Η παράγωγος ως το όριο μιας συνάρτησης

Η εφαπτομένη και η ταχύτητα

Στο μάθημα για την εξίσωση της παραβολής, μια ευθεία είναι εφαπτομένη της καμπύλης σε ένα σημείο όταν την αγγίζει μόνο σε αυτό χωρίς να τη διασχίζει. Η ιδέα αυτή αρκεί για τις κωνικές τομές, όχι όμως για οποιαδήποτε καμπύλη. Στην αρχή των αξόνων, η καμπύλη $y = x^3$ βρίσκεται κάτω από τον οριζόντιο άξονα αριστερά και πάνω από αυτόν δεξιά: κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τη διασχίζει, και οι ευθείες $y = mx$ με $m < 0$ την αγγίζουν μόνο εκεί, διότι η ισότητα $x^3 = mx$ απαιτεί $x = 0$ ή $x^2 = m$. Καμία ευθεία δεν ικανοποιεί τη συνθήκη, και όμως ο οριζόντιος άξονας είναι, με το μάτι, η ευθεία που συνοδεύει καλύτερα την καμπύλη κοντά στην αρχή των αξόνων. Χρειάζεται λοιπόν άλλος ορισμός, που να μην εξαρτάται από τη συνολική μορφή της καμπύλης αλλά μόνο από ό,τι συμβαίνει κοντά στο σημείο.

Η ιδέα είναι παλιά: η εφαπτομένη είναι η οριακή θέση των τεμνουσών. Θεωρούμε μια συνάρτηση $f$ και ένα σημείο $(a, f(a))$ της γραφικής της παράστασης. Για $h \neq 0$, η τέμνουσα που διέρχεται από το $(a, f(a))$ και από το $(a + h, f(a + h))$ έχει κλίση

Όταν το $h$ πλησιάζει το $0$, το δεύτερο σημείο πλησιάζει το πρώτο, και αν οι κλίσεις έχουν όριο, η ευθεία που διέρχεται από το $(a, f(a))$ με αυτή την κλίση είναι η υποψήφια εφαπτομένη.

Το ίδιο όριο εμφανίζεται στη μελέτη μιας κίνησης. Αν $s(t)$ είναι η θέση, τη χρονική στιγμή $t$, ενός σημείου που κινείται πάνω σε μια ευθεία, το πηλίκο $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ είναι η μέση ταχύτητά του ανάμεσα στις χρονικές στιγμές $t_0$ και $t_0 + h$: η μετατόπιση διαιρεμένη με τον χρόνο που χρειάστηκε. Η ταχύτητα τη στιγμή $t_0$, αυτή που θα έδειχνε ένα ταχύμετρο, είναι το όριο των μέσων ταχυτήτων όταν το $h$ τείνει στο $0$. Για παράδειγμα, αν $s(t) = t^2 - 4t$, η μέση ταχύτητα ανάμεσα στο $1$ και στο $1 + h$ είναι $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$, που τείνει στο $-2$: τη στιγμή $1$, το σημείο κινείται προς τα αριστερά με ρυθμό δύο μονάδων μήκους ανά μονάδα χρόνου. Τα δύο ερωτήματα, της εφαπτομένης και της ταχύτητας, οδηγούν στο ίδιο όριο, και αυτό ακριβώς το όριο ορίζεται παρακάτω.

Η παράγωγος σε σημείο

Όπως στο μάθημα για το όριο μιας συνάρτησης, πρέπει πρώτα να διευκρινιστεί πού έχει νόημα το όριο. Ο λόγος χρειάζεται την τιμή $f(a)$, οπότε το $a$ πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού· και το όριο όταν το $x$ τείνει στο $a$ απαιτεί το $a$ να είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού.

Ο λόγος ορίζεται στο $A \setminus \{a\}$, και το $a$ είναι σημείο συσσώρευσης αυτού του συνόλου, διότι ο ορισμός του σημείου συσσώρευσης εξετάζει μόνο τα στοιχεία που είναι διαφορετικά από το $a$. Λόγω της μοναδικότητας του ορίου, η παράγωγος, αν υπάρχει, είναι μοναδική. Σε μεμονωμένο σημείο του πεδίου ορισμού η παράγωγος δεν ορίζεται, παρότι κάθε συνάρτηση είναι συνεχής εκεί. Και αν ο λόγος τείνει στο $\infty$ ή στο $-\infty$, η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο $a$: η παράγωγος είναι πραγματικός αριθμός. Ο ορισμός γράφεται συχνά με την προσαύξηση $h = x - a$ αντί για το σημείο $x$, όπως στο παράδειγμα.

