Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Производные: итоги и задачи повышенной трудности

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел о производных. Он собирает в одну дедуктивную цепь то, что доказали десять уроков раздела: производную как предел разностного отношения, три её равносильных критерия и правила дифференцирования, полученные все из разложения Каратеодори без деления на величины, которые могут обращаться в нуль, вместе с производными элементарных функций и правилом дифференцирования сложной функции; теорему о промежуточном значении и непрерывность обратной функции, на которых держится производная обратной функции, и сведение к экспоненте степеней и показательных функций с любым основанием; и производные высших порядков, дифференциал и скорость изменения. Он объясняет, как раздел опирается на предыдущий раздел и на курсы «Алгебра и геометрия I и II» и как он готовит приложения производной. Урок заканчивается итоговой проверкой, параллельной входной, и десятью задачами повышенной трудности, более трудными, чем задачи уроков, каждая из которых сочетает результаты нескольких из них.

Цели обучения

  1. Излагать в логическом порядке определения и основные теоремы раздела, указывая, от каких более ранних результатов зависит каждая из них и в каких доказательствах снова используется разложение Каратеодори.
  2. Отличать то, что раздел принимает, от того, что он доказывает, и распознавать условия каждого результата, например условие теоремы о производной обратной функции или то, которого требует дифференцирование неявной функции.
  3. Связывать результаты раздела с разделом о пределах и непрерывности, с курсами «Алгебра и геометрия I и II» и с приложениями производной.
  4. Решать нестандартные задачи, сочетающие определение производной, правила, правило дифференцирования сложной функции, промежуточное значение, производную обратной функции, степени с переменным показателем, производные высших порядков, дифференциал и скорость изменения.

Чего достиг раздел

Весь раздел держится на одной идее: производная есть предел, а предыдущий раздел уже дал всё необходимое, чтобы её вычислять и с ней работать. Но разностное отношение есть деление, а деление на приращение, которое может обращаться в нуль, служит источником ошибочных доказательств. Критерий Каратеодори заменяет деление произведением, с множителем φ\varphi, непрерывным в точке aa:

f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),φ(a)=f′(a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

С ним доказательство дифференцируемости функции сводится к разложению её приращения с непрерывным множителем, а непрерывность множителя решают теоремы предыдущего раздела. Так были получены правила дифференцирования линейной комбинации, произведения и обратной величины, правило дифференцирования сложной функции и производная обратной функции, причём каждое ссылается на уже доказанные, а не повторяет их.

Определение и правила

Урок о производной как пределе пришёл к одному и тому же определению от касательной и от скорости и установил, где оно имеет смысл: в точке области определения, которая является её предельной точкой. Он записал производную в виде высказывания с кванторами, определил односторонние производные как односторонние пределы разностного отношения, касательную и нормаль, производную функцию и обозначение Лейбница и доказал, что производная допускает три равносильные формулировки: предел разностного отношения, приближение f(a+h)=f(a)+f′(a)h+o⁡(h)f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h) и разложение Каратеодори. Из последнего в две строки вышло, что из дифференцируемости следует непрерывность; модуль и кубический корень показали, что обратное неверно. Урок о правилах дифференцирования доказал сначала, что производная зависит только от того, что происходит вблизи точки, а затем, сочетая разложения, правила дифференцирования линейной комбинации, произведения, обратной величины и частного; с их помощью он продифференцировал степени с целым показателем, многочлены и рациональные функции и решил вопрос о дифференцируемости в точке стыка двух кусков, где производных отдельных формул недостаточно. Урок о производных элементарных функций получил производные синуса и косинуса из первого замечательного предела и формул сложения, производные экспоненты и функции ln⁡∣x∣\ln \abs{x} из замечательных пределов, без правила дифференцирования сложной функции и без правила дифференцирования обратной функции, а производные остальных тригонометрических и гиперболических функций с помощью правил. Урок о правиле дифференцирования сложной функции последовательно соединил два разложения, объяснил, почему доказательство, которое делит на g(x)−g(a)g(x) - g(a), не проходит, когда внутренняя функция повторяет своё значение, позаботился об области определения композиции и записал правило в обозначениях Лейбница, где оно похоже на сокращение дробей, хотя им не является.

