Derivate: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità sulle derivate. Riunisce in un’unica catena deduttiva ciò che le dieci lezioni dell’unità hanno dimostrato: la derivata come limite del rapporto incrementale, le sue tre caratterizzazioni equivalenti e le regole di derivazione, tutte ottenute dalla fattorizzazione di Carathéodory senza dividere per quantità che possono annullarsi, insieme alle derivate delle funzioni elementari e alla regola della catena; il teorema dei valori intermedi e la continuità dell’inversa, che sostengono la derivata della funzione inversa, e la riduzione delle potenze e degli esponenziali in base qualsiasi all’esponenziale naturale; e le derivate di ordine superiore, il differenziale e i tassi di variazione. Spiega come l’unità si appoggia sull’unità precedente e su Algebra e Geometria I e II, e come prepara le applicazioni delle derivate. Termina con una valutazione d’uscita, parallela a quella d’ingresso, e con dieci sfide, più difficili dei problemi delle lezioni, ciascuna delle quali combina risultati di diverse lezioni.

Obiettivi di apprendimento

Esporre in ordine logico le definizioni e i teoremi principali dell’unità, indicando da quali risultati anteriori dipende ciascuno e in quali dimostrazioni si riutilizza la fattorizzazione di Carathéodory.
Distinguere ciò che l’unità ammette da ciò che dimostra, e riconoscere le ipotesi di ciascun risultato, come quella della derivata dell’inversa o quella che richiede la derivazione implicita.
Mettere in relazione i risultati dell’unità con l’unità sui limiti e sulla continuità, con Algebra e Geometria I e II e con le applicazioni delle derivate.
Risolvere problemi non di routine che combinano la definizione della derivata, le regole, la regola della catena, il teorema dei valori intermedi, la derivata dell’inversa, le potenze a esponente variabile, le derivate di ordine superiore, il differenziale e i tassi di variazione.

Ciò che l’unità ha ottenuto

Tutta l’unità poggia su un’idea: la derivata è un limite, e l’unità precedente aveva già fornito tutto il necessario per calcolarla e maneggiarla. Ma il rapporto incrementale è una divisione, e dividere per un incremento che può annullarsi è l’origine di dimostrazioni difettose. La caratterizzazione di Carathéodory sostituisce la divisione con un prodotto, con un fattore $\varphi$ continuo in $a$ :

f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

Con essa, dimostrare che una funzione è derivabile si riduce a fattorizzarne l’incremento con un fattore continuo, e la continuità del fattore la decidono i teoremi dell’unità precedente. Così si sono ottenute le regole della combinazione lineare, del prodotto e del reciproco, la regola della catena e la derivata della funzione inversa, ciascuna citando le anteriori invece di rifarle.

La definizione e le regole

La lezione sulla derivata come limite è giunta alla stessa definizione dalla tangente e dalla velocità, e ha stabilito dove ha senso: in un punto del dominio che ne sia punto di accumulazione. Ha scritto la derivata come enunciato quantificato, ha definito le derivate unilaterali come limiti unilaterali del rapporto incrementale, la retta tangente e la retta normale, la funzione derivata e la notazione di Leibniz, e ha dimostrato che la derivata ammette tre formulazioni equivalenti: il limite del rapporto incrementale, l’approssimazione $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h)$ e la fattorizzazione di Carathéodory. Dall’ultima è seguito in due righe che derivabile implica continua; il valore assoluto e la radice cubica hanno mostrato che il viceversa non vale. La lezione sulle regole di derivazione ha dimostrato dapprima che la derivata dipende solo da ciò che accade vicino al punto, e poi, combinando fattorizzazioni, le regole della combinazione lineare, del prodotto, del reciproco e del quoziente; con esse ha derivato le potenze a esponente intero, i polinomi e le funzioni razionali, e ha deciso la derivabilità nel punto di raccordo tra due casi, dove le derivate delle formule non bastano. La lezione sulle derivate delle funzioni elementari ha ottenuto quelle del seno e del coseno dal limite trigonometrico fondamentale e dalle formule di addizione, quelle dell’esponenziale naturale e di $\ln \abs{x}$ dai limiti notevoli, senza la regola della catena né la regola della funzione inversa, e quelle delle altre funzioni trigonometriche e delle funzioni iperboliche con le regole. La lezione sulla regola della catena ha combinato due fattorizzazioni, ha spiegato perché la dimostrazione che divide per $g(x) - g(a)$ fallisce quando la funzione interna ripete il suo valore, ha curato il dominio della composizione e ha scritto la regola nella notazione di Leibniz, dove sembra una semplificazione di frazioni senza esserlo.

