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Topos Uranos
日本語

指数にある変数と対数微分法

要約

この課では、変数が指数にある関数を微分する。それらはすべて自然指数関数に帰着する。すなわち ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}、xr=erln⁡xx^r = e^{r \ln x}、(f(x))g(x)=eg(x)ln⁡f(x)\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)} であり、したがって exe^x の導関数、対数の導関数、合成関数の微分法があれば足りる。こうして、任意の底をもつ指数関数と対数の導関数、実数を指数とする累乗の導関数、そして底と指数がともに変化する累乗、たとえば xxx^x や xsin⁡xx^{\sin x} の導関数が得られる。ln⁡∣f(x)∣\ln \abs{f(x)} の導関数は f′(x)f(x)\frac{f'(x)}{f(x)} であり、これは積、商、累乗を和に変える。これが対数微分法であり、この課では、示したいことを仮定せずにそれを正当化する。最後に、原点を通る対数の接線によって πe\pi^e と eπe^\pi のどちらが大きいかが決まり、結果が数 ee に依存する理由も説明される。

学習目標

  1. 等式 ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a} から出発して、任意の底をもつ指数関数と対数、およびそれらの合成関数を微分する。
  2. 実数を指数とする累乗と、底と指数がともに変化する累乗を、底が ee の指数関数として書き表して微分する。定義域は底が正となる範囲とする。
  3. 積、商、累乗に対数微分法を適用する。その前に、関数がその点で微分可能であり、零にならないことを確かめる。
  4. πe\pi^e と eπe^\pi のような累乗を、対数の接線と指数関数の基本不等式を用いて比較する。

任意の底をもつ指数関数と対数

初等関数の導関数についての課では、exe^x がそれ自身の導関数であること、ln⁡x\ln x の導関数が 1x\frac{1}{x} であることを示し、axa^x の導関数が axln⁡aa^x \ln a であることを予告した。平均変化率による計算を繰り返す必要はない。正の底はすべて ee の累乗だからである。対数関数についての課の自然対数の定義により、eln⁡y=ye^{\ln y} = y がすべての y>0y > 0 に対して成り立つ。また同じ課の累乗の対数の性質により、ln⁡(ax)=xln⁡a\ln\left(a^x\right) = x \ln a である。合成関数の微分法を用いれば、残りはただちに得られる。

定理底が a の指数関数と対数の導関数

a>0a > 0 とし、a≠1a \neq 1 とする。指数関数 axa^x は R\mathbb{R} で微分可能であり、対数 log⁡ax\log_a x は (0,∞)\ioo{0}{\infty} で微分可能であり、関数 log⁡a∣x∣\log_a \abs{x} は R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\} で微分可能である：

ddx(ax)=axln⁡a,ddx(log⁡ax)=1xln⁡a(x>0),ddx(log⁡a∣x∣)=1xln⁡a(x≠0)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

底が aa の指数関数を自然指数関数で書き表し、合成関数の微分法を適用する。底が aa の対数は自然対数の定数倍である。図は 2x2^x、exe^x、4x4^x と、点 (0,1)(0, 1) におけるそれらの接線（傾きはそれぞれ ln⁡2\ln 2、11、ln⁡4\ln 4）を示し、最後に log⁡2x\log_2 x の (1,0)(1, 0) における接線を示す。これは 2x2^x の接線を折り返したものである。

証明

  1. ax=eln⁡(ax)=exln⁡aa^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}

    xx を実数とする。数 axa^x は正である。対数関数についての課の自然対数の定義と累乗の対数の性質により：

  2. ddx(exln⁡a)=exln⁡a⋅ln⁡a=axln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}

    内側の関数 xln⁡ax \ln a は一次関数で、導関数は ln⁡a\ln a であり、外側の関数 ete^t は自然指数関数の導関数の定理により R\mathbb{R} 全体で微分可能である。合成関数の微分法についての課の合成関数の微分法により：

  3. ddx(log⁡a∣x∣)=1ln⁡a⋅1x=1xln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}