Непрерывность, обратные функции и показатели

Урок, посвящённый теореме о промежуточном значении, доказал теорему Больцано с помощью точной верхней грани множества точек, где функция отрицательна, и сохранения знака, а из неё вывел теорему о промежуточном значении, то, что образ промежутка при непрерывной функции есть промежуток, и то, что функция, обратная к непрерывной и строго монотонной на промежутке функции, непрерывна; метод деления отрезка пополам превратил доказательство в процедуру. Урок о производной обратной функции прочитал разложение Каратеодори в обратную сторону: если f′(a)≠0f'(a) \neq 0, множитель не обращается в нуль, и обратная к нему величина, в композиции с непрерывной обратной функцией, даёт разложение приращения обратной функции; если f′(a)=0f'(a) = 0, правило дифференцирования сложной функции не допускает дифференцируемости обратной функции. С помощью этой теоремы он продифференцировал обратные тригонометрические функции, обратные гиперболические функции, корни и степени с рациональным показателем, а также неявно заданные функции, предполагая в каждом случае, что они существуют и дифференцируемы. Урок о переменной в показателе свёл всё к экспоненте, с помощью равенств ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a} и (f(x))g(x)=eg(x)ln⁡f(x)\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}: продифференцировал показательную функцию и логарифм по любому основанию, степени с действительным показателем и показательно-степенные функции, обосновал логарифмическое дифференцирование, доказывая дифференцируемость до логарифмирования, и установил, что πe<eπ\pi^e < e^\pi, с помощью касательной к логарифму, проходящей через начало координат.

Производные высших порядков и скорость изменения

Урок о производных высших порядков и дифференциале определил рекурсивно производные высших порядков, с их областью определения, и доказал по индукции формулы для производной порядка nn степеней, экспоненты, синуса и косинуса, а также формулу Лейбница, в которой стоят коэффициенты бинома Ньютона. Он придал отдельный смысл символам dy\mathrm{d}y и dx\mathrm{d}x: дифференциал dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x есть единственная линейная часть приращения, которая отличается от него на величину, пренебрежимо малую по сравнению с Δx\Delta x; урок использовал его для приближённых вычислений и для оценки распространения погрешностей, не оценивая погрешность приближения, для чего нужны более поздние средства. Урок о скорости изменения прочитал производную как быстроту, с которой меняется величина: различил среднюю, мгновенную и относительную скорость изменения, охарактеризовал рост с постоянной относительной скоростью, описал движение по прямой с помощью скорости, модуля скорости и ускорения, доказал, что говорит знак производной в точке о близких значениях, и не более того, и основал на правиле дифференцирования сложной функции явный метод для связанных скоростей изменения.

Что принимается, что доказывается и что остаётся

Итог раздела можно подвести так:

  • Принимаются аксиома полноты, которую в этом разделе непосредственно использует только теорема Больцано, теоремы раздела о пределах и непрерывности и результаты, доказанные в курсе «Алгебра и геометрия»: формулы сложения, основные тождества, свойства показателей и логарифмов, неравенство ex≥1+xe^x \geq 1 + x, монотонность функций, задающих обратные, индукция и бином Ньютона. Кроме того, в каждом случае предполагается, что уравнение задаёт дифференцируемую функцию, когда его дифференцируют как неявное.
  • Доказываются факты, которые курс «Алгебра и геометрия» принял или объявил: теорема о промежуточном значении, то, что касательная к графику функции exe^x в точке (0,1)(0, 1) имеет угловой коэффициент 11 и что ee есть единственное основание, показательная функция с которым обладает этим свойством; и касательная, которая для конических сечений определялась как прямая, касающаяся кривой и не пересекающая её, теперь определяется для любого графика.
  • Повторно используются четыре инструмента вместо повторения рассуждений: разложение Каратеодори, теорема о том, что из дифференцируемости следует непрерывность, локальный характер производной и сохранение знака.
  • На потом остаётся то, что требует большего, чем производная в точке: теорема о среднем и её следствия, монотонность по знаку производной, экстремумы, правило Лопиталя и оценки погрешности дифференциала, в следующем разделе; многочлен Тейлора и интеграл, в курсе «Математический анализ II»; и теорема, гарантирующая существование неявно заданных функций, в анализе функций нескольких переменных.

