قاعدة السلسلة لاشتقاق تركيب الدوال

ملخص

يبرهن هذا الدرس قاعدة السلسلة: إذا كانت $g$ قابلة للاشتقاق عند $a$ وكانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $g(a)$ ، فإن التركيب $f \circ g$ قابل للاشتقاق عند $a$ ، ومشتقته هي الجداء $f'(g(a)) \, g'(a)$ . يستعمل البرهان توصيف كاراثيودوري، الذي لا يقسم على شيء؛ ويشرح الدرس لماذا لا تكفي الحجة التي تقسم على $g(x) - g(a)$ وفي أي حالة تنجح. وبالقاعدة تُشتق في سطور قليلة تركيبات القوى والجذور والدوال الكسرية والمثلثية، التي كانت تتطلب بالقواعد التي سبقت حسابات طويلة أو لم تكن في المتناول. ويعتني الدرس أيضًا بمجال تعريف التركيب، الذي لا تُظهره صيغة المشتقة، ويعرض القاعدة بترميز لايبنتس، حيث تبدو اختصارًا للكسور وليست كذلك.

أهداف التعلم

برهنة قاعدة السلسلة بتوصيف كاراثيودوري، وتفسير سبب فشل البرهان الذي يقسم على $g(x) - g(a)$ عندما يكون $g'(a) = 0$ .
اشتقاق تركيبات دالتين معروفتين أو أكثر، مع حساب قيمة كل مشتقة عند النقطة التي تخصها.
تحديد مجال تعريف التركيب قبل اشتقاقه، وإدراك أن فروض القاعدة كافية، لكنها ليست لازمة.
كتابة قاعدة السلسلة بترميز لايبنتس وقراءتها به.

مشتقة التركيب

بقواعد الدرس الخاص بـقواعد الاشتقاق وصيغ الدرس الخاص بـمشتقات الدوال الأولية يمكن اشتقاق $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ ، لكن فقط بنشر القوة إلى كثيرة حدود من الدرجة $24$ ، أو بتطبيق قاعدة الجداء مرة بعد مرة. ولا يمكن بعدُ اشتقاق $\sin(\cos x)$ ولا $\sqrt{1 + x^2}$ : فلا قاعدة تقول ماذا نفعل بدالة مطبقة على دالة أخرى. والعبارتان كلتاهما تركيبان: $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ هي القوة $t^{12}$ محسوبةً عند $t = 2x^2 + 1$ ، و $\sin(\cos x)$ هي الجيب محسوبًا عند $t = \cos x$ .

حالتان خاصتان معروفتان من قبل. فقد برهنت المسألة المحلولة 2 في الدرس الخاص بالدوال الأولية أن $f(cx + b)$ لها عند $a$ المشتقة $c f'(ca + b)$ : الدالة الداخلية خطية، ميلها $c$ ، ومشتقة الخارجية تُحسب قيمتها عند النقطة $ca + b$ ، لا عند $a$ . وحصلت المسألة المقترحة 4 في الدرس الخاص بقواعد الاشتقاق، بالاستقراء، على أن $\left(f(x)\right)^n$ لها عند $a$ المشتقة $n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a)$ . وفي الحالتين المشتقة جداء: مشتقة الدالة الخارجية، محسوبةً عند قيمة الداخلية، في مشتقة الداخلية. والفكرة هي فكرة معدلات التغير: إذا كان $t = g(x)$ يتغير بسرعة تبلغ $g'(a)$ ضعف سرعة $x$ ، وكانت $f(t)$ تتغير بسرعة تبلغ $f'(g(a))$ ضعف سرعة $t$ ، فإن $f(g(x))$ تتغير بسرعة تبلغ $f'(g(a)) \, g'(a)$ ضعف سرعة $x$ .

مبرهنةقاعدة السلسلة

لتكن $g$ دالة معرّفة على $A$ ، قابلة للاشتقاق عند نقطة $a$ من $A$ هي نقطة تراكم لـ $A$ ، و $f$ دالة معرّفة على مجموعة $B$ تحوي قيم $g$ ، قابلة للاشتقاق عند $b = g(a)$ . عندئذ تكون $f \circ g$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، و

(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

يُحلَّل التزايدان بتوصيف كاراثيودوري ثم يُربطان على التوالي: يُحسب تزايد $f$ عند $t = g(x)$ ، ويحلّ تزايد $g$ محلّ $t - b$ . ويُظهر الرسم، مع $g(x) = x^2$ و $f(t) = \sin t$ و $a = 1$ ، المستقيم القاطع والمماس لمنحنى $g$ ، ثم القاطع والمماس لمنحنى $f$ عند $b = 1$ ، وفي النهاية القاطع والمماس لمنحنى $\sin\left(x^2\right)$ ، وميل مماسه عند $1$ هو الجداء $\cos 1 \cdot 2$ .

البرهان

$g(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B$
بحسب مبرهنة توصيفات المشتقة، من الدرس الخاص بـالمشتقة بوصفها نهاية، توجد $\psi \colon A \to \mathbb{R}$ ، متصلة عند $a$ مع $\psi(a) = g'(a)$ ، و $\varphi \colon B \to \mathbb{R}$ ، متصلة عند $b$ مع $\varphi(b) = f'(b)$ ، بحيث:
$f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)$
ليكن $x$ من $A$ . العدد $t = g(x)$ ينتمي إلى $B$ ، والمساواة الثانية صحيحة من أجله، سواء أساوى $b$ أم لا؛ ثم يُعوَّض عن $t - b = g(x) - g(a)$ بالتحليل الأول.
$\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}$
بما أن $g$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، فهي متصلة عند $a$ ، بمبرهنة أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال؛ و $\varphi$ متصلة عند $b = g(a)$ . وبمبرهنة تركيب الدوال المتصلة، من الدرس الخاص بـالنهاية والاتصال، تكون $\varphi \circ g$ متصلة عند $a$ ، ويكون العامل $\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi$ متصلًا بقاعدة الجداء من العمليات على الدوال المتصلة. وبما أن $a$ نقطة تراكم لـ $A$ ، وهي مجال تعريف $f \circ g$ ، فإن توصيف كاراثيودوري يعطي المشتقة.

إذا كانت $g$ قابلة للاشتقاق على كامل $A$ و $f$ على كامل $B$ ، فإن القاعدة صحيحة عند كل نقطة تراكم لـ $A$ ، وتُكتب مساواةً بين دالتين: $(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'$ . مشتقة الدالة الخارجية تُحسب قيمتها عند $g(x)$ ، لا عند $x$ ؛ وهذا أكثر الأخطاء شيوعًا عند تطبيق القاعدة. وميزة البرهان في مرحلته الثانية: تحليل $f$ صحيح أيضًا عند $t = b$ ، حيث طرفاه منعدمان، فلا يهم إن كانت $g$ تكرر قيمتها $g(a)$ قرب $a$ .

في بقية هذا الدرس

مجال تعريف التركيب
لماذا لا تكفي القسمة
تركيبات دوال معروفة
قاعدة السلسلة بترميز لايبنتس
مسائل محلولة
المماسات الأفقية لتركيب ثلاثي
الاشتقاق بجدول قيم
فروض كافية، غير لازمة
دالة محدودة مشتقتها غير محدودة
دالة مركّبة مع نفسها
مسائل مقترحة
مشتقة دالة زوجية
اشتقاق متطابقة
القيمة المطلقة خارج الأصفار
وصل بقاعدة السلسلة
دالة خارجية غير قابلة للاشتقاق