انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

مشتقات الدوال الأولية

ملخص

يشتق هذا الدرس الدوال الأولية التي لم يبلغها الدرس الماضي: الجيب وجيب التمام، انطلاقًا من النهايات المثلثية في الوحدة 1؛ والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام، بقاعدتي خارج القسمة والمقلوب؛ والدالة الأسية الطبيعية واللوغاريتم الطبيعي، انطلاقًا من نهايتيهما الشهيرتين؛ والدوال الزائدية، انطلاقًا من الدالة الأسية. ولا يستعمل أي برهان قاعدة السلسلة ولا قاعدة الدالة العكسية، اللتين تأتيان فيما بعد: ففي كل حالة، تفصل صيغة مجموع أو قانون من قوانين الدالة الأسية أو اللوغاريتم نسبة التزايد إلى عامل لا يتعلق إلا بالنقطة وعامل آخر هو نهاية معروفة من قبل. وبهذه المشتقات والقواعد، يحسب الدرس مماسات وزوايا بين منحنيات متسامية، ويفي بما أُعلن في الدرس الماضي: الدالة x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x}، القابلة للاشتقاق عند 00، لها مشتقة ليس لها نهاية عند 00.

أهداف التعلم

  1. برهنة أن مشتقة الجيب هي جيب التمام وأن مشتقة جيب التمام هي معاكس الجيب، وتفسير سبب قياس المتغير بالراديان.
  2. اشتقاق الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام بقواعد الدرس الماضي، وتحديد مجال تعريف كل مشتقة.
  3. برهنة أن الدالة الأسية الطبيعية هي مشتقة نفسها وأن مشتقة ln⁡∣x∣\ln \abs{x} هي 1x\frac{1}{x}، واستنتاج مشتقات الدوال الزائدية من ذلك.
  4. الجمع بين المشتقات الأولية والقواعد لإيجاد المماسات والزوايا بين المنحنيات، وإدراك أن المشتقة قد لا تكون لها نهاية عند نقطة تكون الدالة عندها قابلة للاشتقاق.

الجيب وجيب التمام

اشتق الدرس الخاص بـقواعد الاشتقاق كل الدوال التي تُبنى من الدالة المطابقة والثوابت بالعمليات الأربع: كثيرات الحدود والدوال الكسرية. وليس الجيب واحدًا منها، ويجب أن تخرج مشتقته من نسبة تزايده. عند 00 تكون هذه النسبة sin⁡hh\frac{\sin h}{h}، والنهاية الأساسية في حساب المثلثات، من الدرس الخاص بـمبرهنة الحصر، تعطي المشتقة 11. ومن أجل نقطة كيفية aa، تفصل صيغة جيب المجموع sin⁡(a+h)\sin(a + h) إلى جزء لا يتعلق إلا بـaa وجزء آخر لا يتعلق إلا بـhh؛ والنسبتان الباقيتان نهايتان من نتيجة النهايات المثلثية المستنتجة، من الدرس نفسه: sin⁡hh\frac{\sin h}{h} تؤول إلى 11، و1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h} تؤول إلى 00.

مبرهنةمشتقتا الجيب وجيب التمام

الجيب وجيب التمام قابلان للاشتقاق على كامل R\mathbb{R}، ومن أجل كل عدد حقيقي xx:

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

تُستعمل الصيغة التزايدية للمشتقة، من الدرس الخاص بـالمشتقة بوصفها نهاية، وصيغ المجموع من الدرس الخاص بـصيغ المجموع والفرق. ويتتبع الرسم المماس للتمثيل البياني للجيب: ميله عند كل نقطة هو ترتيبة جيب التمام عند النقطة نفسها؛ وفي الختام، يكون ميل المماس للتمثيل البياني لجيب التمام هو معاكس الجيب.

البرهان

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    ليكن aa عددًا حقيقيًا وh≠0h \neq 0. بصيغة جيب المجموع، ينفصل تزايد الجيب إلى جزأين: أحدهما بالعامل cos⁡h−1\cos h - 1 والآخر بالعامل sin⁡h\sin h؛ والعاملان sin⁡a\sin a وcos⁡a\cos a لا يتعلقان بـhh.

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    نقسم على hh. بحسب نتيجة النهايات المثلثية المستنتجة، تؤول النسبتان إلى 00 وإلى 11؛ وبحسب مبرهنة نهاية تركيب خطي، من جبر النهايات، تكون لنسبة التزايد نهاية، وتعطي الصيغة التزايدية مشتقة الجيب عند aa.

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    بصيغة جيب تمام المجموع، cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h، يعطي الاستدلال نفسه مشتقة جيب التمام.

يستعمل البرهان كون المتغير مقيسًا بالراديان: فالنهاية الأساسية تقارن الجيب بطول القوس. ولو قيست الزاوية بالدرجات، لكان جيب xx درجة هو sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180}، ولاحتوت مشتقته على العامل π180\frac{\pi}{180} (المسألة المقترحة 1). فالراديان إذن هو وحدة القياس التي تكون فيها مشتقة الجيب جيب التمام، دون عوامل. والقراءة الهندسية للمبرهنة هي قراءة الرسم: الجيب يتزايد حيث يكون جيب التمام موجبًا وله مماس أفقي حيث ينعدم جيب التمام؛ والمماس للجيب عند الأصل هو المستقيم y=xy = x، ولذلك، قرب 00، تقترب قيمة sin⁡x\sin x من xx، كما كان يقول التكافؤ sin⁡x∼x\sin x \sim x من الدرس الخاص بـاللامتناهيات في الصغر المتكافئة.