Рисунок ниже соединяет три участка в одну цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с более ранними звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и инструменты, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, которые взяты из предыдущего раздела или из курса «Алгебра и геометрия»: они изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

  • AАксиома полноты. Принимается, начиная с курса «Алгебра и геометрия I», что действительные числа образуют полное упорядоченное поле: всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань. В этом разделе принимается без доказательства.
  • BНаследие раздела 1. Результаты, доказанные в разделе о пределах и непрерывности: арифметические свойства пределов, с пределом сужения и пределом композиции; односторонние пределы; непрерывность, непрерывность арифметических операций и композиции; непрерывность элементарных функций и функции, обратной к монотонной функции, образ которой есть промежуток; пределы выражений sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h}, eh−1h\frac{e^h - 1}{h} и ln⁡(1+h)h\frac{\ln(1 + h)}{h} в точке 00; и o⁡\operatorname{o} малое и эквивалентность. В этом разделе принимается без доказательства.
  • CСохранение знака. Доказано в разделе о пределах и непрерывности: если функция ff стремится в точке aa к пределу L≠0L \neq 0, то вблизи aa функция имеет знак числа LL; и если функция ff непрерывна в точке aa и f(a)≠0f(a) \neq 0, то вблизи aa она имеет знак числа f(a)f(a) и не обращается в нуль. В этом разделе принимается без доказательства.
  • DНаследие курса «Алгебра и геометрия». Результаты, доказанные в курсах «Алгебра и геометрия I и II»: индукция, бином Ньютона и правило Паскаля; формулы сложения и основные тригонометрические и гиперболические тождества; свойства показателей и логарифмов, переход к другому основанию и неравенство ex≥1+xe^x \geq 1 + x; и монотонность сужений, задающих обратные тригонометрические функции, и гиперболических функций. В этом разделе принимается без доказательства.
  • EРазложение Каратеодори. Функция ff дифференцируема в точке aa, причём f′(a)=Lf'(a) = L, тогда и только тогда, когда существует функция φ\varphi, непрерывная в точке aa, с φ(a)=L\varphi(a) = L и f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) на всей области определения: чтобы продифференцировать, достаточно разложить приращение, не деля. Устанавливается в: 3. Три критерия.
  • FИз дифференцируемости следует непрерывность. Всякая функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в ней; правила используют это, чтобы множитель Каратеодори получался непрерывным. Устанавливается в: 4. Из дифференцируемости следует непрерывность.
  • GЛокальный характер. Производная в точке aa не меняется при сужении функции на множество, для которого aa остаётся предельной точкой, и зависит только от значений вблизи aa; поэтому работают на пересечении областей определения или на интервале. Устанавливается в: 5. Локальный характер производной.

  1. Участок 1 Определение и правила

    • Определять производную в предельной точке области определения как предел разностного отношения, с односторонними производными, и записывать её в виде высказывания с кванторами.
    • Доказывать равносильность разностного отношения, линейного приближения и разложения Каратеодори и выводить, что из дифференцируемости следует непрерывность, но не наоборот.
    • Получать с помощью разложений, без деления на приращения, правила дифференцирования линейной комбинации, произведения, обратной величины и частного и дифференцировать многочлены, рациональные функции и кусочно заданные функции.
    • Дифференцировать тригонометрические функции, экспоненту, логарифм и гиперболические функции с помощью пределов предыдущего раздела, а их композиции по правилу дифференцирования сложной функции.

    1. Определение производной. Если aa есть элемент области определения AA функции ff, являющийся предельной точкой множества AA, то f′(a)=Lf'(a) = L, когда (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right); равносильно, lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=L\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L.

      Опирается на: B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Производная как предел функции.

    2. Односторонние производные. Односторонние производные f+′(a)f'_+(a) и f−′(a)f'_-(a) суть односторонние пределы разностного отношения; если aa есть предельная точка области определения с обеих сторон, то ff дифференцируема в точке aa тогда и только тогда, когда обе существуют и равны, а если только с одной стороны, то производная есть производная с этой стороны.

      Использует: 1. Определение производной. Опирается на: B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Производная как предел функции.

    3. Три критерия. Равносильны: f′(a)=Lf'(a) = L; f(a+h)=f(a)+Lh+o⁡(h)f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h), когда hh стремится к 00; и существование функции φ\varphi, непрерывной в точке aa, с φ(a)=L\varphi(a) = L, такой, что f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) для всякого xx из области определения.

      Использует: 1. Определение производной. Опирается на: B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Производная как предел функции.

