Переменная в показателе и логарифмическое дифференцирование

Краткое содержание

Это занятие посвящено дифференцированию функций, у которых переменная находится в показателе. Все они сводятся к экспоненте: $a^x = e^{x \ln a}$ , $x^r = e^{r \ln x}$ и $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ , так что достаточно производной $e^x$ , производной логарифма и правила дифференцирования сложной функции. Так получаются производные показательной функции и логарифма по любому основанию, степеней с действительным показателем и степеней, у которых меняются и основание, и показатель, таких как $x^x$ или $x^{\sin x}$ . Производная $\ln \abs{f(x)}$ , равная $\frac{f'(x)}{f(x)}$ , превращает произведения, частные и степени в суммы: это логарифмическое дифференцирование, которое занятие обосновывает, не предполагая того, что требуется доказать. В конце касательная к логарифму, проходящая через начало координат, определяет, какое из чисел больше, $\pi^e$ или $e^\pi$ , и объясняет, почему результат зависит от числа $e$ .

Цели обучения

Дифференцировать показательную функцию и логарифм по любому основанию, а также их композиции, исходя из равенства $a^x = e^{x \ln a}$ .
Дифференцировать степени с действительным показателем и показательно-степенные функции, записывая их как показательные функции с основанием $e$ , в области, где основание положительно.
Применять логарифмическое дифференцирование к произведениям, частным и степеням, предварительно убедившись, что функция дифференцируема и не обращается в нуль в данной точке.
Сравнивать степени, такие как $\pi^e$ и $e^\pi$ , с помощью касательной к логарифму и основного неравенства для экспоненты.

Показательная функция и логарифм по любому основанию

На занятии о производных элементарных функций было доказано, что $e^x$ совпадает со своей производной и что производная $\ln x$ равна $\frac{1}{x}$ , и было объявлено, что производная $a^x$ равна $a^x \ln a$ . Повторять вычисление через разностное отношение не нужно: всякое положительное основание есть степень числа $e$ . По определению натурального логарифма, из занятия о логарифмической функции, $e^{\ln y} = y$ для всякого $y > 0$ ; а по свойству логарифма степени, из того же занятия, $\ln\left(a^x\right) = x \ln a$ . С правилом дифференцирования сложной функции остальное получается сразу.

ТеоремаПроизводные показательной функции и логарифма по основанию a

Пусть $a > 0$ , причём $a \neq 1$ . Показательная функция $a^x$ дифференцируема на $\mathbb{R}$ , логарифм $\log_a x$ дифференцируем на $\ioo{0}{\infty}$ , а функция $\log_a \abs{x}$ дифференцируема на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

Показательная функция с основанием $a$ записывается через экспоненту, и применяется правило дифференцирования сложной функции; логарифм по основанию $a$ есть постоянное кратное натурального логарифма. На рисунке показаны $2^x$ , $e^x$ и $4^x$ с касательными в точке $(0, 1)$ , с угловыми коэффициентами $\ln 2$ , $1$ и $\ln 4$ , а в конце касательная к $\log_2 x$ в точке $(1, 0)$ , отражение касательной к $2^x$ .

Доказательство

$a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}$
Пусть $x$ есть действительное число. Число $a^x$ положительно; по определению натурального логарифма и свойству логарифма степени, из занятия о логарифмической функции:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}$
Внутренняя функция $x \ln a$ линейна, с производной $\ln a$ , а внешняя $e^t$ дифференцируема на всём $\mathbb{R}$ по теореме о производной экспоненты. По правилу дифференцирования сложной функции, из занятия о правиле дифференцирования сложной функции:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}$
По теореме о переходе к новому основанию, из занятия о логарифмической функции, $\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ для всякого $y > 0$ , причём $\ln a \neq 0$ , поскольку $a \neq 1$ . По теореме о производной натурального логарифма, которая верна для $\ln x$ и для $\ln \abs{x}$ , и по теореме о производной линейной комбинации, из занятия о правилах дифференцирования:

Производная $a^x$ отличается от самой функции постоянным множителем $\ln a$ , который положителен при $a > 1$ и отрицателен при $0 < a < 1$ ; в силу инъективности логарифма он равен $1$ только при $a = e$ . При $a = 1$ функция $1^x$ постоянна, и формула остаётся верной, поскольку $\ln 1 = 0$ . В точке $x = 0$ определение производной даёт предел $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$ , а это следствие о замечательных пределах для логарифма и степеней из занятия о непрерывности элементарных функций: производная $a^x$ в точке $0$ уже была известна, а свойство $a^{x + h} = a^x a^h$ переносит её на все точки.

СледствиеКомпозиции с показательной функцией и логарифмом

Пусть $u$ есть функция, определённая на $A$ и дифференцируемая в точке $a$ множества $A$ , являющейся предельной точкой множества $A$ , и пусть $b > 0$ , причём $b \neq 1$ . Тогда $e^{u(x)}$ и $b^{u(x)}$ дифференцируемы в $a$ . Если $u(a) \neq 0$ , то функции $\ln \abs{u(x)}$ и $\log_b \abs{u(x)}$ дифференцируемы в $a$ , на своей области определения; а если $u(a) > 0$ , то дифференцируема и $\ln u(x)$ , с той же производной, что и $\ln \abs{u(x)}$ . Производные в точке $x = a$ таковы:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

Первые две формулы выражают правило дифференцирования сложной функции; две последние, его вариант на области определения композиции, поскольку логарифм не определён в $0$ .

Доказательство

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}$
Внешние функции $e^t$ и $b^t$ дифференцируемы на всём $\mathbb{R}$ , которое содержит значения функции $u$ ; правило дифференцирования сложной функции даёт первые две производные в точке $x = a$ .
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
Функция $\ln \abs{t}$ определена на $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , которое содержит интервал с центром $u(a)$ и радиусом $r = \abs{u(a)}$ , и дифференцируема в $u(a)$ , с производной $\frac{1}{u(a)}$ . По следствию о правиле дифференцирования сложной функции на области определения композиции точка $a$ является предельной точкой области определения функции $\ln \abs{u(x)}$ , и производная в точке $x = a$ равна:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}$
Если $u(a) > 0$ , то то же следствие, с $B = \ioo{0}{\infty}$ и $r = u(a)$ , даёт производную $\ln u(x)$ , которая та же самая. Для основания $b$ делим на постоянную $\ln b$ , по формуле перехода к новому основанию.

Так, производная $2^{\sin x}$ равна $2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x$ , а производная $\ln\left(x^2 + 1\right)$ равна $\frac{2x}{x^2 + 1}$ на всём $\mathbb{R}$ . На занятии о правиле дифференцирования сложной функции была найдена производная $\ln(\cos x)$ на её области определения, где $\cos x > 0$ , и получено $-\tan x$ ; модуль расширяет результат: функция $\ln \abs{\cos x}$ определена там, где $\cos x \neq 0$ , и её производная равна $-\tan x$ на всём этом множестве, которое является областью определения тангенса.

Далее в этом уроке

Степени с действительным показателем
Показательно-степенные функции
Логарифмическое дифференцирование
Что больше: пи в степени e или e в степени пи?
Решённые задачи
Производная x в степени x
Логарифмическое дифференцирование там, где функция отрицательна
Положительная производная вблизи числа e
Два неполных правила
Показательная функция, касающаяся прямой y равно x
Задачи для самостоятельного решения
Логарифм по основанию x
Две башни показателей
Произведение в одном из своих нулей
Рациональные степени отрицательных оснований
Сравнение a в степени b и b в степени a

Продолжите чтение с бесплатным аккаунтом

Создайте бесплатный аккаунт, чтобы прочитать этот урок полностью и первые уроки каждого курса, а также сохранять свой прогресс.

Создать аккаунт Войти

Получите доступ ко всему курсу

Продолжение этого урока доступно по подписке. Подписка открывает доступ ко всем урокам каждого курса, с задачами и доказательствами.