Ableitungen der elementaren Funktionen

Zusammenfassung

Diese Lektion leitet die elementaren Funktionen ab, die die vorige Lektion nicht erreicht hat: Sinus und Kosinus, ausgehend von den trigonometrischen Grenzwerten aus Einheit 1; Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans mit der Quotienten- und der Kehrwertregel; die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus, ausgehend von ihren Standardgrenzwerten; und die Hyperbelfunktionen, ausgehend von der Exponentialfunktion. Kein Beweis benutzt die Kettenregel oder die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion, die erst später kommen: In jedem Fall zerlegt ein Additionstheorem oder ein Gesetz der Exponentialfunktion oder des Logarithmus den Differenzenquotienten in einen Faktor, der nur von der Stelle abhängt, und einen anderen, der ein bereits bekannter Grenzwert ist. Mit diesen Ableitungen und den Regeln berechnet die Lektion Tangenten und Winkel zwischen transzendenten Kurven und löst ein, was die vorige Lektion angekündigt hat: Die Funktion $x^2 \sin \frac{1}{x}$ , an der Stelle $0$ differenzierbar, hat eine Ableitung ohne Grenzwert an der Stelle $0$ .

Lernziele

Beweisen, dass die Ableitung des Sinus der Kosinus und die des Kosinus das Negative des Sinus ist, und erklären, warum die Variable im Bogenmaß gemessen wird.
Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans mit den Regeln der vorigen Lektion ableiten und den Definitionsbereich jeder Ableitung angeben.
Beweisen, dass die natürliche Exponentialfunktion ihre eigene Ableitung ist und dass die Ableitung von $\ln \abs{x}$ gleich $\frac{1}{x}$ ist, und daraus die Ableitungen der Hyperbelfunktionen gewinnen.
Die elementaren Ableitungen mit den Regeln kombinieren, um Tangenten und Winkel zwischen Kurven zu bestimmen, und erkennen, dass eine Ableitung an einer Stelle, an der die Funktion differenzierbar ist, keinen Grenzwert zu haben braucht.

Sinus und Kosinus

Die Lektion über die Ableitungsregeln hat alle Funktionen abgeleitet, die man aus der Identität und den Konstanten mit den vier Grundrechenarten erhält: die Polynome und die rationalen Funktionen. Der Sinus gehört nicht dazu, und seine Ableitung muss aus seinem Differenzenquotienten hervorgehen. An der Stelle $0$ ist dieser Quotient $\frac{\sin h}{h}$ , und der trigonometrische Fundamentalgrenzwert aus der Lektion über den Einschnürungssatz liefert die Ableitung $1$ . Für eine beliebige Stelle $a$ zerlegt das Additionstheorem für den Sinus den Wert $\sin(a + h)$ in einen Teil, der nur von $a$ abhängt, und einen, der nur von $h$ abhängt; die verbleibenden Quotienten sind zwei Grenzwerte aus dem Korollar über die daraus folgenden trigonometrischen Grenzwerte in derselben Lektion: $\frac{\sin h}{h}$ strebt gegen $1$ , und $\frac{1 - \cos h}{h}$ strebt gegen $0$ .

SatzAbleitungen von Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus sind auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbar, und für jede reelle Zahl $x$ gilt:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

Benutzt werden die Zuwachsform der Ableitung aus der Lektion über die Ableitung als Grenzwert und die Additionstheoreme aus der Lektion über die Additionstheoreme. Die Abbildung verfolgt die Tangente an den Graphen des Sinus: Ihre Steigung in jedem Punkt ist die Ordinate des Kosinus an derselben Stelle; am Ende hat die Tangente an den Graphen des Kosinus als Steigung das Negative des Sinus.

Beweis

$\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}$
Es seien $a$ eine reelle Zahl und $h \neq 0$ . Nach dem Additionstheorem für den Sinus zerfällt der Zuwachs des Sinus in zwei Terme: einen mit dem Faktor $\cos h - 1$ und einen mit dem Faktor $\sin h$ ; die Faktoren $\sin a$ und $\cos a$ hängen nicht von $h$ ab.
$\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}$
Man dividiert durch $h$ . Nach dem Korollar über die aus dem Fundamentalgrenzwert folgenden trigonometrischen Grenzwerte streben die beiden Quotienten gegen $0$ und gegen $1$ ; nach dem Satz über den Grenzwert einer Linearkombination aus den Rechenregeln für Grenzwerte hat der Differenzenquotient einen Grenzwert, und die Zuwachsform liefert die Ableitung des Sinus an der Stelle $a$ .
$\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}$
Mit dem Additionstheorem für den Kosinus, $\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h$ , liefert dieselbe Überlegung die Ableitung des Kosinus.

Der Beweis benutzt, dass die Variable im Bogenmaß gemessen wird: Der Fundamentalgrenzwert vergleicht den Sinus mit der Länge des Bogens. Würde der Winkel in Grad gemessen, so wäre der Sinus von $x$ Grad gleich $\sin \frac{\pi x}{180}$ , und seine Ableitung trüge den Faktor $\frac{\pi}{180}$ (Übungsaufgabe 1). Das Bogenmaß ist also das Maß, in dem der Sinus den Kosinus als Ableitung hat, ohne Faktoren. Die geometrische Deutung des Satzes ist die der Abbildung: Der Sinus wächst, wo der Kosinus positiv ist, und hat eine waagerechte Tangente, wo der Kosinus verschwindet; die Tangente an den Sinus im Ursprung ist die Gerade $y = x$ , und deshalb verhält sich in der Nähe von $0$ der Ausdruck $\sin x$ wie $x$ , was schon die Äquivalenz $\sin x \sim x$ aus der Lektion über äquivalente unendlich kleine Größen besagte.