    4. Из дифференцируемости следует непрерывность. Если ff дифференцируема в точке aa, то она непрерывна в точке aa; обратное неверно: ∣x∣\abs{x} и x3\sqrt[3]{x} непрерывны в точке 00 и не дифференцируемы в точке 00.

      Использует: 2. Односторонние производные, 3. Три критерия. Опирается на: B (Наследие раздела 1), E (Разложение Каратеодори). Доказывается в уроке: Производная как предел функции.

    5. Локальный характер производной. Если FF есть сужение функции ff на множество BB, которое содержит aa и для которого aa есть предельная точка, и ff дифференцируема в точке aa, то F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a); а если BB содержит все точки области определения, близкие к aa, то ff дифференцируема в точке aa тогда и только тогда, когда дифференцируема FF.

      Использует: 1. Определение производной. Опирается на: B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Правила дифференцирования.

    6. Линейная комбинация и произведение. Если ff и gg дифференцируемы в точке aa, то дифференцируемы и αf+g\alpha f + g и fgfg, причём (αf+g)′(a)=αf′(a)+g′(a)(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a) и (fg)′(a)=f′(a) g(a)+f(a) g′(a)(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a).

      Использует: 3. Три критерия, 4. Из дифференцируемости следует непрерывность. Опирается на: B (Наследие раздела 1), E (Разложение Каратеодори), F (Из дифференцируемости следует непрерывность). Доказывается в уроке: Правила дифференцирования.

    7. Обратная величина и частное. Если ff и gg дифференцируемы в точке aa и g(a)≠0g(a) \neq 0, то aa есть предельная точка области определения функции fg\frac{f}{g} и выполняются равенства (1g)′(a)=−g′(a)(g(a))2\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2} и (fg)′(a)=f′(a) g(a)−f(a) g′(a)(g(a))2\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}.

      Использует: 3. Три критерия, 4. Из дифференцируемости следует непрерывность, 5. Локальный характер производной, 6. Линейная комбинация и произведение. Опирается на: B (Наследие раздела 1), C (Сохранение знака), E (Разложение Каратеодори), F (Из дифференцируемости следует непрерывность), G (Локальный характер). Доказывается в уроке: Правила дифференцирования.

    8. Степени, многочлены и рациональные функции. Для всякого целого m≠0m \neq 0 производная функции xmx^m равна mxm−1m x^{m - 1} во всей её области определения; всякий многочлен дифференцируем на R\mathbb{R}, с почленным дифференцированием, и всякая рациональная функция дифференцируема в своей области определения.

      Использует: 1. Определение производной, 6. Линейная комбинация и произведение, 7. Обратная величина и частное. Опирается на: D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Правила дифференцирования.

    9. Производная в точке стыка. Если ff совпадает с gg слева от cc и с hh справа, причём gg и hh дифференцируемы в точке cc, то ff дифференцируема в точке cc тогда и только тогда, когда g(c)=f(c)=h(c)g(c) = f(c) = h(c) и g′(c)=h′(c)g'(c) = h'(c); сравнения производных отдельных формул недостаточно.

      Использует: 2. Односторонние производные, 4. Из дифференцируемости следует непрерывность. Опирается на: B (Наследие раздела 1), F (Из дифференцируемости следует непрерывность). Доказывается в уроке: Правила дифференцирования.

    10. Тригонометрические функции. Для всякого действительного xx выполняются ddx(sin⁡x)=cos⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x и ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x; там, где cos⁡x≠0\cos x \neq 0, выполняется ddx(tan⁡x)=1cos⁡2x=1+tan⁡2x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x; а котангенс, секанс и косеканс дифференцируются по формулам производной частного и производной обратной величины.

      Использует: 1. Определение производной, 6. Линейная комбинация и произведение, 7. Обратная величина и частное. Опирается на: B (Наследие раздела 1), D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Производные элементарных функций.

    11. Экспонента, логарифм и гиперболические функции. ddx(ex)=ex\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x на R\mathbb{R}, ddx(ln⁡∣x∣)=1x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x} на R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, а производные функций sinh⁡x\sinh x, cosh⁡x\cosh x и tanh⁡x\tanh x равны cosh⁡x\cosh x, sinh⁡x\sinh x и 1cosh⁡2x\frac{1}{\cosh^2 x}.

      Использует: 1. Определение производной, 6. Линейная комбинация и произведение, 7. Обратная величина и частное. Опирается на: B (Наследие раздела 1), D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Производные элементарных функций.