La continuità, le inverse e gli esponenti

La lezione sul teorema dei valori intermedi ha dimostrato il teorema di Bolzano con l’estremo superiore dei punti in cui la funzione è negativa e con la permanenza del segno, e da esso ha ottenuto il teorema dei valori intermedi, il fatto che l’immagine di un intervallo mediante una funzione continua è un intervallo e il fatto che l’inversa di una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo è continua; il metodo di bisezione ha trasformato la dimostrazione in un procedimento. La lezione sulla derivata della funzione inversa ha letto al contrario la fattorizzazione di Carathéodory: se $f'(a) \neq 0$ , il fattore non si annulla, e il suo reciproco, composto con l’inversa continua, fattorizza l’incremento dell’inversa; se $f'(a) = 0$ , la regola della catena impedisce che l’inversa sia derivabile. Con quel teorema ha derivato le funzioni trigonometriche inverse, le funzioni iperboliche inverse, le radici e le potenze a esponente razionale, e ha derivato funzioni definite implicitamente, supponendo in ciascun caso che esistano e siano derivabili. La lezione sulla variabile all’esponente ha ricondotto tutto all’esponenziale naturale, con $a^x = e^{x \ln a}$ e $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ : ha derivato l’esponenziale e il logaritmo in base qualsiasi, le potenze a esponente reale e quelle a base ed esponente variabili, ha giustificato la derivazione logaritmica dimostrando la derivabilità prima di prendere i logaritmi, e ha deciso che $\pi^e < e^\pi$ con la tangente al logaritmo che passa per l’origine.

Le derivate di ordine superiore e i tassi di variazione

La lezione sulle derivate di ordine superiore e il differenziale ha definito le derivate di ordine superiore per ricorrenza, con il loro dominio, e ha dimostrato per induzione le formule di ordine $n$ per le potenze, l’esponenziale, il seno e il coseno, e la formula di Leibniz, che ha i coefficienti del binomio di Newton. Ha dato un significato separato a $\mathrm{d}y$ e a $\mathrm{d}x$ : il differenziale $\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x$ è l’unica parte lineare dell’incremento che differisce da esso per una quantità trascurabile rispetto a $\Delta x$ ; lo ha usato per approssimare valori e per stimare la propagazione degli errori, senza maggiorare l’errore dell’approssimazione, il che richiede strumenti che verranno più avanti. La lezione sui tassi di variazione ha letto la derivata come la rapidità con cui cambia una grandezza: ha distinto i tassi medio, istantaneo e relativo, ha caratterizzato la crescita a tasso relativo costante, ha descritto il moto rettilineo con la velocità, il modulo della velocità e l’accelerazione, ha dimostrato ciò che il segno della derivata in un punto dice sui valori vicini, e niente di più, e ha fondato sulla regola della catena un metodo esplicito per i tassi di variazione correlati.

Ciò che si ammette, ciò che si dimostra e ciò che resta

Il bilancio dell’unità si può riassumere così:

