Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων

Περίληψη

Αυτό το μάθημα παραγωγίζει τις στοιχειώδεις συναρτήσεις στις οποίες δεν έφτασε το μάθημα που προηγήθηκε: το ημίτονο και το συνημίτονο, από τα τριγωνομετρικά όρια της ενότητας 1· την εφαπτομένη, τη συνεφαπτομένη, την τέμνουσα και τη συντέμνουσα, με τους κανόνες του πηλίκου και του αντιστρόφου· τη φυσική εκθετική και τον φυσικό λογάριθμο, από τα αξιοσημείωτα όριά τους· και τις υπερβολικές συναρτήσεις, από την εκθετική. Καμία απόδειξη δεν χρησιμοποιεί τον κανόνα της αλυσίδας ούτε τον κανόνα της αντίστροφης συνάρτησης, που έρχονται αργότερα: σε κάθε περίπτωση, ένας τύπος αθροίσματος ή μια ιδιότητα της εκθετικής ή του λογαρίθμου χωρίζει τον λόγο μεταβολής σε έναν παράγοντα που εξαρτάται μόνο από το σημείο και σε έναν άλλο που είναι ένα ήδη γνωστό όριο. Με αυτές τις παραγώγους και τους κανόνες, το μάθημα υπολογίζει εφαπτόμενες ευθείες και γωνίες μεταξύ υπερβατικών καμπυλών, και εκπληρώνει ό,τι προαναγγέλθηκε στο μάθημα που προηγήθηκε: η συνάρτηση x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x}, παραγωγίσιμη στο 00, έχει παράγωγο χωρίς όριο στο 00.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδειχθεί ότι η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο και η παράγωγος του συνημιτόνου είναι το αντίθετο του ημιτόνου, και να εξηγηθεί γιατί η μεταβλητή μετριέται σε ακτίνια.
  2. Να παραγωγιστούν η εφαπτομένη, η συνεφαπτομένη, η τέμνουσα και η συντέμνουσα με τους κανόνες του μαθήματος που προηγήθηκε, και να προσδιοριστεί το πεδίο ορισμού κάθε παραγώγου.
  3. Να αποδειχθεί ότι η φυσική εκθετική είναι η ίδια η παράγωγός της και ότι η παράγωγος της ln⁡∣x∣\ln \abs{x} είναι 1x\frac{1}{x}, και να προκύψουν από αυτό οι παράγωγοι των υπερβολικών συναρτήσεων.
  4. Να συνδυάζονται οι στοιχειώδεις παράγωγοι με τους κανόνες για την εύρεση εφαπτόμενων ευθειών και γωνιών μεταξύ καμπυλών, και να αναγνωρίζεται ότι μια παράγωγος μπορεί να μην έχει όριο σε ένα σημείο όπου η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.

Το ημίτονο και το συνημίτονο

Το μάθημα για τους κανόνες παραγώγισης παραγώγισε όλες τις συναρτήσεις που προκύπτουν από την ταυτοτική συνάρτηση και τις σταθερές με τις τέσσερις πράξεις: τα πολυώνυμα και τις ρητές συναρτήσεις. Το ημίτονο δεν είναι μία από αυτές, και η παράγωγός του πρέπει να προκύψει από τον λόγο μεταβολής του. Στο 00 ο λόγος αυτός είναι sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, και το θεμελιώδες τριγωνομετρικό όριο, από το μάθημα για το θεώρημα της παρεμβολής, δίνει την παράγωγο 11. Για ένα οποιοδήποτε σημείο aa, ο τύπος του ημιτόνου αθροίσματος χωρίζει το sin⁡(a+h)\sin(a + h) σε έναν όρο που εξαρτάται μόνο από το aa και σε έναν άλλο που εξαρτάται μόνο από το hh· οι λόγοι που απομένουν είναι δύο όρια του πορίσματος των τριγωνομετρικών ορίων που προκύπτουν, από το ίδιο μάθημα: το sin⁡hh\frac{\sin h}{h} τείνει στο 11, και το 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h} τείνει στο 00.

ΘεώρημαΠαράγωγοι του ημιτόνου και του συνημιτόνου

Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι παραγωγίσιμα σε όλο το R\mathbb{R}, και για κάθε πραγματικό xx:

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

Χρησιμοποιούνται η παράγωγος μέσω της προσαύξησης, από το μάθημα για την παράγωγο ως όριο, και οι τύποι αθροίσματος από το μάθημα για τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς. Το σχήμα ακολουθεί την εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης του ημιτόνου: η κλίση της σε κάθε σημείο είναι η τεταγμένη του συνημιτόνου στο ίδιο σημείο· στο τέλος, η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης του συνημιτόνου έχει κλίση το αντίθετο του ημιτόνου.

Απόδειξη

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    Έστω aa ένας πραγματικός αριθμός και h≠0h \neq 0. Από τον τύπο του ημιτόνου αθροίσματος, η προσαύξηση του ημιτόνου χωρίζεται σε δύο όρους: έναν με τον παράγοντα cos⁡h−1\cos h - 1 και έναν άλλο με τον παράγοντα sin⁡h\sin h· οι παράγοντες sin⁡a\sin a και cos⁡a\cos a δεν εξαρτώνται από το hh.

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    Διαιρούμε με το hh. Από το πόρισμα των τριγωνομετρικών ορίων που προκύπτουν, οι δύο λόγοι τείνουν στο 00 και στο 11· από το θεώρημα του ορίου γραμμικού συνδυασμού, της άλγεβρας των ορίων, ο λόγος μεταβολής έχει όριο, και η παράγωγος μέσω της προσαύξησης δίνει την παράγωγο του ημιτόνου στο aa.

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    Με τον τύπο του συνημιτόνου αθροίσματος, cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h, ο ίδιος συλλογισμός δίνει την παράγωγο του συνημιτόνου.

Η απόδειξη χρησιμοποιεί ότι η μεταβλητή μετριέται σε ακτίνια: το θεμελιώδες όριο συγκρίνει το ημίτονο με το μήκος του τόξου. Αν η γωνία μετριόταν σε μοίρες, το ημίτονο των xx μοιρών θα ήταν sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180}, και η παράγωγός του θα είχε τον παράγοντα π180\frac{\pi}{180} (προτεινόμενο πρόβλημα 1). Τα ακτίνια είναι, επομένως, η μονάδα στην οποία το ημίτονο έχει παράγωγο το συνημίτονο, χωρίς παράγοντες. Η γεωμετρική ανάγνωση του θεωρήματος είναι εκείνη του σχήματος: το ημίτονο αυξάνεται όπου το συνημίτονο είναι θετικό και έχει οριζόντια εφαπτομένη ευθεία όπου το συνημίτονο μηδενίζεται· η εφαπτομένη ευθεία του ημιτόνου στην αρχή των αξόνων είναι η ευθεία y=xy = x, και γι’ αυτό, κοντά στο 00, το sin⁡x\sin x μοιάζει με το xx, όπως έλεγε ήδη η ισοδυναμία sin⁡x∼x\sin x \sim x από το μάθημα για τις ισοδύναμες απειροστές συναρτήσεις.