Учебный план курса «Алгебра и геометрия I»

Цель и для кого курс

Этот курс является первым из двух, которые объединяют алгебру и геометрию, предшествующие математическому анализу и университетской математике. Его цель состоит не только в том, чтобы научить вычислять, но и в том, чтобы показать, откуда берётся каждое вычисление: курс строит свои объекты, а не предполагает их известными, исходит из немногих аксиом о натуральных числах и выводит из них, расширение за расширением, арифметику целых, рациональных, действительных и комплексных чисел в алгебраической форме, алгебру многочленов и алгебраические функции, аналитическую геометрию на плоскости и, наконец, показательную, логарифмическую и гиперболические функции. Каждый используемый результат формулируется и доказывается или явно объявляется принятым, когда его доказательство относится к другому курсу.

Курс адресован учащимся последних классов школы, которые хотят получить прочную подготовку перед поступлением в университет, студентам первого курса университета, изучающим естественные науки, инженерное дело, экономику или педагогику математики, и всякому, кто хочет строго восстановить математику, которую усвоил как набор рецептов. Он не предполагает ничего, кроме школьной арифметики: действий с целыми числами и дробями и умения распознавать простейшие фигуры планиметрии. Однако, поскольку курс доказывает почти всё, что утверждает, рекомендуется изучить заранее или изучать параллельно курс «Математическая логика I: логика высказываний», который учит читать и строить доказательства с явными связками, кванторами и правилами вывода.

Если это так, курс занимает на сайте входное положение, и от него зависят три курса. Курсы «Финансовая математика» и «Анализ данных на R» требуют его как единственное предварительное условие, потому что пользуются прогрессиями, подсчётом, уравнениями и линейными системами, показательной функцией и логарифмами, которые строятся здесь. Третий курс является его продолжением, «Алгебра и геометрия II: тригонометрия, комплексные числа и геометрия пространства», который опирается на достигнутое здесь, чтобы изучить тригонометрические функции, тригонометрическую форму комплексных чисел, матрицы и аналитическую геометрию в пространстве. Отсюда следует, что тот, кто стремится к курсу «Математический анализ I», должен пройти оба курса, потому что этот курс требует второго.

Общие учебные цели

Перечисленные ниже цели описывают то, что должен уметь студент, завершивший курс. Каждая сформулирована как наблюдаемое действие, так что её можно проверить конкретным заданием; каждый тематический урок, в свою очередь, объявляет собственные цели, которые служат одной или нескольким общим, а урок завершения показывает, в каких разделах и уроках прорабатывается каждая из них. Восемь целей пронумерованы, чтобы на них можно было ссылаться.

1. Цель 1. Доказывать утверждения арифметики, алгебры и геометрии с помощью явного дедуктивного рассуждения, применяя прямое доказательство, контрапозицию, доказательство от противного, индукцию в её различных формах и принцип вполне упорядоченности, и различать в каждом доказательстве выведенное и принятое.
2. Цель 2. Строить числовые системы на языке множеств, отношений и функций: натуральные числа, определённые аксиомами Пеано, целые и рациональные числа как классы эквивалентности, действительные числа как полное упорядоченное поле и комплексные числа как пары действительных; объяснять, какое уравнение без решения мотивирует каждое расширение и какое свойство при нём приобретается или теряется.
3. Цель 3. Доказывать и применять арифметику целых чисел: деление с остатком и делимость, простые числа и единственность разложения на простые множители, наибольший общий делитель и линейные диофантовы уравнения, сравнения, позиционную систему счисления и комбинаторный подсчёт.
4. Цель 4. Преобразовывать алгебраические выражения (степени, радикалы, многочлены и алгебраические дроби) и решать уравнения, неравенства и системы первой степени, полиномиальные, рациональные, с радикалами и с модулем, обосновывая равносильность каждого перехода и проверяя решения.
5. Цель 5. Исследовать действительные функции действительного переменного, определяя их область определения, множество значений, знаки, нули, асимптоты, обратную функцию и композицию, и изображать их график, в частности с помощью преобразований известных графиков.
6. Цель 6. Задавать геометрические места точек плоскости уравнениями и, обратно, распознавать кривую, которую определяет уравнение: прямые в декартовой, векторной и параметрической форме, окружности, параболы, эллипсы и гиперболы с осями, параллельными координатным, и области, заданные неравенствами.
7. Цель 7. Решать задачи с показательной, логарифмической и гиперболическими функциями, выводя их свойства из их определений и решая уравнения и неравенства, которые их содержат.
8. Цель 8. Математически моделировать ситуации из науки, техники, экономики и повседневной жизни средствами курса (линейные системы, линейное программирование, модели роста и убывания) и излагать письменно постановки задач, вычисления и доказательства с правильной записью, полной аргументацией и контролем правдоподобия результатов.

