La variable en exposant et la dérivation logarithmique

Résumé

Cette leçon dérive les fonctions dont la variable est en exposant. Toutes se ramènent à la fonction exponentielle : $a^x = e^{x \ln a}$ , $x^r = e^{r \ln x}$ et $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ , de sorte qu’il suffit de la dérivée de $e^x$ , de celle du logarithme et de la règle de dérivation en chaîne. On obtient ainsi les dérivées des exponentielles et des logarithmes de base quelconque, des puissances à exposant réel et des puissances dont la base et l’exposant varient tous deux, comme $x^x$ ou $x^{\sin x}$ . La dérivée de $\ln \abs{f(x)}$ , qui est $\frac{f'(x)}{f(x)}$ , transforme les produits, les quotients et les puissances en sommes : c’est la dérivation logarithmique, que la leçon justifie sans supposer ce qu’elle veut démontrer. À la fin, la tangente au logarithme qui passe par l’origine décide lequel est le plus grand, $\pi^e$ ou $e^\pi$ , et explique pourquoi le résultat dépend du nombre $e$ .

Objectifs d’apprentissage

Dériver l’exponentielle et le logarithme de base quelconque, ainsi que leurs composées, à partir de l’égalité $a^x = e^{x \ln a}$ .
Dériver les puissances à exposant réel et les puissances à base et exposant variables, en les écrivant comme des exponentielles de base $e$ , sur l’ensemble où la base est strictement positive.
Appliquer la dérivation logarithmique à des produits, des quotients et des puissances, en vérifiant d’abord que la fonction est dérivable et qu’elle ne s’annule pas au point considéré.
Comparer des puissances comme $\pi^e$ et $e^\pi$ à l’aide de la tangente au logarithme et de l’inégalité fondamentale de l’exponentielle.

L’exponentielle et le logarithme de base quelconque

La leçon sur les dérivées des fonctions élémentaires a démontré que $e^x$ est sa propre dérivée et que la dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$ , et a annoncé que la dérivée de $a^x$ est $a^x \ln a$ . Il n’est pas nécessaire de refaire le calcul avec le taux d’accroissement : toute base strictement positive est une puissance de $e$ . Par la définition du logarithme népérien, de la leçon sur la fonction logarithme, $e^{\ln y} = y$ pour tout $y > 0$ ; et par la règle du logarithme d’une puissance, de la même leçon, $\ln\left(a^x\right) = x \ln a$ . Avec la règle de dérivation en chaîne, le reste est immédiat.

ThéorèmeDérivées de l’exponentielle et du logarithme de base a

Soit $a > 0$ , avec $a \neq 1$ . L’exponentielle $a^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , le logarithme $\log_a x$ est dérivable sur $\ioo{0}{\infty}$ , et la fonction $\log_a \abs{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

On écrit l’exponentielle de base $a$ à l’aide de la fonction exponentielle et on applique la règle de dérivation en chaîne ; le logarithme de base $a$ est un multiple constant du logarithme népérien. La figure montre $2^x$ , $e^x$ et $4^x$ avec leurs tangentes au point $(0, 1)$ , de pentes $\ln 2$ , $1$ et $\ln 4$ , et à la fin la tangente à $\log_2 x$ en $(1, 0)$ , reflet de celle de $2^x$ .

Démonstration

$a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}$
Soit $x$ un nombre réel. Le nombre $a^x$ est strictement positif ; par la définition du logarithme népérien et la règle du logarithme d’une puissance, de la leçon sur la fonction logarithme :
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}$
La fonction intérieure $x \ln a$ est linéaire, de dérivée $\ln a$ , et la fonction extérieure $e^t$ est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ , par le théorème de la dérivée de la fonction exponentielle. Par la règle de dérivation en chaîne, de la leçon sur la règle de dérivation en chaîne :
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}$
Par le théorème du changement de base, de la leçon sur la fonction logarithme, $\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ pour tout $y > 0$ , avec $\ln a \neq 0$ car $a \neq 1$ . Par le théorème de la dérivée du logarithme népérien, qui vaut pour $\ln x$ et pour $\ln \abs{x}$ , et celui de la dérivée d’une combinaison linéaire, de la leçon sur les règles de dérivation :

