المشتقة بوصفها نهاية لدالة

المماس والسرعة

في الدرس الخاص بـمعادلة القطع المكافئ، يكون المستقيم مماسًا للمنحنى في نقطة إذا لمسه فيها وحدها دون أن يقطعه. وتكفي هذه الفكرة للقطوع المخروطية، لكنها لا تكفي لأي منحنى كان. فعند الأصل، يقع المنحنى $y = x^3$ تحت المحور الأفقي من اليسار وفوقه من اليمين: فكل مستقيم يمر بالأصل يقطعه، والمستقيمات $y = mx$ حيث $m < 0$ تلمسه في الأصل وحده، لأن المساواة $x^3 = mx$ تقتضي $x = 0$ أو $x^2 = m$. فلا يحقق أي مستقيم الشرط، ومع ذلك فالمحور الأفقي هو، في ما تراه العين، المستقيم الذي يرافق المنحنى أفضل مرافقة قرب الأصل. ولذلك ينبغي تعريف آخر، لا يتوقف على الشكل الكلي للمنحنى بل على ما يحدث قرب النقطة وحده.

الفكرة قديمة: المماس هو الوضع النهائي للمستقيمات القاطعة. لنعتبر دالة $f$ ونقطة $(a, f(a))$ من تمثيلها البياني. من أجل $h \neq 0$، يكون للمستقيم القاطع المار بالنقطتين $(a, f(a))$ و$(a + h, f(a + h))$ الميل

وعندما يقترب $h$ من $0$، تقترب النقطة الثانية من الأولى، وإذا كانت للميول نهاية، فإن المستقيم المار بالنقطة $(a, f(a))$ بهذا الميل هو المرشح لأن يكون مماسًا.

وتظهر النهاية نفسها عند دراسة حركة. إذا كانت $s(t)$ موضع نقطة تتحرك على مستقيم، في اللحظة $t$، فإن النسبة $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ هي سرعتها المتوسطة بين اللحظتين $t_0$ و$t_0 + h$: الإزاحة مقسومة على الزمن المستغرق. والسرعة في اللحظة $t_0$، أي التي يشير إليها عداد السرعة، هي نهاية السرعات المتوسطة عندما يؤول $h$ إلى $0$. فمثلًا، إذا كانت $s(t) = t^2 - 4t$، فإن السرعة المتوسطة بين $1$ و$1 + h$ هي $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$، وهي تؤول إلى $-2$: في اللحظة $1$، تتحرك النقطة نحو اليسار بمعدل وحدتي طول لكل وحدة زمن. والسؤالان، سؤال المماس وسؤال السرعة، يقودان إلى النهاية نفسها، وهذه النهاية هي التي تُعرَّف في ما يأتي.

المشتقة عند نقطة

كما في الدرس الخاص بـنهاية الدالة، ينبغي أولًا تحديد المواضع التي يكون فيها للنهاية معنى. فالنسبة تحتاج إلى القيمة $f(a)$، ولذلك يجب أن تنتمي $a$ إلى المجال؛ والنهاية عندما يؤول $x$ إلى $a$ تقتضي أن تكون $a$ نقطة تراكم للمجال.

النسبة معرّفة على $A \setminus \{a\}$، و$a$ نقطة تراكم لهذه المجموعة، لأن تعريف نقطة التراكم لا ينظر إلا إلى العناصر المختلفة عن $a$. وبحسب وحدانية النهاية، فإن المشتقة، إن وُجدت، وحيدة. وفي نقطة معزولة من المجال لا تُعرَّف المشتقة، مع أن كل دالة متصلة فيها. وإذا آلت النسبة إلى $\infty$ أو إلى $-\infty$، فإن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند $a$: فالمشتقة عدد حقيقي. وكثيرًا ما يُكتب التعريف بالتزايد $h = x - a$ بدلًا من النقطة $x$، كما في المثال.

