Taux de variation et taux liés

Résumé

Cette leçon lit la dérivée comme ce qu’elle mesure dans les applications : la rapidité avec laquelle une grandeur varie quand une autre varie. Elle distingue le taux de variation moyen, l’instantané et le relatif, avec leurs unités, et caractérise la croissance à taux relatif constant. Elle étudie le mouvement rectiligne, avec la position, la vitesse, la norme de la vitesse et l’accélération, et démontre ce que dit le signe de la dérivée en un instant, et ce qu’il ne dit pas. Enfin, quand plusieurs grandeurs qui dépendent du temps sont liées par une relation, la règle de dérivation en chaîne lie aussi leurs taux de variation : ce sont les taux liés, que l’on traite par une méthode explicite.

Objectifs d’apprentissage

Interpréter la dérivée comme taux de variation instantané, avec ses unités, et la distinguer du taux de variation moyen et du relatif.
Décrire un mouvement rectiligne avec la position, la vitesse, la norme de la vitesse et l’accélération, et démontrer ce que dit le signe de la dérivée en un instant sur les valeurs voisines.
Résoudre des problèmes de taux liés par une méthode explicite, en justifiant que les grandeurs que l’on dérive sont dérivables.
Relier les taux relatifs de variation des produits et des puissances à la dérivée logarithmique, et les accélérations à la dérivée seconde d’une relation.

La dérivée comme taux de variation

La leçon sur la dérivée comme limite est arrivée à la même définition à partir de deux questions : la pente de la tangente et la vitesse instantanée. Toutes deux sont des cas d’une question plus générale. Chaque fois qu’une grandeur dépend d’une autre, l’aire d’un disque de son rayon, la position d’un mobile du temps ou la masse d’un morceau de tige de sa longueur, il est utile de savoir à quelle vitesse la première varie quand la seconde varie.

DéfinitionTaux de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ , qui exprime une grandeur $y = f(x)$ en fonction d’une autre grandeur $x$ , et soient $a$ et $a + h$ des points de $I$ , avec $h \neq 0$ . Le taux de variation moyen de $y$ par rapport à $x$ entre $a$ et $a + h$ est le quotient

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Si $f$ est dérivable en $a$ , le taux de variation instantané (ou simplement taux de variation) de $y$ par rapport à $x$ en $a$ est $f'(a)$ ; si de plus $f(a) \neq 0$ , le taux de variation relatif en $a$ est le quotient $\frac{f'(a)}{f(a)}$ .

Le taux moyen est la pente d’une sécante, et l’instantané, sa limite : la pente de la tangente. Tous deux se mesurent en unités de $y$ par unité de $x$ : mètres par seconde, si $y$ est une longueur et $x$ un temps ; kilogrammes par mètre, si $y$ est la masse d’un morceau de tige et $x$ sa longueur. Dans ce dernier cas, si $M(x)$ est la masse du morceau compris entre une extrémité et le point situé à la distance $x$ , le taux de variation $M'(x)$ est la masse linéique de la tige en ce point : la masse par unité de longueur qu’aurait un morceau très court autour de lui. Le taux relatif, en revanche, se mesure seulement par unité de $x$ (par seconde, par jour) : il ne dépend pas de l’unité dans laquelle on mesure $y$ , et c’est pourquoi il permet de comparer la variation de grandeurs de nature différente ou de taille différente. C’est la dérivée logarithmique de la leçon sur la variable en exposant, et on l’exprime souvent en pourcentage : un taux relatif de $0{,}03$ par jour est de 3 pour cent par jour.

Un exemple géométrique montre comment se lit un taux de variation. L’aire du disque de rayon $r$ est $A = \pi r^2$ , et son taux de variation par rapport au rayon est $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r$ , le périmètre, comme le demande le problème proposé 1 de la leçon sur la dérivée comme limite. La raison en est claire : quand le rayon augmente de $h$ , l’aire augmente d’une couronne de largeur $h$ , dont l’aire est presque celle du périmètre fois $h$ .

PropositionCroissance à taux relatif constant

Soient $y_0 > 0$ et $k \neq 0$ des nombres réels, et soit $y(t) = y_0 e^{kt}$ pour tout réel $t$ . Alors le taux de variation relatif de $y$ vaut $k$ à tout instant, et pour tout $t$ et tout $T$ :

y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

En particulier, si $k > 0$ , la grandeur double sur chaque intervalle de temps de durée $\frac{\ln 2}{k}$ , quel que soit l’instant où il commence ; et si $k < 0$ , elle diminue de moitié sur chaque intervalle de durée $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .

Démonstration

$y'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}$
Par le corollaire des composées avec les exponentielles et les logarithmes, de la leçon sur la variable en exposant, avec $u(t) = kt$ , la fonction $y$ est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $k$ fois la fonction elle-même, qui ne s’annule pas.
$\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}$
Par la règle de calcul sur les puissances, le quotient entre les valeurs séparées par un intervalle de durée $T$ ne dépend pas de $t$ .
$e^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}$
Comme l’exponentielle est injective, le quotient vaut $2$ si et seulement si $kT = \ln 2$ , et vaut $\frac{1}{2}$ si et seulement si $kT = -\ln 2$ .

Une population de bactéries dans un milieu sans contraintes ou une masse de matériau radioactif varient, avec une bonne approximation, à taux relatif constant, et la proposition explique pourquoi elles ont un temps de doublement ou une demi-vie fixes. Que les fonctions $y_0 e^{kt}$ soient les seules à taux relatif constant $k$ est vrai, mais sa démonstration exige de savoir qu’une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, conséquence du théorème des accroissements finis de l’unité d’après.