    対数関数についての課の底の変換公式の定理により、log⁡ay=ln⁡yln⁡a\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a} がすべての y>0y > 0 に対して成り立ち、ここで ln⁡a≠0\ln a \neq 0 である（a≠1a \neq 1 だからである）。自然対数の導関数の定理（ln⁡x\ln x にも ln⁡∣x∣\ln \abs{x} にも成り立つ）と、微分法の公式についての課の一次結合の微分法の定理により：

axa^x の導関数は関数自身に比例し、比例定数は ln⁡a\ln a である。これは a>1a > 1 のとき正、0<a<10 < a < 1 のとき負であり、対数の単射性により、11 に等しくなるのは a=ea = e のときに限る。a=1a = 1 のとき、関数 1x1^x は定数であり、ln⁡1=0\ln 1 = 0 であるから公式はそのまま成り立つ。x=0x = 0 では、微分係数の定義から極限 ah−1h→ln⁡a\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a が得られる。これは初等関数の連続性についての課の、対数関数と累乗の重要な極限の系である。axa^x の 00 における微分係数はすでに知られており、法則 ax+h=axaha^{x + h} = a^x a^h によってそれがすべての点に移される。

系指数関数および対数との合成

uu を AA で定義された関数で、点 aa（AA の元で AA の集積点であるもの）で微分可能なものとし、b>0b > 0、b≠1b \neq 1 とする。このとき eu(x)e^{u(x)} と bu(x)b^{u(x)} は aa で微分可能である。u(a)≠0u(a) \neq 0 ならば、関数 ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)} と log⁡b∣u(x)∣\log_b \abs{u(x)} はその定義域において aa で微分可能である。さらに u(a)>0u(a) > 0 ならば ln⁡u(x)\ln u(x) も微分可能であり、その微分係数は ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)} のものと同じである。x=ax = a における微分係数は以下のとおりである：

ddx(eu(x))=eu(x)u′(x),ddx(bu(x))=bu(x)ln⁡b⋅u′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)
ddx(ln⁡∣u(x)∣)=u′(x)u(x),ddx(log⁡b∣u(x)∣)=u′(x)u(x)ln⁡b\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

はじめの二つは合成関数の微分法であり、あとの二つは合成の定義域におけるその形である。対数は 00 で定義されないからである。

証明

  1. ddx(eu(x))=eu(x)u′(x),ddx(bu(x))=bu(x)ln⁡b⋅u′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}

    外側の関数 ete^t と btb^t は R\mathbb{R}（uu の値をすべて含む）全体で微分可能である。合成関数の微分法により、x=ax = a におけるはじめの二つの微分係数が得られる。

  2. ddx(ln⁡∣u(x)∣)=1u(x)⋅u′(x)=u′(x)u(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}

    関数 ln⁡∣t∣\ln \abs{t} は B=R∖{0}B = \mathbb{R} \setminus \{0\}（中心 u(a)u(a)、半径 r=∣u(a)∣r = \abs{u(a)} の区間を含む）で定義され、u(a)u(a) で微分可能であり、微分係数は 1u(a)\frac{1}{u(a)} である。合成の定義域における合成関数の微分法の系により、aa は ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)} の定義域の集積点であり、x=ax = a における微分係数は：

  3. ddx(log⁡b∣u(x)∣)=1ln⁡b⋅u′(x)u(x)=u′(x)u(x)ln⁡b\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}

    u(a)>0u(a) > 0 ならば、同じ系を B=(0,∞)B = \ioo{0}{\infty}、r=u(a)r = u(a) として用いると ln⁡u(x)\ln u(x) の微分係数が得られ、それは同じものである。底 bb については、底の変換公式により定数 ln⁡b\ln b で割る。

こうして、2sin⁡x2^{\sin x} の導関数は 2sin⁡xln⁡2⋅cos⁡x2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x であり、ln⁡(x2+1)\ln\left(x^2 + 1\right) の導関数は 2xx2+1\frac{2x}{x^2 + 1} であり、これは R\mathbb{R} 全体で成り立つ。合成関数の微分法についての課では、ln⁡(cos⁡x)\ln(\cos x) をその定義域（cos⁡x>0\cos x > 0 となる範囲）で微分し、−tan⁡x-\tan x を得た。絶対値によって結果が広がる。ln⁡∣cos⁡x∣\ln \abs{\cos x} は cos⁡x≠0\cos x \neq 0 となるところで定義され、その導関数はその集合全体で −tan⁡x-\tan x であり、その集合は正接の定義域である。