Si ammettono l’assioma di completezza, che in questa unità usa direttamente solo il teorema di Bolzano, i teoremi dell’unità sui limiti e sulla continuità e risultati dimostrati in Algebra e Geometria: le formule di addizione, le identità fondamentali, le proprietà delle potenze e dei logaritmi, la disuguaglianza $e^x \geq 1 + x$ , la monotonia delle funzioni che definiscono le inverse, l’induzione e il binomio di Newton. Si suppone inoltre, in ciascun caso, che un’equazione definisca una funzione derivabile quando la si deriva implicitamente.
Si dimostrano fatti che Algebra e Geometria aveva ammesso o annunciato: il teorema dei valori intermedi, il fatto che la tangente al grafico di $e^x$ in $(0, 1)$ ha coefficiente angolare $1$ e che $e$ è l’unica base il cui esponenziale ha quel coefficiente angolare; e la tangente, che per le coniche si era definita come la retta che tocca la curva senza attraversarla, viene definita per qualsiasi grafico.
Si riutilizzano quattro strumenti invece di ripetere argomenti: la fattorizzazione di Carathéodory, il teorema per cui derivabile implica continua, il carattere locale della derivata e la permanenza del segno.
Resta per dopo ciò che esige più della derivata in un punto: il teorema del valor medio e ciò che ne segue, la monotonia dal segno della derivata, gli estremi, la regola di de l’Hôpital e le stime dell’errore del differenziale, nell’unità seguente; il polinomio di Taylor e l’integrale, in Analisi II; e il teorema che garantisce le funzioni definite implicitamente, nell’analisi in più variabili.

La figura seguente riunisce i tre tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che si appoggiano su di esso e da una tratteggiata all’anello in cui viene stabilito, tranne quelli che provengono dall’unità precedente o da Algebra e Geometria, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

AAssioma di completezza. Si ammette, da Algebra e Geometria I, che i reali formano un campo ordinato completo: ogni insieme non vuoto di reali superiormente limitato ha estremo superiore. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BEredità dell’unità 1. Risultati dimostrati nell’unità sui limiti e sulla continuità: l’algebra dei limiti, con il limite di una restrizione e quello di una composizione; i limiti unilaterali; la continuità, quella delle operazioni e quella della composizione; la continuità delle funzioni elementari e dell’inversa di una funzione monotona la cui immagine è un intervallo; i limiti di $\frac{\sin h}{h}$ , $\frac{1 - \cos h}{h}$ , $\frac{e^h - 1}{h}$ e $\frac{\ln(1 + h)}{h}$ in $0$ ; e l’ $\operatorname{o}$ piccolo e l’equivalenza. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CPermanenza del segno. Dimostrata nell’unità sui limiti e sulla continuità: se $f$ tende in $a$ a un limite $L \neq 0$ , vicino ad $a$ la funzione ha il segno di $L$ ; e se $f$ è continua in $a$ con $f(a) \neq 0$ , vicino ad $a$ ha il segno di $f(a)$ e non si annulla. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
DEredità di Algebra e Geometria. Risultati dimostrati in Algebra e Geometria I e II: l’induzione, il binomio di Newton e la formula di Stifel; le formule di addizione e le identità fondamentali trigonometriche e iperboliche; le proprietà delle potenze e dei logaritmi, il cambiamento di base e la disuguaglianza $e^x \geq 1 + x$ ; e la monotonia delle restrizioni che definiscono le funzioni trigonometriche inverse e delle funzioni iperboliche. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
EFattorizzazione di Carathéodory. $f$ è derivabile in $a$ , con $f'(a) = L$ , se e solo se esiste $\varphi$ , continua in $a$ , con $\varphi(a) = L$ e $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ su tutto il dominio: per derivare basta fattorizzare l’incremento, senza dividere. Stabilito in: 3. Tre caratterizzazioni.
FDerivabile implica continua. Ogni funzione derivabile in un punto vi è continua; le regole lo usano perché il fattore di Carathéodory risulti continuo. Stabilito in: 4. Derivabile implica continua.
GCarattere locale. La derivata in $a$ non cambia quando si restringe la funzione a un insieme di cui $a$ è ancora punto di accumulazione, e dipende solo dai valori vicino ad $a$ ; per questo si lavora sull’intersezione dei domini o su un intervallo aperto. Stabilito in: 5. Carattere locale della derivata.

