Taxas de variação e taxas relacionadas

Resumo

Esta aula lê a derivada como aquilo que ela mede nas aplicações: a rapidez com que uma grandeza varia quando varia outra. Distingue a taxa de variação média, a instantânea e a relativa, com as suas unidades, e caracteriza o crescimento com taxa relativa constante. Estuda o movimento retilíneo, com a posição, a velocidade, a rapidez e a aceleração, e demonstra o que diz o sinal da derivada em um instante, e o que não diz. Por fim, quando várias grandezas que dependem do tempo estão ligadas por uma relação, a regra da cadeia liga também as suas taxas de variação: são as taxas relacionadas, que se resolvem com um método explícito.

Objetivos de aprendizagem

Interpretar a derivada como taxa de variação instantânea, com as suas unidades, e distingui-la da taxa de variação média e da relativa.
Descrever um movimento retilíneo com a posição, a velocidade, a rapidez e a aceleração, e demonstrar o que diz o sinal da derivada em um instante sobre os valores próximos.
Resolver problemas de taxas relacionadas com um método explícito, justificando que as grandezas que se derivam são deriváveis.
Relacionar as taxas relativas de variação de produtos e potências com a derivada logarítmica, e as acelerações com a segunda derivada de uma relação.

A derivada como taxa de variação

A aula sobre a derivada como limite chegou à mesma definição a partir de duas perguntas: o coeficiente angular da tangente e a velocidade instantânea. Ambas são casos de uma pergunta mais geral. Sempre que uma grandeza depende de outra, a área de um círculo do seu raio, a posição de um móvel do tempo ou a massa de um pedaço de haste do seu comprimento, convém saber com que rapidez varia a primeira quando varia a segunda.

DefiniçãoTaxa de variação

Seja $f$ uma função definida em um intervalo aberto $I$ , que exprime uma grandeza $y = f(x)$ em função de outra grandeza $x$ , e sejam $a$ e $a + h$ pontos de $I$ , com $h \neq 0$ . A taxa de variação média de $y$ em relação a $x$ entre $a$ e $a + h$ é o quociente

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Se $f$ é derivável em $a$ , a taxa de variação instantânea (ou simplesmente taxa de variação) de $y$ em relação a $x$ em $a$ é $f'(a)$ ; se, além disso, $f(a) \neq 0$ , a taxa de variação relativa em $a$ é o quociente $\frac{f'(a)}{f(a)}$ .

A taxa média é o coeficiente angular de uma secante, e a instantânea, o seu limite: o coeficiente angular da tangente. Ambas se medem em unidades de $y$ por unidade de $x$ : metros por segundo, se $y$ é um comprimento e $x$ um tempo; quilogramas por metro, se $y$ é a massa de um pedaço de haste e $x$ o seu comprimento. Neste último caso, se $M(x)$ é a massa do pedaço compreendido entre uma extremidade e o ponto à distância $x$ , a taxa de variação $M'(x)$ é a densidade linear da haste nesse ponto: a massa por unidade de comprimento que teria um pedaço muito curto em torno dele. A taxa relativa, por outro lado, mede-se apenas em unidades inversas de $x$ (por segundo, por dia): não depende da unidade em que se mede $y$ , e por isso permite comparar a variação de grandezas de natureza diferente ou de tamanho diferente. É a derivada logarítmica da aula sobre a variável no expoente, e exprime-se muitas vezes como porcentagem: uma taxa relativa de $0{,}03$ por dia é de 3 por cento por dia.

Um exemplo geométrico mostra como se lê uma taxa de variação. A área do círculo de raio $r$ é $A = \pi r^2$ , e a sua taxa de variação em relação ao raio é $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r$ , o perímetro, como pede verificar o problema proposto 1 da aula sobre a derivada como limite. A razão é clara: ao aumentar o raio em $h$ , a área aumenta em uma coroa circular de largura $h$ , cuja área é quase a do perímetro vezes $h$ .

ProposiçãoCrescimento com taxa relativa constante

Sejam $y_0 > 0$ e $k \neq 0$ números reais, e seja $y(t) = y_0 e^{kt}$ para todo real $t$ . Então a taxa de variação relativa de $y$ vale $k$ em todo instante, e para todo $t$ e todo $T$ :

y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

Em particular, se $k > 0$ , a grandeza duplica em cada intervalo de tempo de duração $\frac{\ln 2}{k}$ , seja qual for o instante em que começa; e se $k < 0$ , reduz-se à metade em cada intervalo de duração $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .

Demonstração

$y'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}$
Pelo corolário das composições com a exponencial e o logaritmo, da aula sobre a variável no expoente, com $u(t) = kt$ , a função $y$ é derivável em todo $\mathbb{R}$ e a sua derivada é $k$ vezes a própria função, que não se anula.
$\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}$
Pela propriedade das potências, o quociente entre os valores separados por um intervalo de duração $T$ não depende de $t$ .
$e^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}$
Como a exponencial é injetora, o quociente vale $2$ se e somente se $kT = \ln 2$ , e vale $\frac{1}{2}$ se e somente se $kT = -\ln 2$ .

Uma população de bactérias em um meio sem restrições ou uma massa de material radioativo variam, com boa aproximação, com taxa relativa constante, e a proposição explica por que têm um tempo de duplicação ou uma meia-vida fixos. Que as funções $y_0 e^{kt}$ sejam as únicas com taxa relativa constante $k$ é verdade, mas a sua demonstração exige saber que uma função com derivada nula em um intervalo é constante, consequência do teorema do valor médio da próxima unidade.