Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Скорость изменения и связанные скорости

Краткое содержание

Это занятие читает производную как то, что она измеряет в приложениях: скорость, с которой меняется одна величина, когда меняется другая. Оно различает среднюю, мгновенную и относительную скорость изменения, с их единицами измерения, и характеризует рост с постоянной относительной скоростью. Оно изучает движение по прямой, с положением, скоростью, модулем скорости и ускорением, и доказывает, что говорит знак производной в данный момент времени и чего он не говорит. Наконец, когда несколько величин, зависящих от времени, связаны соотношением, правило дифференцирования сложной функции связывает и скорости их изменения: это связанные скорости изменения, задачи о которых решаются явным методом.

Цели обучения

  1. Истолковывать производную как мгновенную скорость изменения, с её единицами измерения, и отличать её от средней и от относительной скорости изменения.
  2. Описывать прямолинейное движение с помощью положения, скорости, модуля скорости и ускорения и доказывать, что говорит знак производной в данный момент о близких значениях.
  3. Решать задачи о связанных скоростях изменения явным методом, обосновывая, что дифференцируемые в задаче величины дифференцируемы.
  4. Связывать относительные скорости изменения произведений и степеней с логарифмической производной, а ускорения со второй производной соотношения.

Производная как скорость изменения

Занятие о производной как пределе пришло к одному и тому же определению из двух вопросов: об угловом коэффициенте касательной и о мгновенной скорости. Оба являются частными случаями более общего вопроса. Всякий раз, когда одна величина зависит от другой (площадь круга от его радиуса, положение движущейся точки от времени или масса куска стержня от его длины), полезно знать, с какой скоростью меняется первая, когда меняется вторая.

ОпределениеСкорость изменения

Пусть ff есть функция, определённая на интервале II, которая выражает величину y=f(x)y = f(x) как функцию другой величины xx, и пусть aa и a+ha + h есть точки из II, причём h≠0h \neq 0. Средней скоростью изменения величины yy по отношению к xx между aa и a+ha + h называется отношение

ΔyΔx=f(a+h)−f(a)h\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Если ff дифференцируема в aa, то мгновенной скоростью изменения (или просто скоростью изменения) величины yy по отношению к xx в aa называется f′(a)f'(a); если, кроме того, f(a)≠0f(a) \neq 0, то относительной скоростью изменения в aa называется отношение f′(a)f(a)\frac{f'(a)}{f(a)}.

Средняя скорость изменения есть угловой коэффициент секущей, а мгновенная есть её предел: угловой коэффициент касательной. Обе измеряются в единицах yy на единицу xx: в метрах в секунду, если yy есть длина, а xx есть время; в килограммах на метр, если yy есть масса куска стержня, а xx есть его длина. В этом последнем случае, если M(x)M(x) есть масса куска, заключённого между одним концом и точкой на расстоянии xx, то скорость изменения M′(x)M'(x) есть линейная плотность стержня в этой точке: масса на единицу длины, которую имел бы очень короткий кусок вокруг неё. Относительная скорость, напротив, измеряется только в единицах, обратных единицам xx (в расчёте на секунду, на сутки): она не зависит от единицы, в которой измеряется yy, и поэтому позволяет сравнивать изменение величин разной природы или разного порядка. Это логарифмическая производная из занятия о переменной в показателе, и её часто выражают в процентах: относительная скорость 0,030{,}03 в сутки составляет 3 процента в сутки.

Геометрический пример показывает, как читается скорость изменения. Площадь круга радиуса rr равна A=πr2A = \pi r^2, и скорость её изменения по отношению к радиусу равна dAdr=2πr\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, то есть длине окружности, в чём предлагает убедиться задача 1 для самостоятельного решения из занятия о производной как пределе. Причина ясна: когда радиус увеличивается на hh, площадь увеличивается на кольцо ширины hh, площадь которого почти равна длине окружности, умноженной на hh.

УтверждениеРост с постоянной относительной скоростью

Пусть y0>0y_0 > 0 и k≠0k \neq 0 есть действительные числа, и пусть y(t)=y0ekty(t) = y_0 e^{kt} для всякого действительного tt. Тогда относительная скорость изменения величины yy равна kk в каждый момент, и для всяких tt и TT:

y(t+T)=ekT y(t)y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

В частности, если k>0k > 0, то величина удваивается за каждый промежуток времени длительности ln⁡2k\frac{\ln 2}{k}, в какой бы момент он ни начинался; а если k<0k < 0, то она уменьшается вдвое за каждый промежуток длительности ln⁡2∣k∣\frac{\ln 2}{\abs{k}}.

Доказательство

  1. y′(t)=y0ekt⋅k=k y(t),y′(t)y(t)=ky'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}

    По следствию о композициях с показательной функцией и логарифмом из занятия о переменной в показателе, с u(t)=ktu(t) = kt, функция yy дифференцируема на всём R\mathbb{R}, и её производная равна kk, умноженному на саму функцию, которая не обращается в нуль.

  2. y(t+T)y(t)=y0ektekTy0ekt=ekT\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}

    По свойству показателей отношение значений, разделённых промежутком длительности TT, не зависит от tt.

  3. ekT=2⇔T=ln⁡2k,ekT=12⇔T=ln⁡2−ke^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}

    Так как показательная функция инъективна, отношение равно 22 тогда и только тогда, когда kT=ln⁡2kT = \ln 2, и равно 12\frac{1}{2} тогда и только тогда, когда kT=−ln⁡2kT = -\ln 2.

Популяция бактерий в среде без ограничений или масса радиоактивного вещества меняются с хорошим приближением с постоянной относительной скоростью, и утверждение объясняет, почему у них постоянное время удвоения или постоянный период полураспада. То, что функции y0ekty_0 e^{kt} являются единственными с постоянной относительной скоростью kk, верно, но доказательство этого требует знать, что функция с нулевой производной на промежутке постоянна, а это следствие теоремы о среднем из следующего раздела.