Οι πρώτες παράγωγοι υπολογίζονται απευθείας. Αν $f(x) = mx + b$, ο λόγος μεταβολής ισούται με $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ για κάθε $h \neq 0$, και το όριό του είναι $m$: η παράγωγος μιας γραμμικής συνάρτησης είναι η κλίση της σε κάθε σημείο, και η εφαπτομένη της είναι η ίδια η ευθεία. Ειδικότερα, η παράγωγος μιας σταθεράς είναι $0$ και της ταυτοτικής $f(x) = x$ είναι $1$. Για $f(x) = x^2$, ο υπολογισμός του παραδείγματος, με $a$ στη θέση του $1$, δίνει $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$, και η παράγωγος είναι $2a$.

Πλευρικές παράγωγοι

Στα άκρα ενός διαστήματος, ή σε ένα σημείο όπου η συνάρτηση αλλάζει τύπο, είναι σκόπιμο να εξετάζεται ο λόγος μεταβολής σε κάθε πλευρά χωριστά.

Για παράδειγμα, η απόλυτη τιμή έχει στο $0$ λόγο μεταβολής $\frac{\abs{x}}{x}$, που ισούται με $1$ αν $x > 0$ και με $-1$ αν $x < 0$: οι πλευρικές παράγωγοί της είναι $f'_+(0) = 1$ και $f'_-(0) = -1$, διαφορετικές, και η $\abs{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$. Αντίθετα, αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη στο $\icc{0}{1}$, η παράγωγός της στο $0$ είναι η παράγωγός της από δεξιά, και στο $1$, η παράγωγός της από αριστερά: ο ορισμός ήδη αντιμετωπίζει τα άκρα του πεδίου ορισμού ως μοναδικές πλευρές. Για παράδειγμα, η $f(x) = x$ περιορισμένη στο $\icc{0}{1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$, με $f'(0) = 1$.

Εφαπτομένη και κάθετη ευθεία

Με την παράγωγο, η εφαπτομένη παύει να είναι ένα σχήμα που αναγνωρίζεται με το μάτι και γίνεται μια ευθεία που υπολογίζεται.

Η κλίση της κάθετης ευθείας προκύπτει από το θεώρημα των κάθετων ευθειών στο μάθημα για την εξίσωση της ευθείας: δύο μη κατακόρυφες ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν το γινόμενο των κλίσεών τους είναι $-1$. Επιστρέφοντας στην καμπύλη $y = x^3$, ο λόγος μεταβολής της στο $0$ είναι $x^2$, που τείνει στο $0$: η εφαπτομένη στην αρχή των αξόνων είναι ο οριζόντιος άξονας, παρότι διασχίζει την καμπύλη. Όταν η $f$ είναι συνεχής στο $a$ και ο λόγος μεταβολής τείνει στο $\infty$ ή στο $-\infty$, οι τέμνουσες πλησιάζουν την κατακόρυφη θέση· λέμε τότε ότι η γραφική παράσταση έχει στο $(a, f(a))$ κατακόρυφη εφαπτομένη, την ευθεία $x = a$, παρότι η $f$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $a$.

Ομοίως, αν $s(t)$ είναι η θέση ενός σημείου που κινείται πάνω σε μια ευθεία, η ταχύτητά του τη στιγμή $t_0$ είναι $s'(t_0)$, αν υπάρχει. Το πρόσημό της δείχνει τη φορά της κίνησης, και η απόλυτη τιμή της, το μέτρο της ταχύτητας. Το μάθημα για τους ρυθμούς μεταβολής θα αναπτύξει αυτή την ανάγνωση.

Η παράγωγος συνάρτηση και ο συμβολισμός του Λάιμπνιτς

Κάθε σημείο στο οποίο η $f$ είναι παραγωγίσιμη προσφέρει έναν αριθμό, την παράγωγό της σε αυτό. Με όλους αυτούς σχηματίζεται μια νέα συνάρτηση.

Για παράδειγμα, η παράγωγος της $x^2$ είναι η συνάρτηση $2x$, ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$· η παράγωγος της απόλυτης τιμής ισούται με $1$ στο $\ioo{0}{\infty}$ και με $-1$ στο $\ioo{-\infty}{0}$, και το πεδίο ορισμού της δεν περιέχει το $0$. Ο συμβολισμός $f'$, με τον τόνο, οφείλεται στον Λαγκράνζ. Ο άλλος συνήθης συμβολισμός οφείλεται στον Λάιμπνιτς: αν $y = f(x)$, η παράγωγος γράφεται $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ή $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$, και η πράξη της παραγώγισης ως προς $x$ γράφεται $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ μπροστά από την παράσταση που παραγωγίζεται:

Ο συμβολισμός θυμίζει από πού προέρχεται η παράγωγος. Αν $\Delta x$ είναι η προσαύξηση της μεταβλητής και $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ η αντίστοιχη προσαύξηση της συνάρτησης, ο λόγος μεταβολής είναι $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, και η παράγωγος είναι το όριό του:

Αξίζει να τονιστεί ότι, προς το παρόν, το $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ είναι ένα ενιαίο σύμβολο και όχι πηλίκο: τα $\mathrm{d}y$ και $\mathrm{d}x$ δεν έχουν ακόμη νόημα χωριστά· θα αποκτήσουν στο μάθημα για τις παραγώγους ανώτερης τάξης και το διαφορικό. Ο συμβολισμός καθιστά ρητή τη μεταβλητή ως προς την οποία γίνεται η παραγώγιση: αν η θέση εξαρτάται από τον χρόνο, η ταχύτητα γράφεται $s'(t)$ ή $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$.