    12. Правило дифференцирования сложной функции. Если gg дифференцируема в точке aa, а ff, определённая на множестве, содержащем значения функции gg, дифференцируема в точке g(a)g(a), то (f∘g)′(a)=f′(g(a)) g′(a)(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a); доказательство, которое делит на g(x)−g(a)g(x) - g(a), годится только при g′(a)≠0g'(a) \neq 0.

      Использует: 3. Три критерия, 4. Из дифференцируемости следует непрерывность. Опирается на: B (Наследие раздела 1), C (Сохранение знака), E (Разложение Каратеодори), F (Из дифференцируемости следует непрерывность). Доказывается в уроке: Правило дифференцирования сложной функции.

    13. Часто встречающиеся композиции. Правило верно на области определения функции f∘gf \circ g, когда aa есть её предельная точка, что имеет место, если область определения функции ff содержит интервал с центром g(a)g(a); с его помощью ddx((g(x))m)=m(g(x))m−1g′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x) для всякого целого m≠0m \neq 0, ddx(g(x))=g′(x)2g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} при g(a)>0g(a) > 0 и ddx(sin⁡g(x))=cos⁡g(x)⋅g′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x).

      Использует: 1. Определение производной, 5. Локальный характер производной, 8. Степени, многочлены и рациональные функции, 10. Тригонометрические функции, 12. Правило дифференцирования сложной функции. Опирается на: C (Сохранение знака), F (Из дифференцируемости следует непрерывность), G (Локальный характер). Доказывается в уроке: Правило дифференцирования сложной функции.

  2. Участок 2 Непрерывность, обратные функции и показатели

    • Доказывать с помощью точной верхней грани теорему Больцано, а с её помощью теорему о промежуточном значении, то, что образ промежутка при непрерывной функции есть промежуток, и то, что функция, обратная к непрерывной и строго монотонной, непрерывна.
    • Доказывать теорему о производной обратной функции, читая разложение Каратеодори в обратную сторону, и дифференцировать обратные тригонометрические функции, обратные гиперболические функции, корни и степени с рациональным показателем.
    • Дифференцировать неявно заданные функции, отличая вычисление производной от доказательства её существования.
    • Сводить к экспоненте показательные функции и логарифмы по любому основанию, степени с действительным показателем и показательно-степенные функции и обосновывать логарифмическое дифференцирование.

    1. Теорема Больцано. Если ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b} и f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b) или f(a)>0>f(b)f(a) > 0 > f(b), то существует cc из (a,b)\ioo{a}{b}, такое, что f(c)=0f(c) = 0.

      Опирается на: A (Аксиома полноты), C (Сохранение знака). Доказывается в уроке: Теорема о промежуточном значении.

    2. Теорема о промежуточном значении. Если ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b}, то она принимает всякое значение, заключённое между f(a)f(a) и f(b)f(b); следовательно, образ промежутка при непрерывной функции есть промежуток.

      Использует: 14. Теорема Больцано. Опирается на: B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Теорема о промежуточном значении.

    3. Непрерывность обратной функции. Если ff непрерывна и строго монотонна на промежутке II, то обратная к ней функция непрерывна на промежутке f(I)f(I).

      Использует: 15. Теорема о промежуточном значении. Опирается на: B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Теорема о промежуточном значении.

    4. Производная обратной функции. Если ff непрерывна и строго монотонна на промежутке II, содержащем более одной точки, и дифференцируема в точке aa, причём f′(a)≠0f'(a) \neq 0, то f−1f^{-1} дифференцируема в точке b=f(a)b = f(a) и (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}; если f′(a)=0f'(a) = 0, то f−1f^{-1} не дифференцируема в точке bb.

      Использует: 1. Определение производной, 3. Три критерия, 12. Правило дифференцирования сложной функции, 15. Теорема о промежуточном значении, 16. Непрерывность обратной функции. Опирается на: B (Наследие раздела 1), E (Разложение Каратеодори). Доказывается в уроке: Производная обратной функции и дифференцирование неявной функции.