Цели со 2 по 7 соответствуют, в основном, крупным темам курса; первая и восьмая, напротив, являются сквозными: они не принадлежат одному разделу, а отрабатываются во всех. Отсюда следует, что их достижение нельзя приписать одному уроку и что их стоит развивать на протяжении всего курса. Однако у обеих есть и уроки, которые служат им главным образом: первой служат введение раздела 1, которое показывает, почему никакое конечное число проверок не доказывает утверждение обо всех натуральных числах, и пять обобщений, центральное звено которых восстанавливает дедуктивную цепь каждого раздела; восьмой служат те уроки, в которых постановка задачи составляет сам предмет: линейные системы, моделирующие ситуации, линейное программирование и модели роста.

Содержание

Курс состоит из семи разделов. Первый и последний обрамляют весь путь; пять промежуточных развивают содержание. Каждый из них открывается вводным уроком, который представляет его уроки, историческую предысторию его идей, задачу, из которой они родились, и их значение, и закрывается уроком обобщения, который восстанавливает дедуктивную цепь раздела, связывает её с остальной частью курса и предлагает десять задач повышенной трудности, превосходящих по сложности задачи уроков.

Раздел 0. Знакомство с курсом

Он состоит из этого урока, который устанавливает цель, общие цели, содержание, трудоёмкость и устройство курса.

Раздел 1. Натуральные числа

Его цель состоит в том, чтобы закрепить язык множеств, отношений и функций, вывести из аксиом Пеано арифметику натуральных и целых чисел вплоть до сравнений и утвердить индукцию как инструмент доказательства в этом курсе.

1. Натуральные числа: введение.
2. Множества, отношения и функции.
3. Натуральные числа и аксиомы Пеано.
4. Основные операции с натуральными числами и отношения порядка.
5. Суммы, прогрессии и индукция.
6. Делимость и деление с остатком.
7. Простые числа и основная теорема арифметики.
8. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
9. Сравнения и модульная арифметика.
10. Позиционные системы счисления.
11. Элементарная комбинаторика и бином Ньютона.
12. Натуральные числа: итоги и задачи повышенной трудности.

Раздел 2. Числовые множества

Его цель состоит в том, чтобы расширить натуральные числа до комплексных, каждый раз ради решения уравнения, не имевшего решения, и овладеть порядком, модулем, степенями и уравнениями первой степени.

1. Числовые множества: введение.
2. Числовые множества: от натуральных чисел к комплексным.
3. Целые числа: построение, знаки и порядок.
4. Рациональные числа: дроби и действия с ними.
5. Десятичная запись рациональных чисел.
6. Числовая прямая: порядок, промежутки и модуль.
7. Степени с рациональным показателем и радикалы.
8. Уравнения и неравенства первой степени и линейные системы.
9. Комплексные числа: действия и уравнения.
10. Числовые множества: итоги и задачи повышенной трудности.

Раздел 3. Алгебраические функции и многочлены

Его цель состоит в том, чтобы сделать разложение на множители инструментом, который решает вопрос о корнях, знаках, неравенствах, областях определения, асимптотах и графиках алгебраических функций.

1. Алгебраические функции и многочлены: введение.
2. Алгебраические функции действительного переменного.
3. Действия с функциями, обратная функция и преобразования графиков.
4. Алгебра многочленов с действительными коэффициентами.
5. Разложение квадратного трёхчлена и трёхчлена степени 2n.
6. Корни многочленов высших степеней и синтетическое деление.
7. Алгебраические дроби и разложение на простейшие дроби.
8. Таблицы знаков и неравенства.
9. Рациональные функции: асимптоты и график.
10. Функции с корнями: область определения, знаки и график.
11. Алгебраические функции и многочлены: итоги и задачи.

Раздел 4. Аналитическая геометрия на плоскости

Его цель состоит в том, чтобы переводить геометрические свойства в уравнения, а уравнения в кривые, от прямой до конических сечений и областей линейного программирования. Их аналоги в пространстве, поверхности второго порядка, не рассматриваются ни в этом курсе, ни в курсе II, который изучает из них только сферу; при нынешней организации сайта их изучение относится к курсу «Математический анализ III».