تُحسب المشتقات الأولى مباشرة. إذا كانت $f(x) = mx + b$، فإن نسبة التزايد تساوي $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ من أجل كل $h \neq 0$، ونهايتها $m$: فمشتقة الدالة التآلفية هي ميلها في كل نقطة، ومستقيمها المماس هو المستقيم نفسه. وبوجه خاص، مشتقة الثابت هي $0$ ومشتقة الدالة المطابقة $f(x) = x$ هي $1$. ومن أجل $f(x) = x^2$، يعطي حساب المثال، مع $a$ مكان $1$، العبارة $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$، والمشتقة هي $2a$.

المشتقتان من جهة واحدة

عند طرفي فترة، أو في نقطة تتغير فيها صيغة الدالة، يحسن النظر في نسبة التزايد من كل جهة على حدة.

فمثلًا، نسبة تزايد القيمة المطلقة عند $0$ هي $\frac{\abs{x}}{x}$، وهي تساوي $1$ إذا كان $x > 0$ و$-1$ إذا كان $x < 0$: فالمشتقتان من جهة واحدة هما $f'_+(0) = 1$ و$f'_-(0) = -1$، وهما مختلفتان، و$\abs{x}$ غير قابلة للاشتقاق عند $0$. وفي المقابل، إذا كانت دالة معرّفة على $\icc{0}{1}$، فإن مشتقتها عند $0$ هي مشتقتها من اليمين، وعند $1$ مشتقتها من اليسار: فالتعريف يعامل طرفي المجال من قبلُ بوصفهما جهتين وحيدتين. فمثلًا، الدالة $f(x) = x$ مقصورةً على $\icc{0}{1}$ قابلة للاشتقاق عند $0$، مع $f'(0) = 1$.

المستقيم المماس والمستقيم الناظم

بالمشتقة، يكفّ المماس عن أن يكون شكلًا هندسيًا يُتعرَّف عليه بالنظر، ويصير مستقيمًا يُحسب.

ويُستخرج ميل الناظم من مبرهنة المستقيمات المتعامدة في الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم: يكون مستقيمان غير رأسيين متعامدين إذا وفقط إذا كان جداء ميليهما $-1$. وبالعودة إلى المنحنى $y = x^3$، فإن نسبة تزايده عند $0$ هي $x^2$، وهي تؤول إلى $0$: فالمماس عند الأصل هو المحور الأفقي، مع أنه يقطع المنحنى. وعندما تكون $f$ متصلة عند $a$ وتؤول نسبة التزايد إلى $\infty$ أو إلى $-\infty$، تقترب القواطع من الوضع الرأسي؛ ويقال حينئذ إن للتمثيل البياني في $(a, f(a))$ مماسًا رأسيًا، هو المستقيم $x = a$، مع أن $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $a$.

وبالمثل، إذا كانت $s(t)$ موضع نقطة تتحرك على مستقيم، فإن سرعتها في اللحظة $t_0$ هي $s'(t_0)$، إن وُجدت. وتدل إشارتها على اتجاه الحركة، وقيمتها المطلقة على السرعة القياسية. وسيطوّر الدرس الخاص بـمعدلات التغير هذه القراءة.

الدالة المشتقة وترميز لايبنتس

كل نقطة تكون فيها $f$ قابلة للاشتقاق تقدّم عددًا، هو مشتقتها فيها. ومن هذه الأعداد كلها تتكوّن دالة جديدة.

فمثلًا، مشتقة $x^2$ هي الدالة $2x$، المعرّفة على كامل $\mathbb{R}$؛ ومشتقة القيمة المطلقة تساوي $1$ على $\ioo{0}{\infty}$ و$-1$ على $\ioo{-\infty}{0}$، ومجالها لا يحتوي $0$. ويعود الترميز $f'$، بالشرطة، إلى لاغرانج. أما الترميز الشائع الآخر فيعود إلى لايبنتس: إذا كانت $y = f(x)$، تُكتب المشتقة $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$، أو $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$، وتُكتب عملية الاشتقاق بالنسبة إلى $x$ بوضع $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ قبل العبارة التي تُشتق:

