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Topos Uranos
Deutsch

Kettenregel für die Ableitung verketteter Funktionen

Zusammenfassung

Diese Lektion beweist die Kettenregel: Ist gg an der Stelle aa differenzierbar und ff an der Stelle g(a)g(a), so ist die Verkettung f∘gf \circ g an der Stelle aa differenzierbar, und ihre Ableitung ist das Produkt f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a). Der Beweis verwendet die Carathéodory-Charakterisierung, die durch nichts dividiert; die Lektion erklärt, warum das Argument, das durch g(x)−g(a)g(x) - g(a) dividiert, nicht genügt und in welchem Fall es doch funktioniert. Mit der Regel lassen sich Verkettungen von Potenzen, Wurzeln, rationalen und trigonometrischen Funktionen in wenigen Zeilen ableiten, die mit den bisherigen Regeln lange Rechnungen erforderten oder nicht erreichbar waren. Die Lektion achtet auch auf den Definitionsbereich der Verkettung, den die Formel der Ableitung nicht zeigt, und stellt die Regel in Leibniz-Notation dar, in der sie wie ein Kürzen von Brüchen aussieht, ohne es zu sein.

Lernziele

  1. Die Kettenregel mit der Carathéodory-Charakterisierung beweisen und erklären, warum der Beweis, der durch g(x)−g(a)g(x) - g(a) dividiert, scheitert, wenn g′(a)=0g'(a) = 0 gilt.
  2. Verkettungen von zwei oder mehr bekannten Funktionen ableiten und dabei jede Ableitung an der Stelle auswerten, die ihr entspricht.
  3. Den Definitionsbereich einer Verkettung bestimmen, bevor man sie ableitet, und erkennen, dass die Voraussetzungen der Regel hinreichend, aber nicht notwendig sind.
  4. Die Kettenregel in Leibniz-Notation schreiben und lesen.

Die Ableitung einer Verkettung

Mit den Regeln aus der Lektion über Ableitungsregeln und den Formeln aus der Lektion über die Ableitungen der elementaren Funktionen kann man (2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12} ableiten, aber nur, indem man die Potenz zu einem Polynom vom Grad 2424 ausmultipliziert oder immer wieder die Produktregel anwendet. Und noch nicht ableiten kann man sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) oder 1+x2\sqrt{1 + x^2}: Keine Regel sagt, was mit einer Funktion zu tun ist, die auf eine andere angewandt wird. Beide Ausdrücke sind Verkettungen: (2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12} ist die Potenz t12t^{12}, ausgewertet an der Stelle t=2x2+1t = 2x^2 + 1, und sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) ist der Sinus, ausgewertet an der Stelle t=cos⁡xt = \cos x.

Zwei Sonderfälle sind schon bekannt. Die gelöste Aufgabe 2 der Lektion über die elementaren Funktionen hat gezeigt, dass f(cx+b)f(cx + b) an der Stelle aa die Ableitung cf′(ca+b)c f'(ca + b) hat: Die innere Funktion ist linear mit der Steigung cc, und die Ableitung der äußeren wird an der Stelle ca+bca + b ausgewertet, nicht an der Stelle aa. Und die Übungsaufgabe 4 der Lektion über Ableitungsregeln hat durch Induktion ergeben, dass (f(x))n\left(f(x)\right)^n an der Stelle aa die Ableitung n(f(a))n−1f′(a)n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a) hat. In beiden Fällen ist die Ableitung ein Produkt: die Ableitung der äußeren Funktion, ausgewertet am Wert der inneren, mal die Ableitung der inneren. Die Idee ist die der Änderungsraten: Wenn t=g(x)t = g(x) sich g′(a)g'(a)-mal so schnell ändert wie xx und f(t)f(t) sich f′(g(a))f'(g(a))-mal so schnell ändert wie tt, dann ändert f(g(x))f(g(x)) sich f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a)-mal so schnell wie xx.

SatzKettenregel

Seien gg eine auf AA definierte Funktion, die an einer Stelle aa von AA differenzierbar ist, welche ein Häufungspunkt von AA ist, und ff eine Funktion, die auf einer Menge BB definiert ist, welche die Werte von gg enthält, und die an der Stelle b=g(a)b = g(a) differenzierbar ist. Dann ist f∘gf \circ g an der Stelle aa differenzierbar, und

(f∘g)′(a)=f′(g(a)) g′(a)(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

Die beiden Zuwächse werden mit der Carathéodory-Charakterisierung faktorisiert und dann ineinander eingesetzt: Der Zuwachs von ff wird an der Stelle t=g(x)t = g(x) ausgewertet, und der von gg ersetzt t−bt - b. Die Abbildung zeigt mit g(x)=x2g(x) = x^2, f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t und a=1a = 1 die Sekante und die Tangente von gg, die von ff an der Stelle b=1b = 1 und am Ende die von sin⁡(x2)\sin\left(x^2\right), deren Steigung an der Stelle 11 das Produkt cos⁡1⋅2\cos 1 \cdot 2 ist.

Beweis

  1. g(x)−g(a)=ψ(x)(x−a),x∈A,f(t)−f(b)=φ(t)(t−b),t∈Bg(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B

    Nach dem Satz über die Charakterisierungen der Ableitung aus der Lektion über die Ableitung als Grenzwert gibt es ψ ⁣:A→R\psi \colon A \to \mathbb{R}, stetig an der Stelle aa mit ψ(a)=g′(a)\psi(a) = g'(a), und φ ⁣:B→R\varphi \colon B \to \mathbb{R}, stetig an der Stelle bb mit φ(b)=f′(b)\varphi(b) = f'(b), sodass gilt:

  2. f(g(x))−f(g(a))=φ(g(x))(g(x)−g(a))=φ(g(x)) ψ(x)(x−a)f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)

    Sei xx ein Element von AA. Die Zahl t=g(x)t = g(x) liegt in BB, und die zweite Gleichung gilt für sie, ob sie nun gleich bb ist oder nicht; danach wird t−b=g(x)−g(a)t - b = g(x) - g(a) durch die erste Faktorisierung ersetzt.

  3. γ(a)=φ(g(a)) ψ(a)=φ(b) ψ(a)=f′(g(a)) g′(a)\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}

    Da gg an der Stelle aa differenzierbar ist, ist sie an der Stelle aa stetig, nach dem Satz „differenzierbar impliziert stetig“; und φ\varphi ist an der Stelle b=g(a)b = g(a) stetig. Nach dem Satz über die Verkettung stetiger Funktionen aus der Lektion über Grenzwert und Stetigkeit ist φ∘g\varphi \circ g an der Stelle aa stetig, und der Faktor γ=(φ∘g) ψ\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi ist es nach der Produktregel für Operationen mit stetigen Funktionen. Da aa ein Häufungspunkt von AA ist, dem Definitionsbereich von f∘gf \circ g, liefert die Carathéodory-Charakterisierung die Ableitung.

Ist gg auf ganz AA differenzierbar und ff auf ganz BB, so gilt die Regel in jedem Häufungspunkt von AA, und sie schreibt sich als Gleichung zwischen Funktionen: (f∘g)′=(f′∘g) g′(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'. Die Ableitung der äußeren Funktion wird an der Stelle g(x)g(x) ausgewertet, nicht an der Stelle xx; das ist der häufigste Fehler bei der Anwendung der Regel. Der Vorteil des Beweises liegt in seinem zweiten Teil: Die Faktorisierung von ff gilt auch an der Stelle t=bt = b, wo ihre beiden Seiten null sind, sodass es keine Rolle spielt, ob gg seinen Wert g(a)g(a) in der Nähe von aa wiederholt.