La dérivée de $a^x$ est proportionnelle à la fonction, avec la constante $\ln a$ , qui est strictement positive si $a > 1$ et strictement négative si $0 < a < 1$ ; par l’injectivité du logarithme, elle vaut $1$ seulement si $a = e$ . Avec $a = 1$ , la fonction $1^x$ est constante et la formule reste valable, car $\ln 1 = 0$ . En $x = 0$ , la définition de la dérivée donne la limite $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$ , qui est le corollaire des limites remarquables du logarithme et des puissances, de la leçon sur la continuité des fonctions élémentaires : la dérivée de $a^x$ en $0$ était déjà connue, et la règle $a^{x + h} = a^x a^h$ la transporte en tout point.

CorollaireComposées avec les exponentielles et les logarithmes

Soit $u$ une fonction définie sur $A$ , dérivable en un point $a$ de $A$ qui est un point d’accumulation de $A$ , et soit $b > 0$ , avec $b \neq 1$ . Alors $e^{u(x)}$ et $b^{u(x)}$ sont dérivables en $a$ . Si $u(a) \neq 0$ , les fonctions $\ln \abs{u(x)}$ et $\log_b \abs{u(x)}$ sont dérivables en $a$ , sur leur ensemble de définition ; et si $u(a) > 0$ , il en va de même de $\ln u(x)$ , avec la même dérivée que $\ln \abs{u(x)}$ . Les dérivées en $x = a$ sont :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

Les deux premières sont la règle de dérivation en chaîne ; les deux dernières, sa version sur l’ensemble de définition de la composée, car le logarithme n’est pas défini en $0$ .

Démonstration

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}$
Les fonctions extérieures $e^t$ et $b^t$ sont dérivables sur tout $\mathbb{R}$ , qui contient les valeurs de $u$ ; la règle de dérivation en chaîne donne les deux premières dérivées, en $x = a$ .
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
La fonction $\ln \abs{t}$ est définie sur $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , qui contient l’intervalle de centre $u(a)$ et de rayon $r = \abs{u(a)}$ , et elle est dérivable en $u(a)$ , de dérivée $\frac{1}{u(a)}$ . Par le corollaire de la règle de dérivation en chaîne sur l’ensemble de définition de la composée, $a$ est un point d’accumulation de l’ensemble de définition de $\ln \abs{u(x)}$ , et la dérivée en $x = a$ est :
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}$
Si $u(a) > 0$ , le même corollaire, avec $B = \ioo{0}{\infty}$ et $r = u(a)$ , donne la dérivée de $\ln u(x)$ , qui est la même. Pour la base $b$ , on divise par la constante $\ln b$ , par le changement de base.

Ainsi, la dérivée de $2^{\sin x}$ est $2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x$ , et celle de $\ln\left(x^2 + 1\right)$ est $\frac{2x}{x^2 + 1}$ sur tout $\mathbb{R}$ . La leçon sur la règle de dérivation en chaîne a dérivé $\ln(\cos x)$ sur son ensemble de définition, où $\cos x > 0$ , et a obtenu $-\tan x$ ; la valeur absolue étend le résultat : $\ln \abs{\cos x}$ est définie là où $\cos x \neq 0$ , et sa dérivée est $-\tan x$ sur tout cet ensemble, qui est l’ensemble de définition de la fonction tangente.

Dans la suite de cette leçon

Puissances à exposant réel
Puissances à base et exposant variables
La dérivation logarithmique
Lequel est le plus grand, pi à la puissance e ou e à la puissance pi ?
Problèmes résolus
La dérivée de x à la puissance x
Dérivation logarithmique là où la fonction est strictement négative
Une dérivée strictement positive près du nombre e
Les deux règles incomplètes
Une exponentielle tangente à la droite y égale x
Problèmes proposés
Le logarithme de base x
Deux tours d’exposants
Un produit en l’un de ses zéros
Puissances rationnelles de bases strictement négatives
Comparer a à la puissance b et b à la puissance a