ويذكّر الترميز بمصدر المشتقة. إذا كان $\Delta x$ تزايد المتغير و$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ التزايد المقابل للدالة، فإن نسبة التزايد هي $\frac{\Delta y}{\Delta x}$، والمشتقة هي نهايتها:

ويجدر التأكيد على أن $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$، في الوقت الحاضر، رمز واحد وليس نسبة: فليس لكل من $\mathrm{d}y$ و$\mathrm{d}x$ بعدُ معنى على حدة؛ وسيكون لهما معنى في الدرس الخاص بـالمشتقات المتتالية والتفاضل. ويجعل الترميز المتغير الذي يُشتق بالنسبة إليه صريحًا: إذا كان الموضع يتوقف على الزمن، تُكتب السرعة $s'(t)$ أو $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$.

ثلاثة توصيفات للمشتقة

يقول التعريف إن نسبة التزايد تؤول إلى $f'(a)$. وهناك طريقتان أخريان لقول الشيء نفسه، كلٌّ منهما مفيدة لغرض مختلف: الثانية تقارن الدالة بمستقيمها المماس؛ والثالثة تتجنب القسمة.

الدالة $\varphi$ في التوصيف الثالث، إن وُجدت، وحيدة: فهي خارج $a$ نسبة التزايد، وقيمتها عند $a$ هي نهاية تلك النسبة. ويفسّر التوصيف الثاني بأي معنى يكون المماس المستقيمَ الذي يرافق المنحنى أفضل مرافقة. فإذا عُوِّضت $f(a + h)$ بالعبارة $f(a) + mh$، بميل $m$ مختلف عن $f'(a)$، فإن الخطأ هو $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$، الذي يؤول خارج قسمته على $h$ إلى $f'(a) - m \neq 0$: فهو من الرتبة نفسها التي لـ$h$. وبالميل $f'(a)$ وحده يكون الخطأ مهملًا بالنسبة إلى $h$. وللتوصيف الثالث ميزة تقنية: فهو مساواة بين جداءات، بلا قسمة. وستستعمله الدروس الخاصة بـقواعد الاشتقاق وبـقاعدة السلسلة كي لا تقسم على كميات قد تنعدم. والنتيجة الأولى فورية.

العكس خاطئ. فالاتصال يتطلب أن يؤول الفرق $f(x) - f(a)$ إلى $0$؛ أما قابلية الاشتقاق فتتطلب أكثر: أن يكون لخارج قسمته على $x - a$ نهاية، أي أن يؤول إلى $0$ بسرعة لا تقل عن سرعة $x - a$ ودون أن يتذبذب بين ميول مختلفة.

تخفق الدالتان في نقطة واحدة فقط، لكن ثمة دوال متصلة على المستقيم كله غير قابلة للاشتقاق في أي نقطة؛ وقد قدّم فايرشتراس سنة 1872 أشهر مثال على ذلك، وبناؤه يتجاوز هذه الدورة.

مسائل محلولة

تتدرج المسائل في الصعوبة: الأولى تحسب مشتقة تكفّ عن الوجود عند حافة المجال؛ والثانية تستعمل المماس لاكتشاف خاصية للقطع الزائد؛ والثالثة تبيّن أن المشتقتين من جهة واحدة قد لا توجدان؛ والرابعة أن دالة قد تكون قابلة للاشتقاق في نقطة واحدة فقط؛ والأخيرة تجمع بين تحليل كاراثيودوري والمشتقتين من جهة واحدة.

مسائل مقترحة

تتدرج المسائل في الصعوبة: الأولى تقرأ مشتقةً في هندسة الدائرة والكرة؛ والثانية تبحث عن مستقيمات ناظمة تمر بنقطة معطاة؛ والثالثة تبيّن أن مشتقة من جهة واحدة قد توجد حيث تقفز الدالة؛ والرابعة تقارن المماس الذي تعطيه المشتقة بمماس الدائرة؛ والأخيرة تدرس نسبة تشبه المشتقة دون أن تكونها. ولكل منها تلميح، يحسن ألا يُفتح إلا بعد المحاولة.