Tratto 1 La definizione e le regole
- Definire la derivata in un punto di accumulazione del dominio come il limite del rapporto incrementale, con le sue derivate unilaterali, e scriverla come enunciato quantificato.
- Dimostrare l’equivalenza tra il rapporto incrementale, l’approssimazione lineare e la fattorizzazione di Carathéodory, e dedurne che derivabile implica continua, ma non viceversa.
- Ottenere con fattorizzazioni, senza dividere per incrementi, le regole della combinazione lineare, del prodotto, del reciproco e del quoziente, e derivare polinomi, funzioni razionali e funzioni definite per casi.
- Derivare le funzioni trigonometriche, l’esponenziale, il logaritmo e le funzioni iperboliche con i limiti dell’unità precedente, e le loro composizioni con la regola della catena.
1. Definizione di derivata. Se $a$ è un elemento del dominio $A$ di $f$ che è punto di accumulazione di $A$ , allora $f'(a) = L$ quando $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)$ ; equivalentemente, $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L$ .
  Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: La derivata come limite di una funzione.
2. Derivate unilaterali. Le derivate unilaterali $f'_+(a)$ e $f'_-(a)$ sono i limiti unilaterali del rapporto incrementale; se $a$ è punto di accumulazione del dominio da entrambi i lati, $f$ è derivabile in $a$ se e solo se entrambe esistono e sono uguali, e se lo è da un solo lato, la derivata è quella di quel lato.
  Usa: 1. Definizione di derivata. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: La derivata come limite di una funzione.
3. Tre caratterizzazioni. Sono equivalenti: $f'(a) = L$ ; $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ quando $h$ tende a $0$ ; e l’esistenza di una funzione $\varphi$ , continua in $a$ , con $\varphi(a) = L$ , tale che $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ per ogni $x$ del dominio.
  Usa: 1. Definizione di derivata. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: La derivata come limite di una funzione.
4. Derivabile implica continua. Se $f$ è derivabile in $a$ , è continua in $a$ ; il viceversa è falso: $\abs{x}$ e $\sqrt[3]{x}$ sono continue in $0$ e non sono derivabili in $0$ .
  Usa: 2. Derivate unilaterali, 3. Tre caratterizzazioni. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), E (Fattorizzazione di Carathéodory). Dimostrato in: La derivata come limite di una funzione.
5. Carattere locale della derivata. Se $F$ è la restrizione di $f$ a un insieme $B$ che contiene $a$ e di cui $a$ è punto di accumulazione, e $f$ è derivabile in $a$ , allora $F'(a) = f'(a)$ ; e se $B$ contiene tutti i punti del dominio vicini ad $a$ , $f$ è derivabile in $a$ se e solo se lo è $F$ .
  Usa: 1. Definizione di derivata. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Regole di derivazione.
6. Combinazione lineare e prodotto. Se $f$ e $g$ sono derivabili in $a$ , lo sono anche $\alpha f + g$ e $fg$ , con $(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a)$ e $(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)$ .
  Usa: 3. Tre caratterizzazioni, 4. Derivabile implica continua. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), E (Fattorizzazione di Carathéodory), F (Derivabile implica continua). Dimostrato in: Regole di derivazione.
7. Reciproco e quoziente. Se $f$ e $g$ sono derivabili in $a$ e $g(a) \neq 0$ , allora $a$ è punto di accumulazione del dominio di $\frac{f}{g}$ , e valgono $\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ e $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ .
  Usa: 3. Tre caratterizzazioni, 4. Derivabile implica continua, 5. Carattere locale della derivata, 6. Combinazione lineare e prodotto. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), C (Permanenza del segno), E (Fattorizzazione di Carathéodory), F (Derivabile implica continua), G (Carattere locale). Dimostrato in: Regole di derivazione.
8. Potenze, polinomi e funzioni razionali. Per ogni intero $m \neq 0$ , la derivata di $x^m$ è $m x^{m - 1}$ su tutto il suo dominio; ogni polinomio è derivabile in $\mathbb{R}$ , con la derivata termine a termine, e ogni funzione razionale è derivabile nel suo dominio.
  Usa: 1. Definizione di derivata, 6. Combinazione lineare e prodotto, 7. Reciproco e quoziente. Si appoggia su: D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: Regole di derivazione.