    5. Обратные элементарные функции и корни. На своих областях дифференцируемости ddx(arcsin⁡x)=11−x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, ddx(arctan⁡x)=11+x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2} и ddx(arsinh⁡x)=1x2+1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{arsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}; функция xn\sqrt[n]{x} дифференцируема во всякой точке x≠0x \neq 0 своей области определения и не дифференцируема в точке 00; и ddx(xpq)=pqxpq−1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1} на (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

      Использует: 8. Степени, многочлены и рациональные функции, 10. Тригонометрические функции, 11. Экспонента, логарифм и гиперболические функции, 13. Часто встречающиеся композиции, 17. Производная обратной функции. Опирается на: B (Наследие раздела 1), D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Производная обратной функции и дифференцирование неявной функции.

    6. Показательная функция и логарифм по основанию a. Если a>0a > 0 и a≠1a \neq 1, то ddx(ax)=axln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a и ddx(log⁡a∣x∣)=1xln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}; а если uu дифференцируема в точке, то дифференцируема и eu(x)e^{u(x)}, с производной eu(x)u′(x)e^{u(x)} u'(x), и если, кроме того, uu не обращается в ней в нуль, то дифференцируема и ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)}, с производной u′(x)u(x)\frac{u'(x)}{u(x)}.

      Использует: 6. Линейная комбинация и произведение, 11. Экспонента, логарифм и гиперболические функции, 12. Правило дифференцирования сложной функции, 13. Часто встречающиеся композиции. Опирается на: D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Переменная в показателе и логарифмическое дифференцирование.

    7. Степени с действительным и переменным показателем. Для всякого действительного rr выполняется ddx(xr)=rxr−1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1} на (0,∞)\ioo{0}{\infty}; а если ff, принимающая положительные значения, и gg дифференцируемы в точке aa, то F(x)=(f(x))g(x)=eg(x)ln⁡f(x)F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)} дифференцируема в точке aa, причём F′(a)=(f(a))g(a)(g′(a)ln⁡f(a)+g(a)f′(a)f(a))F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right).

      Использует: 6. Линейная комбинация и произведение, 11. Экспонента, логарифм и гиперболические функции, 12. Правило дифференцирования сложной функции, 19. Показательная функция и логарифм по основанию a. Опирается на: D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Переменная в показателе и логарифмическое дифференцирование.

    8. Логарифмическое дифференцирование. Если f1,…,fkf_1, \ldots, f_k дифференцируемы в точке aa и не обращаются в нуль в точке aa, а fjf_j положительна, когда rjr_j не целое, то F=f1r1⋯fkrkF = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k} дифференцируема в точке aa и F′(a)F(a)=r1f1′(a)f1(a)+⋯+rkfk′(a)fk(a)\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}; дифференцируемость доказывается до логарифмирования.

      Использует: 4. Из дифференцируемости следует непрерывность, 5. Локальный характер производной, 6. Линейная комбинация и произведение, 13. Часто встречающиеся композиции, 19. Показательная функция и логарифм по основанию a, 20. Степени с действительным и переменным показателем. Опирается на: D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»), F (Из дифференцируемости следует непрерывность), G (Локальный характер). Доказывается в уроке: Переменная в показателе и логарифмическое дифференцирование.

    9. Пи в степени e и e в степени пи. Для всякого x>0x > 0 выполняется x1x≤e1ex^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}, причём равенство только при x=ex = e, поскольку логарифм лежит под своей касательной y=xey = \frac{x}{e}; в частности, πe<eπ\pi^e < e^\pi.

      Использует: 11. Экспонента, логарифм и гиперболические функции. Опирается на: D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Переменная в показателе и логарифмическое дифференцирование.

  3. Участок 3 Производные высших порядков и скорость изменения

    • Определять производные высших порядков и доказывать по индукции формулы для производной порядка nn степеней, экспоненты, синуса и косинуса, а также формулу Лейбница.
    • Придавать отдельный смысл символам dy\mathrm{d}y и dx\mathrm{d}x, доказывать, что дифференциал есть главная часть приращения, и использовать его для приближений и оценки погрешностей, не ограничивая их.
    • Читать производную как среднюю, мгновенную и относительную скорость изменения и описывать с её помощью движение по прямой.
    • Решать задачи на связанные скорости изменения по правилу дифференцирования сложной функции и явному методу.

    1. Производные высших порядков. f(0)=ff^{(0)} = f и f(n+1)=(f(n))′f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)', причём область определения каждой состоит из точек, в которых дифференцируема производная на порядок ниже; если ff и gg nn раз дифференцируемы на интервале, то (αf+g)(n)=αf(n)+g(n)\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}.

