A variável no expoente e a derivação logarítmica

Resumo

Esta aula deriva as funções que têm a variável no expoente. Todas se reduzem à exponencial natural: $a^x = e^{x \ln a}$ , $x^r = e^{r \ln x}$ e $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ , de modo que bastam a derivada de $e^x$ , a do logaritmo e a regra da cadeia. Obtêm-se assim as derivadas da exponencial e do logaritmo de qualquer base, das potências de expoente real e das potências cuja base e cujo expoente variam, como $x^x$ ou $x^{\sin x}$ . A derivada de $\ln \abs{f(x)}$ , que é $\frac{f'(x)}{f(x)}$ , converte os produtos, os quocientes e as potências em somas: é a derivação logarítmica, que a aula justifica sem supor o que quer demonstrar. No final, a tangente ao logaritmo que passa pela origem decide qual é maior, $\pi^e$ ou $e^\pi$ , e explica por que o resultado depende do número $e$ .

Objetivos de aprendizagem

Derivar a exponencial e o logaritmo de qualquer base, e suas composições, a partir da igualdade $a^x = e^{x \ln a}$ .
Derivar as potências de expoente real e as potências de base e expoente variáveis, escrevendo-as como exponenciais de base $e$ , no domínio em que a base é positiva.
Aplicar a derivação logarítmica a produtos, quocientes e potências, verificando antes que a função é derivável e que não se anula no ponto.
Comparar potências como $\pi^e$ e $e^\pi$ com a tangente ao logaritmo e a desigualdade fundamental da exponencial.

A exponencial e o logaritmo de qualquer base

A aula sobre as derivadas das funções elementares demonstrou que $e^x$ é a sua própria derivada e que a derivada de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$ , e anunciou que a derivada de $a^x$ é $a^x \ln a$ . Não é preciso repetir o cálculo com a razão incremental: toda base positiva é uma potência de $e$ . Pela definição do logaritmo natural, da aula sobre a função logarítmica, $e^{\ln y} = y$ para todo $y > 0$ ; e pela propriedade do logaritmo de uma potência, da mesma aula, $\ln\left(a^x\right) = x \ln a$ . Com a regra da cadeia, o resto é imediato.

TeoremaDerivadas da exponencial e do logaritmo na base a

Seja $a > 0$ , com $a \neq 1$ . A exponencial $a^x$ é derivável em $\mathbb{R}$ , o logaritmo $\log_a x$ é derivável em $\ioo{0}{\infty}$ , e a função $\log_a \abs{x}$ é derivável em $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

Escreve-se a exponencial de base $a$ com a exponencial natural e aplica-se a regra da cadeia; o logaritmo na base $a$ é um múltiplo constante do logaritmo natural. A figura mostra $2^x$ , $e^x$ e $4^x$ com suas tangentes no ponto $(0, 1)$ , de coeficientes angulares $\ln 2$ , $1$ e $\ln 4$ , e no final a tangente a $\log_2 x$ em $(1, 0)$ , reflexo da de $2^x$ .

Demonstração

$a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}$
Seja $x$ um número real. O número $a^x$ é positivo; pela definição do logaritmo natural e pela propriedade do logaritmo de uma potência, da aula sobre a função logarítmica:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}$
A função interna $x \ln a$ é linear, de derivada $\ln a$ , e a externa $e^t$ é derivável em todo $\mathbb{R}$ , pelo teorema da derivada da exponencial natural. Pela regra da cadeia, da aula sobre a regra da cadeia:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}$
Pelo teorema da mudança de base, da aula sobre a função logarítmica, $\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ para todo $y > 0$ , com $\ln a \neq 0$ porque $a \neq 1$ . Pelo teorema da derivada do logaritmo natural, que vale para $\ln x$ e para $\ln \abs{x}$ , e pelo da derivada de uma combinação linear, da aula sobre as regras de derivação:

A derivada de $a^x$ é proporcional à função, com a constante $\ln a$ , que é positiva se $a > 1$ e negativa se $0 < a < 1$ ; pela injetividade do logaritmo, vale $1$ somente se $a = e$ . Com $a = 1$ , a função $1^x$ é constante e a fórmula continua valendo, porque $\ln 1 = 0$ . Em $x = 0$ , a definição de derivada dá o limite $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$ , que é o corolário dos limites notáveis do logaritmo e das potências, da aula sobre a continuidade das funções elementares: a derivada de $a^x$ em $0$ já era conhecida, e a propriedade $a^{x + h} = a^x a^h$ a transfere para todos os pontos.

CorolárioComposições com a exponencial e o logaritmo

Seja $u$ uma função definida em $A$ , derivável em um ponto $a$ de $A$ que é ponto de acumulação de $A$ , e seja $b > 0$ , com $b \neq 1$ . Então $e^{u(x)}$ e $b^{u(x)}$ são deriváveis em $a$ . Se $u(a) \neq 0$ , as funções $\ln \abs{u(x)}$ e $\log_b \abs{u(x)}$ são deriváveis em $a$ , em seu domínio; e se $u(a) > 0$ , também o é $\ln u(x)$ , com a mesma derivada que $\ln \abs{u(x)}$ . As derivadas em $x = a$ são:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

As duas primeiras são a regra da cadeia; as duas últimas, sua versão no domínio da composição, porque o logaritmo não está definido em $0$ .

Demonstração

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}$
As funções externas $e^t$ e $b^t$ são deriváveis em todo $\mathbb{R}$ , que contém os valores de $u$ ; a regra da cadeia dá as duas primeiras derivadas, em $x = a$ .
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
A função $\ln \abs{t}$ está definida em $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , que contém o intervalo de centro $u(a)$ e raio $r = \abs{u(a)}$ , e é derivável em $u(a)$ , com derivada $\frac{1}{u(a)}$ . Pelo corolário da regra da cadeia no domínio da composição, $a$ é ponto de acumulação do domínio de $\ln \abs{u(x)}$ , e a derivada em $x = a$ é:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}$
Se $u(a) > 0$ , o mesmo corolário, com $B = \ioo{0}{\infty}$ e $r = u(a)$ , dá a derivada de $\ln u(x)$ , que é a mesma. Para a base $b$ , divide-se pela constante $\ln b$ , pela mudança de base.

Assim, a derivada de $2^{\sin x}$ é $2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x$ , e a de $\ln\left(x^2 + 1\right)$ é $\frac{2x}{x^2 + 1}$ em todo $\mathbb{R}$ . A aula sobre a regra da cadeia derivou $\ln(\cos x)$ em seu domínio, onde $\cos x > 0$ , e obteve $-\tan x$ ; o valor absoluto estende o resultado: $\ln \abs{\cos x}$ está definida onde $\cos x \neq 0$ , e sua derivada é $-\tan x$ em todo esse conjunto, que é o domínio da tangente.

No restante desta aula

Potências de expoente real
Potências de base e expoente variáveis
A derivação logarítmica
O que é maior, pi elevado a e ou e elevado a pi?
Problemas resolvidos
A derivada de x elevado a x
Derivação logarítmica onde a função é negativa
Uma derivada positiva perto do número e
As duas regras incompletas
A exponencial tangente à reta y igual a x
Problemas propostos
O logaritmo na base x
Duas torres de potências
Um produto em um de seus zeros
Potências racionais de bases negativas
Comparar a elevado a b com b elevado a a