1. Аналитическая геометрия на плоскости: введение.
2. Уравнение прямой и декартовы системы координат.
3. Векторы на плоскости и параметрические уравнения прямой.
4. Уравнение параболы: определения и свойства.
5. Описание парабол по уравнению и их графики.
6. Уравнение эллипса и окружности.
7. Окружность: касательные, взаимное расположение и степень точки.
8. Уравнение гиперболы и его вывод.
9. Конические сечения: параболы, эллипсы, гиперболы и их графики.
10. Неравенства на плоскости и линейное программирование.
11. Аналитическая геометрия на плоскости: итоги и задачи.

Раздел 5. Показательная, логарифмическая и гиперболические функции

Его цель состоит в том, чтобы определить функции, которые превращают суммы в произведения и произведения в суммы, вывести их свойства и применить их к моделированию роста.

1. Экспонента, логарифм и гиперболические функции: введение.
2. Показательная функция и степень с действительным показателем.
3. Число e и натуральная экспонента.
4. Логарифмическая функция и её свойства.
5. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
6. Модели экспоненциального роста и убывания.
7. Гиперболические функции.
8. Экспонента, логарифм и гиперболические функции: итоги и задачи.

Раздел 6. Завершение курса

Он состоит из урока Итоговый обзор курса «Алгебра и геометрия I», который напоминает восемь общих целей, показывает на рисунке, в каких разделах и уроках прорабатывается каждая, сводит по целям первую попытку итоговых проверок и указывает, куда продолжается изучение.

Трудоёмкость и кредиты

Трудоёмкость курса измеряется не часами изложения, которых в асинхронном курсе нет, а всей работой студента: чтением, разбором доказательств, решением задач и повторением. Оценка учитывает время чтения, изучения решённых задач, работы над предложенными задачами и задачами повышенной трудности и ответов на проверки разделов, с запасом на повторение.

Результаты

Уроки курса содержат в совокупности $212$ решённых задач, $210$ предложенных задач и $50$ задач повышенной трудности. Оценочная трудоёмкость по разделам, округлённая до часа, такова:

• Раздел 0, знакомство с курсом: $1$ час.
• Раздел 1, натуральные числа: $69$ часов.
• Раздел 2, числовые множества: $58$ часов.
• Раздел 3, алгебраические функции и многочлены: $63$ часа.
• Раздел 4, аналитическая геометрия на плоскости: $62$ часа.
• Раздел 5, показательная, логарифмическая и гиперболические функции: $46$ часов.
• Раздел 6, завершение курса: меньше одного часа.

Всего получается около $299$ часов работы студента. Эту цифру стоит понимать как то, что она есть: оценку для студента, который изучает все доказательства и решает все задачи, включая задачи повышенной трудности. Тот, кто уже владеет частью содержания или ограничивается предложенными задачами, не берясь за задачи повышенной трудности, потратит заметно меньше; тот, кто изучает тему впервые и без привычки доказывать, может потратить больше.

Однако цифра в $299$ часов номинальна: именно она определяет кредиты курса, и она предполагает чтение текста в постоянном темпе и три четверти часа на каждую задачу повышенной трудности. Пока она не измерена на реальных студентах, её стоит сопровождать реалистичным диапазоном. Если бы чтение шло вдвое медленнее предполагаемого темпа, как бывает, когда каждое доказательство переписывается на бумаге карандашом, и каждая задача повышенной трудности требовала семидесяти пяти минут вместо сорока пяти, та же оценка дала бы около $370$ часов. Следовательно, ожидаемая трудоёмкость лежит в пределах примерно от $300$ до $370$ часов. Верхняя граница является осторожной оценкой сверху, а не измерением; диапазон будет уточнён, когда станет известно время, которое тратят изучающие курс, а до тех пор кредиты вычисляются по номинальной цифре.

Рекомендуемый темп

Чтобы назвать темпы, этот план и план курса II используют один и тот же критерий: полная занятость соответствует учебному году в $60$ кредитов, около $1650$ часов, распределённых примерно на сорок недель, то есть около $40$ часов в неделю, а неполная занятость составляет половину, около $20$ часов в неделю. Отсюда следует рекомендуемый темп в один семестр из шестнадцати недель, примерно по $18$ или $19$ часов занятий в неделю, немногим меньше неполной занятости; с учётом реалистичного диапазона, от $19$ до $23$ часов в неделю, он приближается к неполной занятости. Последующий семестр можно тогда посвятить курсу «Алгебра и геометрия II». В качестве более свободного варианта, совместимого с другими трудными предметами, курс можно распределить на два семестра, примерно по $9$ часов в неделю: первая половина, разделы с 0 по 2, занимает около $128$ часов, а вторая, разделы с 3 по 6, около $171$, так что второй семестр стоит начинать с некоторым запасом.

