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Topos Uranos
Português

Derivadas sucessivas e diferencial

Resumo

Esta aula deriva a derivada. A derivada de uma função é outra função, que por sua vez pode ser derivada: assim se obtêm a segunda derivada, a terceira e, em geral, a derivada de ordem nn, que para as potências, a exponencial, o seno e o cosseno tem uma fórmula fechada, demonstrada por indução. A derivada de ordem nn de um produto segue a mesma lei que a potência de um binômio: é a regra de Leibniz. A segunda metade da aula dá sentido, separadamente, aos sinais dy\mathrm{d}y e dx\mathrm{d}x da notação de Leibniz: a diferencial dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x é a parte linear do incremento da função, a única que difere dele por uma quantidade desprezível em relação ao incremento da variável. Com ela se aproximam valores e se estima como se propaga o erro de uma medição, sem pretender ainda limitar o erro da aproximação.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir as derivadas sucessivas, com o seu domínio, e obter por indução a derivada de ordem nn das potências, da exponencial, do seno, do cosseno e dos polinômios.
  2. Demonstrar a regra de Leibniz para a derivada de ordem nn de um produto e aplicá-la quando um dos fatores é um polinômio.
  3. Definir a diferencial e demonstrar que é a parte principal do incremento, distinguindo Δy\Delta y de dy\mathrm{d}y.
  4. Aproximar valores e estimar erros relativos com a diferencial, sabendo o que a aproximação afirma e o que não afirma.

Derivadas de ordem superior

A derivada de uma função é outra função, e nada impede derivá-la de novo. A derivada de x3x^3 é 3x23x^2, e a de 3x23x^2 é 6x6x; a de 6x6x é 66, e a de 66 é 00. Se s(t)s(t) é a posição de um móvel no instante tt, a sua derivada s′(t)s'(t) é a velocidade, e a derivada da velocidade, que mede com que rapidez muda a própria velocidade, é a aceleração; a aula sobre as taxas de variação estudará essa leitura. Como na aula sobre a derivada como limite, convém fixar com precisão onde está definida cada derivada.

DefiniçãoDerivadas sucessivas

Seja ff uma função definida em AA. As derivadas sucessivas de ff definem-se por recursão: a derivada de ordem 00 é a própria função, e a derivada de ordem n+1n + 1 é a função derivada da de ordem nn:

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

Pela definição de função derivada, o domínio da derivada de ordem n+1n + 1 é o conjunto dos pontos do domínio de f(n)f^{(n)} em que f(n)f^{(n)} é derivável. Diz-se que ff é nn vezes derivável num ponto aa se aa pertence ao domínio de f(n)f^{(n)}; num conjunto SS, se o é em cada ponto de SS; e infinitamente derivável em SS, se o é para todo nn. As primeiras escrevem-se com linhas, f′′=f(2)f'' = f^{(2)} (a segunda derivada) e f′′′=f(3)f''' = f^{(3)}; a partir da ordem quatro, com a ordem entre parênteses, como f(4)f^{(4)}, para não a confundir com uma potência. Se y=f(x)y = f(x), na notação de Leibniz escreve-se d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} e dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}, e a operação de derivar nn vezes, dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}.

Na notação de Leibniz, o expoente do numerador indica quantas vezes se aplica a operação ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}, e o do denominador afeta todo o símbolo dx\mathrm{d}x, não a variável xx; o sinal completo d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} lê-se como um todo. Se ff é nn vezes derivável num ponto, cada derivada de ordem menor que nn é derivável nele e, pelo teorema da aula sobre a derivada como limite segundo o qual derivável implica contínua, é contínua nele. A segunda derivada pode faltar ainda que exista a primeira: a aula sobre as regras de derivação mostrou que x∣x∣x \abs{x} é derivável em todo R\mathbb{R}, com derivada 2∣x∣2\abs{x}, e o valor absoluto não é derivável em 00, pela proposição da continuidade sem derivada. Donde x∣x∣x \abs{x} é derivável uma vez em R\mathbb{R} e duas vezes só em R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, onde a sua segunda derivada vale 22 à direita de 00 e −2-2 à esquerda.

Para não repetir hipóteses sobre o domínio, as funções dos enunciados gerais consideram-se definidas num intervalo aberto II, cujos pontos são todos pontos de acumulação de II. Nada se perde: pela segunda afirmação do lema do caráter local da derivada, da aula sobre as regras de derivação, num ponto de um intervalo aberto contido no domínio a derivada de uma função é a da sua restrição ao intervalo, e, por indução, o mesmo ocorre com as derivadas sucessivas. Assim, 1x\frac{1}{x} estuda-se em (−∞,0)\ioo{-\infty}{0} e em (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

LemaLinearidade das derivadas sucessivas

Sejam ff e gg funções definidas num intervalo aberto II e nn vezes deriváveis em II, e seja α\alpha um número real. Então h=αf+gh = \alpha f + g é nn vezes derivável em II, e h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} em II. Aplica-se nn vezes o teorema da derivada de uma combinação linear, da aula sobre as regras de derivação.

Demonstração

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    Para n=1n = 1 é o teorema da derivada de uma combinação linear, em cada ponto de II.

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    Se a igualdade vale para nn, e ff e gg são n+1n + 1 vezes deriváveis em II, a função h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} é combinação linear de duas funções deriváveis em II; pelo mesmo teorema, é derivável em II. Pelo princípio de indução, a igualdade vale para todo nn.