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Topos Uranos
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Derivate di ordine superiore e differenziale

Riepilogo

Questa lezione deriva la derivata. La derivata di una funzione è un’altra funzione, che a sua volta può essere derivata: così si ottengono la derivata seconda, la terza e, in generale, la derivata di ordine nn, che per le potenze, l’esponenziale, il seno e il coseno ha una formula chiusa, dimostrata per induzione. La derivata di ordine nn di un prodotto segue la stessa legge della potenza di un binomio: è la formula di Leibniz. La seconda metà della lezione dà senso, separatamente, ai segni dy\mathrm{d}y e dx\mathrm{d}x della notazione di Leibniz: il differenziale dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x è la parte lineare dell’incremento della funzione, l’unica che ne differisce per una quantità trascurabile rispetto all’incremento della variabile. Con esso si approssimano valori e si stima come si propaga l’errore di una misura, senza pretendere ancora di maggiorare l’errore dell’approssimazione.

Obiettivi di apprendimento

  1. Definire le derivate di ordine superiore, con il loro dominio, e ottenere per induzione la derivata di ordine nn delle potenze, dell’esponenziale, del seno, del coseno e dei polinomi.
  2. Dimostrare la formula di Leibniz per la derivata di ordine nn di un prodotto e applicarla quando uno dei fattori è un polinomio.
  3. Definire il differenziale e dimostrare che è la parte principale dell’incremento, distinguendo Δy\Delta y da dy\mathrm{d}y.
  4. Approssimare valori e stimare errori relativi con il differenziale, sapendo che cosa afferma l’approssimazione e che cosa non afferma.

Derivate di ordine superiore

La derivata di una funzione è un’altra funzione, e nulla impedisce di derivarla di nuovo. La derivata di x3x^3 è 3x23x^2, e quella di 3x23x^2 è 6x6x; quella di 6x6x è 66, e quella di 66 è 00. Se s(t)s(t) è la posizione di un punto mobile nell’istante tt, la sua derivata s′(t)s'(t) è la velocità, e la derivata della velocità, che misura con quale rapidità cambia la velocità stessa, è l’accelerazione; la lezione sui tassi di variazione studierà questa lettura. Come nella lezione su la derivata come limite, conviene fissare con precisione dove è definita ciascuna derivata.

DefinizioneDerivate di ordine superiore

Sia ff una funzione definita in AA. Le derivate di ordine superiore di ff si definiscono per ricorsione: la derivata di ordine 00 è la funzione stessa, e la derivata di ordine n+1n + 1 è la funzione derivata di quella di ordine nn:

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

Per la definizione di funzione derivata, il dominio della derivata di ordine n+1n + 1 è l’insieme dei punti del dominio di f(n)f^{(n)} in cui f(n)f^{(n)} è derivabile. Si dice che ff è derivabile nn volte in un punto aa se aa appartiene al dominio di f(n)f^{(n)}; in un insieme SS, se lo è in ogni punto di SS; e infinitamente derivabile in SS, se lo è per ogni nn. Le prime si scrivono con gli apici, f′′=f(2)f'' = f^{(2)} (la derivata seconda) e f′′′=f(3)f''' = f^{(3)}; dall’ordine quattro in poi, con l’ordine tra parentesi, come f(4)f^{(4)}, per non confonderlo con una potenza. Se y=f(x)y = f(x), nella notazione di Leibniz si scrive d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} e dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}, e l’operazione di derivare nn volte, dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}.

Nella notazione di Leibniz, l’esponente del numeratore indica quante volte si applica l’operazione ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}, e quello del denominatore riguarda tutto il simbolo dx\mathrm{d}x, non la variabile xx; il segno completo d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} si legge come un tutto. Se ff è derivabile nn volte in un punto, ogni derivata di ordine minore di nn è derivabile in esso e, per il teorema della lezione sulla derivata come limite secondo il quale derivabile implica continua, è continua in esso. La derivata seconda può mancare anche se esiste la prima: la lezione sulle regole di derivazione ha mostrato che x∣x∣x \abs{x} è derivabile in tutto R\mathbb{R}, con derivata 2∣x∣2\abs{x}, e il valore assoluto non è derivabile in 00, per la proposizione della continuità senza derivata. Ne segue che x∣x∣x \abs{x} è derivabile una volta in R\mathbb{R} e due volte solo in R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, dove la sua derivata seconda vale 22 a destra di 00 e −2-2 a sinistra.

Per non ripetere ipotesi sul dominio, le funzioni degli enunciati generali si considerano definite in un intervallo aperto II, i cui punti sono tutti punti di accumulazione di II. Non si perde nulla: per la seconda affermazione del lemma del carattere locale della derivata, della lezione sulle regole di derivazione, in un punto di un intervallo aperto contenuto nel dominio la derivata di una funzione è quella della sua restrizione all’intervallo, e, per induzione, lo stesso accade per le derivate di ordine superiore. Così, 1x\frac{1}{x} si studia in (−∞,0)\ioo{-\infty}{0} e in (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

LemmaLinearità delle derivate di ordine superiore

Siano ff e gg funzioni definite in un intervallo aperto II e derivabili nn volte in II, e sia α\alpha un numero reale. Allora h=αf+gh = \alpha f + g è derivabile nn volte in II, e h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} in II. Si applica nn volte il teorema della derivata di una combinazione lineare, della lezione sulle regole di derivazione.

Dimostrazione

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    Per n=1n = 1 è il teorema della derivata di una combinazione lineare, in ogni punto di II.

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    Se l’uguaglianza vale per nn, e ff e gg sono derivabili n+1n + 1 volte in II, la funzione h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} è combinazione lineare di due funzioni derivabili in II; per lo stesso teorema, è derivabile in II. Per il principio di induzione, l’uguaglianza vale per ogni nn.