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Topos Uranos
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Derivadas das funções elementares

Resumo

Esta aula deriva as funções elementares que a aula precedente não alcançou: o seno e o cosseno, a partir dos limites trigonométricos da unidade 1; a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante, com as regras do quociente e do inverso; a exponencial natural e o logaritmo natural, a partir de seus limites notáveis; e as funções hiperbólicas, a partir da exponencial. Nenhuma demonstração usa a regra da cadeia nem a regra da função inversa, que vêm depois: em cada caso, uma fórmula de adição ou uma propriedade da exponencial ou do logaritmo separa a razão incremental em um fator que depende só do ponto e outro que é um limite já conhecido. Com essas derivadas e as regras, a aula calcula tangentes e ângulos entre curvas transcendentes, e cumpre o que foi anunciado na aula precedente: a função x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x}, derivável em 00, tem uma derivada sem limite em 00.

Objetivos de aprendizagem

  1. Demonstrar que a derivada do seno é o cosseno e a do cosseno é o oposto do seno, e explicar por que a variável se mede em radianos.
  2. Derivar a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante com as regras da aula precedente, e precisar o domínio de cada derivada.
  3. Demonstrar que a exponencial natural é a sua própria derivada e que a derivada de ln⁡∣x∣\ln \abs{x} é 1x\frac{1}{x}, e obter disso as derivadas das funções hiperbólicas.
  4. Combinar as derivadas elementares com as regras para encontrar tangentes e ângulos entre curvas, e reconhecer que uma derivada pode não ter limite em um ponto onde a função é derivável.

O seno e o cosseno

A aula sobre as regras de derivação derivou todas as funções que se obtêm da identidade e das constantes com as quatro operações: os polinômios e as funções racionais. O seno não é uma delas, e a sua derivada deve sair da sua razão incremental. Em 00 essa razão é sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, e o limite trigonométrico fundamental, da aula sobre o teorema do confronto, dá a derivada 11. Para um ponto aa qualquer, a fórmula do seno da soma separa sin⁡(a+h)\sin(a + h) em uma componente que depende só de aa e outra que depende só de hh; as razões que restam são dois limites do corolário dos limites trigonométricos deduzidos, da mesma aula: sin⁡hh\frac{\sin h}{h} tende a 11, e 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h} tende a 00.

TeoremaDerivadas do seno e do cosseno

O seno e o cosseno são deriváveis em todo R\mathbb{R}, e para todo real xx:

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

Usam-se a forma incremental da derivada, da aula sobre a derivada como limite, e as fórmulas de adição da aula sobre as fórmulas de adição e subtração. A figura acompanha a tangente ao gráfico do seno: o seu coeficiente angular em cada ponto é a ordenada do cosseno no mesmo ponto; no final, a tangente ao gráfico do cosseno tem por coeficiente angular o oposto do seno.

Demonstração

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    Sejam aa um número real e h≠0h \neq 0. Pela fórmula do seno da soma, o incremento do seno se separa em dois termos: um com o fator cos⁡h−1\cos h - 1 e outro com o fator sin⁡h\sin h; os fatores sin⁡a\sin a e cos⁡a\cos a não dependem de hh.

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    Divide-se por hh. Pelo corolário dos limites trigonométricos deduzidos, as duas razões tendem a 00 e a 11; pelo teorema do limite de uma combinação linear, da álgebra dos limites, a razão incremental tem limite, e a forma incremental dá a derivada do seno em aa.

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    Com a fórmula do cosseno da soma, cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h, o mesmo raciocínio dá a derivada do cosseno.

A demonstração usa que a variável se mede em radianos: o limite fundamental compara o seno com o comprimento do arco. Se o ângulo fosse medido em graus, o seno de xx graus seria sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180}, e a sua derivada levaria o fator π180\frac{\pi}{180} (problema proposto 1). Os radianos são, portanto, a unidade em que o seno tem por derivada o cosseno, sem fatores. A leitura geométrica do teorema é a da figura: o seno cresce onde o cosseno é positivo e tem tangente horizontal onde o cosseno se anula; a tangente ao seno na origem é a reta y=xy = x, e por isso, perto de 00, sin⁡x\sin x se parece com xx, como já dizia a equivalência sin⁡x∼x\sin x \sim x da aula sobre os infinitésimos equivalentes.