Эквивалент в переводимых кредитах

Системы переводимых кредитов измеряют курс всей работой, которой он требует от студента, а не часами аудиторных занятий, с тем чтобы обучение, пройденное в одном учреждении, могло быть признано в другом. Европейская система перевода и накопления кредитов, принятая европейскими университетами вслед за Болонской декларацией, отводит $60$ кредитов на учебный год при полной занятости и устанавливает каждый кредит в пределах от $25$ до $30$ часов работы. Система переводимых кредитов Чили, принятая чилийскими университетами по аналогичному образцу, также отводит $60$ кредитов на учебный год и устанавливает каждый кредит в пределах от $24$ до $31$ часа работы.

Однако, если разделить $299$ оценочных часов на концы каждого интервала, курс оказывается равным примерно от $10$ до $12$ европейских кредитов (от 10,0 до 12,0) и от $10$ до $12$ чилийских переводимых кредитов (от 9,6 до 12,5). Если взять за ориентир среднее значение обоих интервалов, 27,5 часа на кредит, то в обеих системах получается одно и то же число, 10,9, которое округляется до 11. Для европейских кредитов число $C$ кредитов ограничено так:

Следовательно, курсу рекомендуется присвоить $11$ европейских кредитов и $11$ чилийских переводимых кредитов, то есть немногим больше шестой части учебного года при полной занятости. Эта цифра больше, чем у обычного семестрового предмета по алгебре, и это объясняется требованием изучить все доказательства и построением числовых систем, которое обычные программы, как правило, опускают.

Устройство курса

Форма обучения

Курс является асинхронным, дистанционным и проходится в собственном темпе: у него нет дат, занятий в прямом эфире и сроков, и каждый студент продвигается со скоростью, которую позволяют его подготовка и его время. Он предлагается на четырнадцати языках сайта, с одной и той же математикой во всех: формулы и шаги доказательств одинаковы в каждой версии, а переводится только текст. Уроки указывают, какие другие уроки стоит изучить прежде, так что рекомендуемый порядок задан явно и может быть проверен.

Устройство урока

Все тематические уроки построены одинаково. Они начинаются с краткого содержания и списка собственных учебных целей, сформулированных как наблюдаемые действия. Затем идёт теория, с определениями, точно сформулированными теоремами и их доказательствами, и примеры. Доказательства и примеры подаются как проигрыватели шагов: каждый шаг записывает строку рассуждения, подсвечивает участвующие в нём члены и, когда опирается на предыдущий результат, возвращается к нему и подсвечивает его, пока он читается, так что память рассуждения остаётся перед глазами; многие сопровождаются рисунком, который меняется с каждым шагом. Завершают урок пять решённых задач (шесть в двух уроках раздела 3) с пошаговым решением и пять предложенных задач, каждая со свёрнутой подсказкой и затем окончательным ответом, чтобы студент мог проверить свой результат, не узнавая пути решения; предложенные задачи на доказательство добавляют, в свёрнутом виде после ответа, подробное решение, которое стоит открывать только после того, как написано собственное.

Вводные уроки и уроки обобщения устроены по-своему. Введение представляет раздел, его историю, задачу, из которой он родился, и его значение; обобщение восстанавливает дедуктивную цепь раздела, связывает её с предшествующими и последующими разделами и предлагает десять задач повышенной трудности, каждая с подсказкой, окончательным ответом и свёрнутым подробным решением, которые сочетают несколько уроков и требуют больше изобретательности, чем предложенные задачи.

Озвучивание текста

Каждый урок можно прослушать вслух с помощью озвучивания на сайте, которое использует голоса самого устройства: текст читается так, как написан, а формулы произносятся словами. Это позволяет повторять урок вдали от экрана, следить за доказательством на слух, глядя на проигрыватель шагов, и заниматься при нарушениях зрения.

Проверка

Курс не выставляет отметок: оценивание в нём формирующее и опирается на самооценку. Предложенные задачи позволяют убедиться в достижении целей каждого урока, а задачи повышенной трудности позволяют убедиться в достижении целей каждого раздела.

