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Topos Uranos
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初等函数的导数

摘要

本课求出前一课尚未涉及的初等函数的导数：正弦与余弦，由第 1 单元的三角函数极限得出；正切、余切、正割与余割，用商法则与倒数法则得出；自然指数函数与自然对数，由它们的重要极限得出；双曲函数，由指数函数得出。任何证明都不用链式法则，也不用反函数求导法则，它们在后面才出现：在每种情形中，一个两角和公式或指数函数、对数的一条运算法则把差商分成一个只依赖于该点的因子和另一个已知的极限。有了这些导数和求导法则，本课计算超越曲线的切线与夹角，并兑现前一课的预告：函数 x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x} 在 00 处可导，其导数在 00 处却没有极限。

学习目标

  1. 证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是正弦的相反数，并解释为什么变量以弧度度量。
  2. 用前一课的法则求正切、余切、正割与余割的导数，并确定每个导数的定义域。
  3. 证明自然指数函数的导数是它本身，以及 ln⁡∣x∣\ln \abs{x} 的导数是 1x\frac{1}{x}，并由此得出双曲函数的导数。
  4. 把初等函数的导数与求导法则结合起来，求曲线的切线与夹角，并认识到导数在函数可导的点处可能没有极限。

正弦与余弦

关于求导法则的那一课求出了由恒等函数和常数经四则运算得到的所有函数的导数：多项式与有理函数。正弦不在其中，它的导数必须由它的差商得出。在 00 处这个差商是 sin⁡hh\frac{\sin h}{h}，而关于夹逼定理的那一课中的第一重要极限给出导数 11。对任意一点 aa，两角和的正弦公式把 sin⁡(a+h)\sin(a + h) 分成只依赖于 aa 的部分和只依赖于 hh 的部分；剩下的商是同一课中由此得到的三角函数极限这一推论里的两个极限：sin⁡hh\frac{\sin h}{h} 趋于 11，1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h} 趋于 00。

定理正弦与余弦的导数

正弦与余弦在整个 R\mathbb{R} 上可导，且对任意实数 xx：

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

这里用到关于作为极限的导数的那一课中导数的增量形式，以及关于两角和与差公式的那一课中的两角和公式。图形跟随正弦图像的切线：它在每一点的斜率等于余弦在同一点的纵坐标；最后，余弦图像的切线的斜率是正弦的相反数。

证明

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    设 aa 为实数，且 h≠0h \neq 0。由两角和的正弦公式，正弦的增量分成两项：一项含因子 cos⁡h−1\cos h - 1，另一项含因子 sin⁡h\sin h；因子 sin⁡a\sin a 与 cos⁡a\cos a 不依赖于 hh。

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    除以 hh。由三角函数极限的推论，两个商趋于 00 与 11；由极限运算法则中线性组合的极限定理，差商有极限，而导数的增量形式给出正弦在 aa 处的导数。

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    用两角和的余弦公式 cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h，同样的推理给出余弦的导数。

证明用到变量以弧度度量这一点：第一重要极限把正弦与弧长作比较。如果角以度为单位度量，那么 xx 度角的正弦就是 sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180}，其导数将带有因子 π180\frac{\pi}{180}（练习题 1）。因此，弧度正是使正弦的导数恰为余弦、不带任何因子的单位。定理的几何意义见图：在余弦为正的地方正弦递增，在余弦为零的地方正弦有水平切线；正弦在原点处的切线是直线 y=xy = x，因此在 00 附近，sin⁡x\sin x 与 xx 相近，正如等价关系 sin⁡x∼x\sin x \sim x（见关于等价无穷小的那一课）所表明的那样。