den komplexen Zahlen motiviert, und beweisen, dass die Addition der ganzen Zahlen, definiert über Klassen von Paaren natürlicher Zahlen, wohldefiniert ist.
• Lernziel 3: eine lineare diophantische Gleichung mit Nebenbedingungen lösen und mit Kongruenzen den Rest einer großen Potenz berechnen.
• Lernziel 4: eine rationale Ungleichung oder eine mit Wurzeln und Beträgen lösen, dabei jede Äquivalenz begründen und die Lösung überprüfen.
• Lernziel 5: eine rationale Funktion oder eine Wurzelfunktion vollständig untersuchen und ihren Graphen ohne Rechenhilfsmittel zeichnen und ihn danach mit einem solchen überprüfen.
• Lernziel 6: den Kegelschnitt bestimmen, den eine Gleichung zweiten Grades ohne $xy$-Term definiert, mit allen seinen Bestimmungsstücken, und durch Ungleichungen ein Gebiet beschreiben, das von Geraden und Kegelschnitten begrenzt wird.
• Lernziel 7: eine Logarithmusgleichung mit Überprüfung der Definitionsmenge lösen und eine hyperbolische Identität aus den Definitionen beweisen.
• Lernziel 8: eine Aufgabe der linearen Optimierung aufstellen und lösen oder ein Exponentialmodell an Daten anpassen und die vollständige Lösung niederschreiben, mit Ansatz, Durchführung, Antwort und Plausibilitätskontrolle, sodass eine andere Person ihr ohne zusätzliche Erklärungen folgen kann.

Wie man diesen Kurs studiert

Der Kurs ist dafür gedacht, der Reihe nach studiert zu werden. Jede Einheit setzt die früheren voraus, und viele Beweise zitieren Ergebnisse aus vorangehenden Lektionen; wer eine Lektion überspringt, muss sie früher oder später nachholen.

Jede Einheit hat zwei Kontrollpunkte. Der Eingangstest zu Beginn der Einführung ist der Ausgangspunkt: Man sollte ihn beantworten, bevor man die Einheit studiert, ohne etwas nachzuschlagen, und die Lektionen notieren, auf die die Fehler verweisen, denn sie verlangen die meiste Sorgfalt. Der Abschlusstest in der Synthese und vor den Herausforderungen ist der Vergleich: Man beantwortet ihn nach Abschluss der Lektionen, ebenfalls ohne nachzuschlagen, und vergleicht ihn mit dem Eingangstest, um zu sehen, was sich geändert hat und welche Lektionen man wiederholen sollte. Bei beiden zählt der erste Versuch, der verglichen wird und den das Profil der Abschlussbilanz zusammenführt; die späteren Versuche geschehen schon mit der gesehenen Rückmeldung. Die Herausforderungen vervollständigen die Prüfung, weil sie verlangen, zu verbinden und auszuformulieren, was die kurzen Fragen nur berühren. Daraus folgt, dass, wer glaubt, eine Einheit schon zu beherrschen, das nicht nach einem einzigen Test entscheiden sollte: Ist der eigene Abschlusstest solide und gelingen die Herausforderungen der Synthese, kann man zur nächsten Einheit übergehen; andernfalls sollte man die Lektionen durchgehen, auf die der eine und die anderen hinweisen.

In jeder Lektion sollte man zuerst die Zusammenfassung und die Lernziele lesen, die sagen, worum es geht; dann die Theorie mit Papier und Bleistift studieren und dabei versuchen, jeden Schritt der Beweise vorwegzunehmen, bevor der Abspieler ihn schreibt; die gelösten Aufgaben versuchen, bevor man ihre Lösung ansieht, und die Übungsaufgaben ohne Hilfe lösen, den Hinweis erst öffnen, wenn der eigene Versuch erschöpft ist, und das Ergebnis erst am Ende, zur Kontrolle. Eine Aufgabe, deren Ergebnis man nachgeschlagen hat, bevor man sie versucht hat, ist nicht gelöst, sondern gelesen worden.

Die Herausforderungen sind schwieriger als die Aufgaben der Lektionen, und es ist normal, dass manche mehrere Versuche an verschiedenen Tagen erfordern. Man sollte nicht endlos bei einer verweilen: sie notieren, vorankommen und sie später wieder aufnehmen ist oft der kürzeste Weg. Nun setzt der geschätzte Aufwand voraus, dass man alle ernsthaft versucht, und in dieser Anstrengung entscheidet sich ein guter Teil dessen, was der Kurs lehren kann.

Schließlich sollte man schreiben. Einen Beweis oder eine vollständige Lösung mit ihren Prämissen und ihren Schlussfolgerungen auszuformulieren ist die einzige Art zu wissen, ob man verstanden hat, und es ist auch das achte der Lernziele des Kurses. Ein Studienheft, in dem man die Definitionen und Sätze jeder Einheit mit eigenen Worten neu schreibt, ist das beste Wiederholungsmaterial, das der Kurs hinterlassen kann.