К этому добавляются проверки разделов. Входная проверка, в начале введения, представляет собой короткую самооценку из десяти вопросов о разделе, к которым начиная с раздела 2 добавляются три вопроса о том, что раздел считает известным из предшествующих, и измеряет исходную точку; итоговая проверка, в обобщении и перед задачами повышенной трудности, содержит двенадцать вопросов, измеряет достигнутое и сравнивается с входной. Обе проверяются в самом браузере: каждый ответ получает объяснение, каждая типичная ошибка получает замечание, которое её распознаёт, и каждый вопрос отсылает к уроку, который стоит повторить. Ни одна из них не выставляет отметок и не выдаёт сертификата, а их результаты хранятся только в браузере студента; подтверждение приобретённых умений будет проводиться позднее на другой платформе. Все пять разделов включают обе проверки, и итоговый обзор сводит первую попытку каждой итоговой проверки в профиль по общим целям.

Для общих целей предлагаются такие свидетельства достижения:

• Цель 1: написать, не заглядывая в урок, доказательство какой-либо теоремы курса, например бесконечности множества простых чисел или единственности деления с остатком, и доказательство задачи повышенной трудности, требующей индукции.
• Цель 2: объяснить письменно, какое уравнение мотивирует каждое расширение от натуральных чисел до комплексных, и доказать, что сложение целых чисел, определённое через классы пар натуральных чисел, определено корректно.
• Цель 3: решить линейное диофантово уравнение с ограничениями и вычислить с помощью сравнений остаток от деления большой степени.
• Цель 4: решить рациональное неравенство или неравенство с радикалами и модулем, обосновывая каждую равносильность и проверяя решение.
• Цель 5: полностью исследовать рациональную функцию или функцию с корнями и построить её график без вычислительных средств, а затем проверить его с помощью одного из них.
• Цель 6: определить коническое сечение, задаваемое уравнением второй степени без члена с $xy$, со всеми его элементами, и описать неравенствами область, ограниченную прямыми и коническими сечениями.
• Цель 7: решить логарифмическое уравнение с проверкой области определения и доказать гиперболическое тождество исходя из определений.
• Цель 8: поставить и решить задачу линейного программирования или подобрать показательную модель по данным и записать полное решение, с постановкой, ходом решения, ответом и контролем правдоподобия, так чтобы другой человек мог проследить его без дополнительных пояснений.

Как изучать этот курс

Курс рассчитан на изучение по порядку. Каждый раздел предполагает предшествующие, и многие доказательства ссылаются на результаты прежних уроков; пропуск урока рано или поздно заставляет к нему вернуться.

В каждом разделе есть две контрольные точки. Входная проверка, в начале введения, является исходной точкой: на неё стоит ответить до изучения раздела, ничего не подглядывая, и отметить уроки, к которым отсылают ошибки, потому что именно они требуют наибольшего внимания. Итоговая проверка, в обобщении и перед задачами повышенной трудности, служит сопоставлением: на неё отвечают по окончании уроков, тоже ничего не подглядывая, и сравнивают её с входной, чтобы увидеть, что изменилось и какие уроки стоит повторить. В обеих засчитывается первая попытка: именно её сравнивают и именно её сводит профиль итогового обзора; последующие делаются уже после того, как обратная связь просмотрена. Задачи повышенной трудности дополняют проверку знаний, потому что требуют сочетать и излагать письменно то, чего короткие вопросы лишь касаются. Отсюда следует, что тот, кто считает, что уже владеет разделом, не должен решать это по одному испытанию: если его итоговая проверка дала уверенный результат и он решает задачи повышенной трудности обобщения, он может перейти к следующему за ним разделу; если нет, стоит пройти уроки, на которые указывают проверка и задачи.

В каждом уроке стоит сначала прочитать краткое содержание и цели, которые говорят, к чему он стремится; затем изучить теорию с бумагой и карандашом, стараясь предугадать каждый шаг доказательств прежде, чем его запишет проигрыватель; пытаться решить решённые задачи, прежде чем смотреть их решение, и решать предложенные задачи без помощи, открывая подсказку только тогда, когда попытка исчерпана, а ответ только в конце, для проверки. Задача, ответ на которую был подсмотрен до попытки, не решена, а прочитана.

Задачи повышенной трудности сложнее задач уроков, и это нормально, что некоторые из них требуют нескольких попыток в разные дни. Не стоит бесконечно задерживаться на одной: отметить её, продолжить двигаться вперёд и вернуться к ней позже часто оказывается самым коротким путём. Однако оценочная трудоёмкость предполагает, что за каждую из них берутся всерьёз, и в этом усилии решается значительная часть того, чему может научить курс.

Наконец, стоит писать. Изложить письменно доказательство или полное решение, с его посылками и выводами, есть единственный способ узнать, понято ли оно, и это также восьмая из целей курса. Тетрадь для занятий, в которой своими словами переписываются определения и теоремы каждого раздела, есть лучший материал для повторения, какой может оставить курс.