Τρεις χαρακτηρισμοί της παραγώγου

Ο ορισμός λέει ότι ο λόγος μεταβολής τείνει στο $f'(a)$. Υπάρχουν άλλοι δύο τρόποι να ειπωθεί το ίδιο, καθένας χρήσιμος για διαφορετικό σκοπό: ο δεύτερος συγκρίνει τη συνάρτηση με την εφαπτομένη της· ο τρίτος αποφεύγει τη διαίρεση.

Η συνάρτηση $\varphi$ του τρίτου χαρακτηρισμού, όταν υπάρχει, είναι μοναδική: εκτός του $a$ είναι ο λόγος μεταβολής, και στο $a$ η τιμή της είναι το όριο αυτού του λόγου. Ο δεύτερος χαρακτηρισμός εξηγεί με ποια έννοια η εφαπτομένη είναι η ευθεία που συνοδεύει καλύτερα την καμπύλη. Αν η $f(a + h)$ αντικατασταθεί από την $f(a) + mh$, με κλίση $m$ διαφορετική από το $f'(a)$, το σφάλμα είναι $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$, του οποίου το πηλίκο διά $h$ τείνει στο $f'(a) - m \neq 0$: είναι της ίδιας τάξης με το $h$. Μόνο με την κλίση $f'(a)$ το σφάλμα είναι αμελητέο ως προς το $h$. Ο τρίτος χαρακτηρισμός έχει ένα τεχνικό πλεονέκτημα: είναι ισότητα ανάμεσα σε γινόμενα, χωρίς διαιρέσεις. Τα μαθήματα για τους κανόνες παραγώγισης και για τον κανόνα της αλυσίδας θα τον χρησιμοποιήσουν για να μη διαιρούν με ποσότητες που μπορεί να μηδενιστούν. Η πρώτη συνέπεια είναι άμεση.

Το αντίστροφο δεν ισχύει. Η συνέχεια απαιτεί η διαφορά $f(x) - f(a)$ να τείνει στο $0$· η παραγωγισιμότητα απαιτεί περισσότερα: το πηλίκο της διά $x - a$ να έχει όριο, δηλαδή η διαφορά να τείνει στο $0$ τουλάχιστον τόσο γρήγορα όσο η $x - a$ και χωρίς να ταλαντεύεται ανάμεσα σε διαφορετικές κλίσεις.

Οι δύο συναρτήσεις αποτυγχάνουν σε ένα μόνο σημείο, υπάρχουν όμως συναρτήσεις συνεχείς σε όλη την ευθεία που δεν είναι παραγωγίσιμες σε κανένα σημείο· ο Βάιερστρας παρουσίασε το 1872 το πιο διάσημο παράδειγμα, του οποίου η κατασκευή ξεπερνά αυτόν τον κύκλο μαθημάτων.

Λυμένα προβλήματα

Τα προβλήματα προχωρούν σε δυσκολία: το πρώτο υπολογίζει μια παράγωγο που παύει να υπάρχει στο άκρο του πεδίου ορισμού· το δεύτερο χρησιμοποιεί την εφαπτομένη για να ανακαλύψει μια ιδιότητα της υπερβολής· το τρίτο δείχνει ότι οι πλευρικές παράγωγοι μπορεί να μην υπάρχουν· το τέταρτο, ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι παραγωγίσιμη σε ένα μόνο σημείο· και το τελευταίο συνδυάζει την παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή με τις πλευρικές παραγώγους.

Προτεινόμενα προβλήματα

Τα προβλήματα προχωρούν σε δυσκολία: το πρώτο διαβάζει μια παράγωγο στη γεωμετρία του κύκλου και της σφαίρας· το δεύτερο αναζητεί κάθετες ευθείες που διέρχονται από δοσμένο σημείο· το τρίτο δείχνει ότι μια πλευρική παράγωγος μπορεί να υπάρχει εκεί όπου η συνάρτηση κάνει άλμα· το τέταρτο συγκρίνει την εφαπτομένη της παραγώγου με την εφαπτομένη του κύκλου· και το τελευταίο μελετά έναν λόγο που μοιάζει με την παράγωγο χωρίς να είναι. Καθένα έχει μια υπόδειξη, που καλό είναι να ανοίγεται μόνο αφού έχει γίνει προσπάθεια.