Änderungsraten und gekoppelte Änderungsraten

Zusammenfassung

Diese Lektion liest die Ableitung als das, was sie in den Anwendungen misst: wie schnell sich eine Größe ändert, wenn sich eine andere ändert. Sie unterscheidet die mittlere, die momentane und die relative Änderungsrate, mit ihren Maßeinheiten, und charakterisiert das Wachstum mit konstanter relativer Rate. Sie untersucht die geradlinige Bewegung mit Ort, Geschwindigkeit, Geschwindigkeitsbetrag und Beschleunigung und beweist, was das Vorzeichen der Ableitung in einem Zeitpunkt aussagt und was nicht. Schließlich verknüpft die Kettenregel, wenn mehrere zeitabhängige Größen durch eine Beziehung verbunden sind, auch ihre Änderungsraten: Das sind die gekoppelten Änderungsraten, die man mit einem expliziten Verfahren bestimmt.

Lernziele

Die Ableitung als momentane Änderungsrate mit ihren Maßeinheiten deuten und sie von der mittleren und der relativen Änderungsrate unterscheiden.
Eine geradlinige Bewegung mit Ort, Geschwindigkeit, Geschwindigkeitsbetrag und Beschleunigung beschreiben und beweisen, was das Vorzeichen der Ableitung in einem Zeitpunkt über die benachbarten Werte aussagt.
Aufgaben zu gekoppelten Änderungsraten mit einem expliziten Verfahren lösen und dabei begründen, dass die abgeleiteten Größen differenzierbar sind.
Die relativen Änderungsraten von Produkten und Potenzen mit der logarithmischen Ableitung in Beziehung setzen und die Beschleunigungen mit der zweiten Ableitung einer Beziehung.

Die Ableitung als Änderungsrate

Die Lektion über die Ableitung als Grenzwert gelangte von zwei Fragen aus zu derselben Definition: der Steigung der Tangente und der Momentangeschwindigkeit. Beide sind Fälle einer allgemeineren Frage. Immer wenn eine Größe von einer anderen abhängt, der Flächeninhalt eines Kreises von seinem Radius, der Ort eines bewegten Punktes von der Zeit oder die Masse eines Stabstücks von seiner Länge, lohnt es sich zu wissen, wie schnell sich die erste ändert, wenn sich die zweite ändert.

DefinitionÄnderungsrate

Sei $f$ eine Funktion, die auf einem offenen Intervall $I$ definiert ist und eine Größe $y = f(x)$ als Funktion einer anderen Größe $x$ ausdrückt, und seien $a$ und $a + h$ Punkte von $I$ mit $h \neq 0$ . Die mittlere Änderungsrate von $y$ bezüglich $x$ zwischen $a$ und $a + h$ ist der Quotient

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Ist $f$ an der Stelle $a$ differenzierbar, so ist die momentane Änderungsrate (oder einfach Änderungsrate) von $y$ bezüglich $x$ an der Stelle $a$ gleich $f'(a)$ ; gilt außerdem $f(a) \neq 0$ , so ist die relative Änderungsrate an der Stelle $a$ der Quotient $\frac{f'(a)}{f(a)}$ .

Die mittlere Rate ist die Steigung einer Sekante, und die momentane ist ihr Grenzwert: die Steigung der Tangente. Beide misst man in Einheiten von $y$ pro Einheit von $x$ : Meter pro Sekunde, wenn $y$ eine Länge und $x$ eine Zeit ist; Kilogramm pro Meter, wenn $y$ die Masse eines Stabstücks und $x$ seine Länge ist. Ist im letzten Fall $M(x)$ die Masse des Stücks zwischen einem Ende und dem Punkt im Abstand $x$ , so ist die Änderungsrate $M'(x)$ die Längendichte des Stabes in diesem Punkt: die Masse pro Längeneinheit, die ein sehr kurzes Stück um ihn herum hätte. Die relative Rate dagegen misst man nur in reziproken Einheiten von $x$ (pro Sekunde, pro Tag): Sie hängt nicht von der Einheit ab, in der man $y$ misst, und erlaubt deshalb, die Änderung von Größen verschiedener Art oder verschiedener Größenordnung zu vergleichen. Sie ist die logarithmische Ableitung aus der Lektion über die Variable im Exponenten und wird oft als Prozentsatz angegeben: Eine relative Rate von $0{,}03$ pro Tag entspricht 3 Prozent pro Tag.

Ein geometrisches Beispiel zeigt, wie man eine Änderungsrate liest. Der Flächeninhalt des Kreises mit Radius $r$ ist $A = \pi r^2$ , und seine Änderungsrate bezüglich des Radius ist $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r$ , der Umfang, wie es die Übungsaufgabe 1 der Lektion über die Ableitung als Grenzwert nachzuprüfen verlangt. Der Grund ist klar: Wächst der Radius um $h$ , so wächst der Flächeninhalt um einen Kreisring der Breite $h$ , dessen Flächeninhalt fast der des Umfangs mal $h$ ist.

PropositionWachstum mit konstanter relativer Rate

Seien $y_0 > 0$ und $k \neq 0$ reelle Zahlen, und sei $y(t) = y_0 e^{kt}$ für jedes reelle $t$ . Dann ist die relative Änderungsrate von $y$ in jedem Zeitpunkt gleich $k$ , und für jedes $t$ und jedes $T$ gilt:

y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

Insbesondere gilt: Falls $k > 0$ , verdoppelt sich die Größe in jedem Zeitintervall der Dauer $\frac{\ln 2}{k}$ , gleichgültig, in welchem Zeitpunkt es beginnt; und falls $k < 0$ , halbiert sie sich in jedem Intervall der Dauer $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .

Beweis

$y'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}$
Nach dem Korollar über Verkettungen mit Exponentialfunktion und Logarithmus aus der Lektion über die Variable im Exponenten, mit $u(t) = kt$ , ist die Funktion $y$ auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbar, und ihre Ableitung ist das $k$ -Fache der Funktion selbst, die nirgends verschwindet.
$\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}$
Nach dem Potenzgesetz hängt der Quotient zweier Werte, die ein Intervall der Dauer $T$ trennt, nicht von $t$ ab.
$e^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}$
Da die Exponentialfunktion injektiv ist, ist der Quotient gleich $2$ genau dann, wenn $kT = \ln 2$ , und gleich $\frac{1}{2}$ genau dann, wenn $kT = -\ln 2$ .

Eine Bakterienpopulation in einem Medium ohne Beschränkungen oder eine Masse radioaktiven Materials ändert sich in guter Näherung mit konstanter relativer Rate, und die Proposition erklärt, warum sie eine feste Verdopplungszeit oder Halbwertszeit haben. Dass die Funktionen $y_0 e^{kt}$ die einzigen mit konstanter relativer Rate $k$ sind, ist wahr, aber der Beweis erfordert das Wissen, dass eine Funktion mit verschwindender Ableitung auf einem Intervall konstant ist, eine Folgerung aus dem Mittelwertsatz der nächsten Einheit.