Παράγωγοι ανώτερης τάξης και διαφορικό

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μια άλλη συνάρτηση, και τίποτε δεν εμποδίζει να την παραγωγίσουμε ξανά. Η παράγωγος της $x^3$ είναι η $3x^2$, και της $3x^2$ η $6x$· της $6x$ η $6$, και της $6$ η $0$. Αν $s(t)$ είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγμή $t$, η παράγωγός της $s'(t)$ είναι η ταχύτητα, και η παράγωγος της ταχύτητας, που μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει η ίδια η ταχύτητα, είναι η επιτάχυνση· το μάθημα για τους ρυθμούς μεταβολής θα μελετήσει αυτή την ανάγνωση. Όπως στο μάθημα για την παράγωγο ως όριο, χρειάζεται να καθοριστεί με ακρίβεια πού ορίζεται κάθε παράγωγος.

Στον συμβολισμό του Λάιμπνιτς, ο εκθέτης του αριθμητή δείχνει πόσες φορές εφαρμόζεται η πράξη $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$, και ο εκθέτης του παρονομαστή αφορά ολόκληρο το σύμβολο $\mathrm{d}x$, όχι τη μεταβλητή $x$· το πλήρες σύμβολο $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$ διαβάζεται ως ενιαίο σύνολο. Αν η $f$ είναι $n$ φορές παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, κάθε παράγωγος τάξης μικρότερης από $n$ είναι παραγωγίσιμη σε αυτό και, από το θεώρημα του μαθήματος για την παράγωγο ως όριο σύμφωνα με το οποίο η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια, είναι συνεχής σε αυτό. Η δεύτερη παράγωγος μπορεί να λείπει ακόμη κι αν υπάρχει η πρώτη: το μάθημα για τους κανόνες παραγώγισης έδειξε ότι η $x \abs{x}$ είναι παραγωγίσιμη σε όλο το $\mathbb{R}$, με παράγωγο $2\abs{x}$, και η απόλυτη τιμή δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$, από την πρόταση της συνέχειας χωρίς παράγωγο. Επομένως η $x \abs{x}$ είναι παραγωγίσιμη μία φορά στο $\mathbb{R}$ και δύο φορές μόνο στο $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, όπου η δεύτερη παράγωγός της ισούται με $2$ δεξιά του $0$ και με $-2$ αριστερά.

Για να μην επαναλαμβάνονται υποθέσεις για το πεδίο ορισμού, οι συναρτήσεις των γενικών προτάσεων θεωρούνται ορισμένες σε ένα ανοικτό διάστημα $I$, του οποίου όλα τα σημεία είναι σημεία συσσώρευσης του $I$. Δεν χάνεται τίποτε: από τον δεύτερο ισχυρισμό του λήμματος του τοπικού χαρακτήρα της παραγώγου, του μαθήματος για τους κανόνες παραγώγισης, σε ένα σημείο ενός ανοικτού διαστήματος που περιέχεται στο πεδίο ορισμού η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι η παράγωγος του περιορισμού της στο διάστημα, και, με επαγωγή, το ίδιο ισχύει για τις παραγώγους ανώτερης τάξης. Έτσι, η $\frac{1}{x}$ μελετάται στο $\ioo{-\infty}{0}$ και στο $\ioo{0}{\infty}$.