9. Derivata in un punto di raccordo. Se $f$ coincide con $g$ a sinistra di $c$ e con $h$ a destra, con $g$ e $h$ derivabili in $c$ , allora $f$ è derivabile in $c$ se e solo se $g(c) = f(c) = h(c)$ e $g'(c) = h'(c)$ ; confrontare le derivate delle formule non basta.
  Usa: 2. Derivate unilaterali, 4. Derivabile implica continua. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), F (Derivabile implica continua). Dimostrato in: Regole di derivazione.
10. Funzioni trigonometriche. Per ogni $x$ reale, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x$ e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x$ ; dove $\cos x \neq 0$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ ; e la cotangente, la secante e la cosecante si derivano con le regole del quoziente e del reciproco.
  Usa: 1. Definizione di derivata, 6. Combinazione lineare e prodotto, 7. Reciproco e quoziente. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: Derivate delle funzioni elementari.
11. Esponenziale, logaritmo e iperboliche. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x$ in $\mathbb{R}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}$ in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ , e le derivate di $\sinh x$ , $\cosh x$ e $\tanh x$ sono $\cosh x$ , $\sinh x$ e $\frac{1}{\cosh^2 x}$ .
  Usa: 1. Definizione di derivata, 6. Combinazione lineare e prodotto, 7. Reciproco e quoziente. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: Derivate delle funzioni elementari.
12. Regola della catena. Se $g$ è derivabile in $a$ e $f$ , definita su un insieme che contiene i valori di $g$ , è derivabile in $g(a)$ , allora $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)$ ; la dimostrazione che divide per $g(x) - g(a)$ è valida solo quando $g'(a) \neq 0$ .
  Usa: 3. Tre caratterizzazioni, 4. Derivabile implica continua. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), C (Permanenza del segno), E (Fattorizzazione di Carathéodory), F (Derivabile implica continua). Dimostrato in: Regola della catena per la derivata della composizione di funzioni.
13. Composizioni usuali. La regola vale nel dominio di $f \circ g$ quando $a$ ne è punto di accumulazione, il che accade se il dominio di $f$ contiene un intervallo centrato in $g(a)$ ; con essa, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)$ per ogni intero $m \neq 0$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ se $g(a) > 0$ , e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)$ .
  Usa: 1. Definizione di derivata, 5. Carattere locale della derivata, 8. Potenze, polinomi e funzioni razionali, 10. Funzioni trigonometriche, 12. Regola della catena. Si appoggia su: C (Permanenza del segno), F (Derivabile implica continua), G (Carattere locale). Dimostrato in: Regola della catena per la derivata della composizione di funzioni.
Tratto 2 La continuità, le inverse e gli esponenti
- Dimostrare il teorema di Bolzano con l’estremo superiore e, con esso, il teorema dei valori intermedi, il fatto che l’immagine di un intervallo mediante una funzione continua è un intervallo e il fatto che l’inversa di una funzione continua e strettamente monotona è continua.
- Dimostrare la derivata della funzione inversa leggendo al contrario la fattorizzazione di Carathéodory, e derivare le funzioni trigonometriche inverse, le funzioni iperboliche inverse, le radici e le potenze a esponente razionale.
- Derivare funzioni definite implicitamente, distinguendo il calcolo della derivata dalla dimostrazione che essa esiste.
- Ricondurre all’esponenziale naturale gli esponenziali e i logaritmi in base qualsiasi e le potenze a esponente reale o a base ed esponente variabili, e giustificare la derivazione logaritmica.
1. Teorema di Bolzano. Se $f$ è continua in $\icc{a}{b}$ e $f(a) < 0 < f(b)$ , oppure $f(a) > 0 > f(b)$ , esiste $c$ in $\ioo{a}{b}$ tale che $f(c) = 0$ .
  Si appoggia su: A (Assioma di completezza), C (Permanenza del segno). Dimostrato in: Teorema dei valori intermedi.
2. Teorema dei valori intermedi. Se $f$ è continua in $\icc{a}{b}$ , assume ogni valore compreso tra $f(a)$ e $f(b)$ ; pertanto, l’immagine di un intervallo mediante una funzione continua è un intervallo.
  Usa: 14. Teorema di Bolzano. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Teorema dei valori intermedi.
3. Continuità dell’inversa. Se $f$ è continua e strettamente monotona in un intervallo $I$ , la sua inversa è continua nell’intervallo $f(I)$ .
