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Topos Uranos
Deutsch

Höhere Ableitungen und Differential

Zusammenfassung

Diese Lektion leitet die Ableitung ab. Die Ableitung einer Funktion ist wieder eine Funktion, die ihrerseits abgeleitet werden kann: So erhält man die zweite Ableitung, die dritte und allgemein die Ableitung nn-ter Ordnung, die für Potenzen, die Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus eine geschlossene Formel hat, die durch Induktion bewiesen wird. Die Ableitung nn-ter Ordnung eines Produkts folgt demselben Gesetz wie die Potenz eines Binoms: Das ist die Leibniz-Regel. Die zweite Hälfte der Lektion gibt den Zeichen dy\mathrm{d}y und dx\mathrm{d}x der Leibniz-Notation jeweils für sich einen Sinn: Das Differential dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x ist der lineare Anteil des Zuwachses der Funktion, der einzige, der sich von ihm um eine gegenüber dem Zuwachs der Variablen vernachlässigbare Größe unterscheidet. Mit ihm nähert man Werte an und schätzt ab, wie sich der Fehler einer Messung fortpflanzt, ohne schon den Fehler der Näherung beschränken zu wollen.

Lernziele

  1. Die höheren Ableitungen mit ihrem Definitionsbereich definieren und durch Induktion die Ableitung nn-ter Ordnung der Potenzen, der Exponentialfunktion, des Sinus, des Kosinus und der Polynome bestimmen.
  2. Die Leibniz-Regel für die Ableitung nn-ter Ordnung eines Produkts beweisen und sie anwenden, wenn einer der Faktoren ein Polynom ist.
  3. Das Differential definieren und beweisen, dass es der Hauptteil des Zuwachses ist, wobei Δy\Delta y von dy\mathrm{d}y unterschieden wird.
  4. Mit dem Differential Werte annähern und relative Fehler abschätzen und dabei wissen, was die Näherung behauptet und was sie nicht behauptet.

Höhere Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion ist wieder eine Funktion, und nichts hindert daran, sie erneut abzuleiten. Die Ableitung von x3x^3 ist 3x23x^2, und die von 3x23x^2 ist 6x6x; die von 6x6x ist 66, und die von 66 ist 00. Ist s(t)s(t) die Position eines bewegten Punktes zum Zeitpunkt tt, so ist seine Ableitung s′(t)s'(t) die Geschwindigkeit, und die Ableitung der Geschwindigkeit, die misst, wie schnell sich die Geschwindigkeit selbst ändert, ist die Beschleunigung; die Lektion über Änderungsraten wird diese Deutung untersuchen. Wie in der Lektion über die Ableitung als Grenzwert empfiehlt es sich, genau festzulegen, wo jede Ableitung definiert ist.

DefinitionHöhere Ableitungen

Sei ff eine auf AA definierte Funktion. Die höheren Ableitungen von ff werden rekursiv definiert: Die Ableitung der Ordnung 00 ist die Funktion selbst, und die Ableitung der Ordnung n+1n + 1 ist die Ableitungsfunktion derjenigen der Ordnung nn:

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

Nach der Definition der Ableitungsfunktion ist der Definitionsbereich der Ableitung der Ordnung n+1n + 1 die Menge der Stellen des Definitionsbereichs von f(n)f^{(n)}, an denen f(n)f^{(n)} differenzierbar ist. Man sagt, ff sei nn-mal differenzierbar an einer Stelle aa, wenn aa zum Definitionsbereich von f(n)f^{(n)} gehört; auf einer Menge SS, wenn sie es an jeder Stelle von SS ist; und beliebig oft differenzierbar auf SS, wenn sie es für jedes nn ist. Die ersten schreibt man mit Strichen, f′′=f(2)f'' = f^{(2)} (die zweite Ableitung) und f′′′=f(3)f''' = f^{(3)}; ab der Ordnung vier mit der Ordnung in Klammern, wie f(4)f^{(4)}, um sie nicht mit einer Potenz zu verwechseln. Ist y=f(x)y = f(x), so schreibt man in der Leibniz-Notation d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} und dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}, und für die Operation, nn-mal abzuleiten, dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}.

In der Leibniz-Notation gibt der Exponent im Zähler an, wie oft die Operation ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} angewandt wird, und der im Nenner bezieht sich auf das ganze Symbol dx\mathrm{d}x, nicht auf die Variable xx; das vollständige Zeichen d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} wird als Ganzes gelesen. Ist ff an einer Stelle nn-mal differenzierbar, so ist jede Ableitung einer Ordnung kleiner als nn dort differenzierbar und, nach dem Satz aus der Lektion über die Ableitung als Grenzwert, wonach Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert, dort stetig. Die zweite Ableitung kann fehlen, obwohl die erste existiert: Die Lektion über Ableitungsregeln hat gezeigt, dass x∣x∣x \abs{x} auf ganz R\mathbb{R} differenzierbar ist, mit der Ableitung 2∣x∣2\abs{x}, und der Betrag ist an der Stelle 00 nicht differenzierbar, nach der Proposition über Stetigkeit ohne Ableitung. Daher ist x∣x∣x \abs{x} einmal differenzierbar auf R\mathbb{R} und zweimal nur auf R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, wo ihre zweite Ableitung den Wert 22 rechts von 00 und den Wert −2-2 links davon hat.

Um Voraussetzungen über den Definitionsbereich nicht zu wiederholen, betrachtet man die Funktionen der allgemeinen Aussagen als auf einem offenen Intervall II definiert, dessen Punkte sämtlich Häufungspunkte von II sind. Dabei geht nichts verloren: Nach der zweiten Aussage des Lemmas über den lokalen Charakter der Ableitung aus der Lektion über die Ableitungsregeln ist an einer Stelle eines im Definitionsbereich enthaltenen offenen Intervalls die Ableitung einer Funktion die ihrer Einschränkung auf das Intervall, und durch Induktion gilt dasselbe für die höheren Ableitungen. So untersucht man 1x\frac{1}{x} auf (−∞,0)\ioo{-\infty}{0} und auf (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

LemmaLinearität der höheren Ableitungen

Seien ff und gg Funktionen, definiert auf einem offenen Intervall II und nn-mal differenzierbar auf II, und sei α\alpha eine reelle Zahl. Dann ist h=αf+gh = \alpha f + g nn-mal differenzierbar auf II, und es gilt h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} auf II. Man wendet nn-mal den Satz über die Ableitung einer Linearkombination aus der Lektion über die Ableitungsregeln an.

Beweis

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    Für n=1n = 1 ist es der Satz über die Ableitung einer Linearkombination, an jeder Stelle von II.

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    Gilt die Gleichheit für nn und sind ff und gg n+1n + 1-mal differenzierbar auf II, so ist die Funktion h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} Linearkombination zweier auf II differenzierbarer Funktionen; nach demselben Satz ist sie auf II differenzierbar. Nach dem Induktionsprinzip gilt die Gleichheit für jedes nn.