      Использует: 6. Линейная комбинация и произведение. Опирается на: D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»), G (Локальный характер). Доказывается в уроке: Производные высших порядков и дифференциал.

    2. Производные порядка n. На (0,∞)\ioo{0}{\infty} выполняется dndxn(xr)=r(r−1)⋯(r−n+1) xr−n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}; для всякого действительного xx выполняются dndxn(ecx)=cnecx\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx} и dndxn(sin⁡x)=sin⁡(x+nπ2)\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right); а коэффициенты многочлена ff суть числа f(k)(0)k!\frac{f^{(k)}(0)}{k!}.

      Использует: 8. Степени, многочлены и рациональные функции, 13. Часто встречающиеся композиции, 19. Показательная функция и логарифм по основанию a, 20. Степени с действительным и переменным показателем, 23. Производные высших порядков. Опирается на: D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Производные высших порядков и дифференциал.

    3. Формула Лейбница. Если ff и gg nn раз дифференцируемы на интервале, то таково же и fgfg, причём (fg)(n)=∑k=0n(nk)f(k)g(n−k)(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}.

      Использует: 6. Линейная комбинация и произведение, 23. Производные высших порядков. Опирается на: D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Производные высших порядков и дифференциал.

    4. Дифференциал. Если ff дифференцируема в точке aa, то приращение Δy=f(a+Δx)−f(a)\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a) удовлетворяет равенству Δy=dy+o⁡(Δx)\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x), где dy=f′(a) Δx\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x, и никакая другая линейная функция от Δx\Delta x ему не удовлетворяет; если f′(a)≠0f'(a) \neq 0, то Δy∼dy\Delta y \sim \mathrm{d}y; а если w=f(u)w = f(u), то dw=f′(u) du\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u.

      Использует: 3. Три критерия, 6. Линейная комбинация и произведение, 7. Обратная величина и частное, 12. Правило дифференцирования сложной функции. Опирается на: B (Наследие раздела 1). Доказывается в уроке: Производные высших порядков и дифференциал.

    5. Постоянная относительная скорость. Если y(t)=y0ekty(t) = y_0 e^{kt}, где y0>0y_0 > 0 и k≠0k \neq 0, то относительная скорость изменения y′(t)y(t)\frac{y'(t)}{y(t)} равна kk в каждый момент и y(t+T)=ekTy(t)y(t + T) = e^{kT} y(t): величина удваивается или уменьшается вдвое за каждый промежуток времени длительностью ln⁡2∣k∣\frac{\ln 2}{\abs{k}}.

      Использует: 19. Показательная функция и логарифм по основанию a. Опирается на: D (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Скорость изменения и связанные скорости.

    6. Знак производной в точке. Если ff определена на интервале II, дифференцируема в точке aa из II и f′(a)>0f'(a) > 0, то существует δ>0\delta > 0, такое, что для всякого xx из II выполняется f(x)<f(a)f(x) < f(a) при a−δ<x<aa - \delta < x < a и f(x)>f(a)f(x) > f(a) при a<x<a+δa < x < a + \delta; отсюда не следует, что ff возрастает вблизи aa. Поэтому модуль скорости возрастает, когда скорость и ускорение имеют один и тот же знак.

      Использует: 1. Определение производной, 6. Линейная комбинация и произведение. Опирается на: C (Сохранение знака). Доказывается в уроке: Скорость изменения и связанные скорости.

    7. Связанные скорости изменения. Если uu дифференцируема в точке t0t_0 и y(t)=g(u(t))y(t) = g(u(t)), где gg дифференцируема в точке u(t0)u(t_0), то y′(t0)=g′(u(t0)) u′(t0)y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0); а два выражения, равные в каждый момент некоторого промежутка и дифференцируемые в точке t0t_0, имеют одинаковую производную в точке t0t_0.

      Использует: 12. Правило дифференцирования сложной функции. Доказывается в уроке: Скорость изменения и связанные скорости.

К приложениям. Цепь останавливается там, где производная перестаёт быть предметом изучения и становится инструментом: следующий раздел начинается с теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях; доказывает теорему Ферма с помощью знака производной в точке, а из неё теоремы Ролля и Лагранжа о среднем значении, которые превращают знак производной в монотонность и дают правило Лопиталя, экстремумы, выпуклость и оценки, которых нет у дифференциала; и заканчивается методом Ньютона-Рафсона, который заменяет кривую её касательной.