  Usa: 15. Teorema dei valori intermedi. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Teorema dei valori intermedi.
4. Derivata della funzione inversa. Se $f$ è continua e strettamente monotona in un intervallo $I$ con più di un punto e derivabile in $a$ , con $f'(a) \neq 0$ , allora $f^{-1}$ è derivabile in $b = f(a)$ , e $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ ; se $f'(a) = 0$ , $f^{-1}$ non è derivabile in $b$ .
  Usa: 1. Definizione di derivata, 3. Tre caratterizzazioni, 12. Regola della catena, 15. Teorema dei valori intermedi, 16. Continuità dell’inversa. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), E (Fattorizzazione di Carathéodory). Dimostrato in: Derivata della funzione inversa e derivazione implicita.
5. Inverse elementari e radici. Nei loro domini di derivabilità, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}$ e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{settsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ ; $\sqrt[n]{x}$ è derivabile in ogni $x \neq 0$ del suo dominio e non in $0$ ; e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$ in $\ioo{0}{\infty}$ .
  Usa: 8. Potenze, polinomi e funzioni razionali, 10. Funzioni trigonometriche, 11. Esponenziale, logaritmo e iperboliche, 13. Composizioni usuali, 17. Derivata della funzione inversa. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: Derivata della funzione inversa e derivazione implicita.
6. Esponenziale e logaritmo in base a. Se $a > 0$ e $a \neq 1$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a$ e $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}$ ; e se $u$ è derivabile in un punto, lo è anche $e^{u(x)}$ , con derivata $e^{u(x)} u'(x)$ , e se inoltre $u$ non vi si annulla, lo è anche $\ln \abs{u(x)}$ , con derivata $\frac{u'(x)}{u(x)}$ .
  Usa: 6. Combinazione lineare e prodotto, 11. Esponenziale, logaritmo e iperboliche, 12. Regola della catena, 13. Composizioni usuali. Si appoggia su: D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: La variabile all’esponente e la derivazione logaritmica.
7. Potenze a esponente reale e variabile. Per ogni $r$ reale, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}$ in $\ioo{0}{\infty}$ ; e se $f$ , a valori positivi, e $g$ sono derivabili in $a$ , allora $F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ è derivabile in $a$ , con $F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)$ .
  Usa: 6. Combinazione lineare e prodotto, 11. Esponenziale, logaritmo e iperboliche, 12. Regola della catena, 19. Esponenziale e logaritmo in base a. Si appoggia su: D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: La variabile all’esponente e la derivazione logaritmica.
8. Derivazione logaritmica. Se $f_1, \ldots, f_k$ sono derivabili in $a$ e non si annullano in $a$ , e $f_j$ è positiva quando $r_j$ non è intero, allora $F = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}$ è derivabile in $a$ , e $\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}$ ; la derivabilità si dimostra prima di prendere i logaritmi.
  Usa: 4. Derivabile implica continua, 5. Carattere locale della derivata, 6. Combinazione lineare e prodotto, 13. Composizioni usuali, 19. Esponenziale e logaritmo in base a, 20. Potenze a esponente reale e variabile. Si appoggia su: D (Eredità di Algebra e Geometria), F (Derivabile implica continua), G (Carattere locale). Dimostrato in: La variabile all’esponente e la derivazione logaritmica.
9. Pi elevato e ed e elevato pi. Per ogni $x > 0$ vale $x^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}$ , con l’uguaglianza solo se $x = e$ , perché il logaritmo sta sotto la sua tangente $y = \frac{x}{e}$ ; in particolare, $\pi^e < e^\pi$ .
  Usa: 11. Esponenziale, logaritmo e iperboliche. Si appoggia su: D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: La variabile all’esponente e la derivazione logaritmica.
Tratto 3 Le derivate di ordine superiore e i tassi di variazione
- Definire le derivate di ordine superiore e dimostrare per induzione le formule di ordine $n$ per le potenze, l’esponenziale, il seno e il coseno, e la formula di Leibniz.
- Dare un significato separato a $\mathrm{d}y$ e a $\mathrm{d}x$ , dimostrare che il differenziale è la parte principale dell’incremento e usarlo per approssimare e per stimare errori, senza maggiorarli.
- Leggere la derivata come tasso di variazione medio, istantaneo e relativo, e descrivere con essa il moto rettilineo.
- Risolvere problemi di tassi di variazione correlati con la regola della catena e un metodo esplicito.
1. Derivate di ordine superiore. $f^{(0)} = f$ e $f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ , con il dominio di ciascuna formato dai punti in cui la derivata precedente è derivabile; se $f$ e $g$ sono derivabili $n$ volte in un intervallo aperto, $\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}$ .
  Usa: 6. Combinazione lineare e prodotto. Si appoggia su: D (Eredità di Algebra e Geometria), G (Carattere locale). Dimostrato in: Derivate di ordine superiore e differenziale.
2. Derivate di ordine n. In $\ioo{0}{\infty}$ , $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}$ ; per ogni $x$ reale, $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}$ e $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$ ; e i coefficienti di un polinomio $f$ sono i numeri $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ .
  Usa: 8. Potenze, polinomi e funzioni razionali, 13. Composizioni usuali, 19. Esponenziale e logaritmo in base a, 20. Potenze a esponente reale e variabile, 23. Derivate di ordine superiore. Si appoggia su: D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: Derivate di ordine superiore e differenziale.
3. Formula di Leibniz. Se $f$ e $g$ sono derivabili $n$ volte in un intervallo aperto, lo è anche $fg$ , e $(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$ .
  Usa: 6. Combinazione lineare e prodotto, 23. Derivate di ordine superiore. Si appoggia su: D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: Derivate di ordine superiore e differenziale.
4. Il differenziale. Se $f$ è derivabile in $a$ , l’incremento $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ soddisfa $\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)$ , con $\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x$ , e nessun’altra funzione lineare di $\Delta x$ lo soddisfa; se $f'(a) \neq 0$ , $\Delta y \sim \mathrm{d}y$ ; e se $w = f(u)$ , allora $\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u$ .
  Usa: 3. Tre caratterizzazioni, 6. Combinazione lineare e prodotto, 7. Reciproco e quoziente, 12. Regola della catena. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Derivate di ordine superiore e differenziale.
5. Tasso relativo costante. Se $y(t) = y_0 e^{kt}$ , con $y_0 > 0$ e $k \neq 0$ , il tasso di variazione relativo $\frac{y'(t)}{y(t)}$ è uguale a $k$ in ogni istante, e $y(t + T) = e^{kT} y(t)$ : la grandezza raddoppia, o si dimezza, in ogni intervallo di tempo di lunghezza $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .
  Usa: 19. Esponenziale e logaritmo in base a. Si appoggia su: D (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: Tassi di variazione e tassi di variazione correlati.
6. Il segno della derivata in un punto. Se $f$ è definita in un intervallo aperto $I$ , è derivabile in un punto $a$ di $I$ e $f'(a) > 0$ , esiste $\delta > 0$ tale che, per ogni $x$ di $I$ , $f(x) < f(a)$ se $a - \delta < x < a$ , e $f(x) > f(a)$ se $a < x < a + \delta$ ; non ne segue che $f$ sia crescente vicino ad $a$ . Perciò il modulo della velocità aumenta quando la velocità e l’accelerazione hanno lo stesso segno.
  Usa: 1. Definizione di derivata, 6. Combinazione lineare e prodotto. Si appoggia su: C (Permanenza del segno). Dimostrato in: Tassi di variazione e tassi di variazione correlati.
7. Tassi di variazione correlati. Se $u$ è derivabile in $t_0$ e $y(t) = g(u(t))$ , con $g$ derivabile in $u(t_0)$ , allora $y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)$ ; e due espressioni uguali in ogni istante di un intervallo e derivabili in $t_0$ hanno la stessa derivata in $t_0$ .
  Usa: 12. Regola della catena. Dimostrato in: Tassi di variazione e tassi di variazione correlati.

Verso le applicazioni. La catena si ferma dove la derivata smette di essere l’oggetto di studio e diventa uno strumento: l’unità seguente comincia con il teorema di Weierstrass dei valori estremi; dimostra il teorema di Fermat con il segno della derivata in un punto, e da esso il teorema di Rolle e il teorema del valor medio, che trasformano il segno della derivata in monotonia e forniscono la regola di de l’Hôpital, gli estremi, la concavità e le stime che mancano al differenziale; e termina con il metodo di Newton-Raphson, che sostituisce la curva con la sua tangente.