Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Теорема о промежуточном значении

Краткое содержание

Это занятие доказывает первую большую теорему о функциях, непрерывных на промежутке: непрерывная функция не может перейти от одного значения к другому, не приняв всех промежуточных значений. Сначала с помощью аксиомы полноты доказывается теорема Больцано, которая гарантирует существование нуля, когда функция меняет знак; из неё следуют теорема о промежуточном значении, то, что образ промежутка есть промежуток, и то, что функция, обратная к непрерывной и строго монотонной функции, непрерывна; этот результат нужен для производной обратной функции. Теорема не говорит, где находится нуль, но метод деления отрезка пополам локализует его с любой желаемой точностью. На этом занятии теорема применяется к существованию корней уравнений, к многочленам нечётной степени и к неподвижным точкам.

Цели обучения

  1. Доказать теорему Больцано с помощью аксиомы полноты и вывести из неё теорему о промежуточном значении.
  2. Доказать, что образ промежутка при непрерывной функции есть промежуток, и вывести непрерывность функции, обратной к непрерывной и строго монотонной функции.
  3. Применять теорему для доказательства существования корней уравнений и локализовать их методом деления отрезка пополам.

Теорема Больцано

График функции, непрерывной на промежутке, в наглядном представлении рисуется без отрыва карандаша от бумаги; если он начинается ниже оси и заканчивается выше, он должен её пересечь. Эта интуиция нуждается в доказательстве, поскольку она зависит от действительных чисел: функция x2−2x^2 - 2 отрицательна в точке 00 и положительна в точке 22, но если рассматривать только рациональные числа, она нигде не обращалась бы в нуль, поскольку число 2\sqrt{2} не является рациональным. Поэтому доказательство использует аксиому полноты через точную верхнюю грань.

ТеоремаТеорема Больцано

Пусть ff непрерывна на [a,b]\icc{a}{b} и f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b). Тогда существует точка cc из (a,b)\ioo{a}{b}, такая, что f(c)=0f(c) = 0. То же верно, если f(a)>0>f(b)f(a) > 0 > f(b). Берётся точная верхняя грань точек, в которых функция отрицательна; сохранение знака из занятия о пределе и непрерывности не позволяет функции быть в ней ни отрицательной, ни положительной. Рисунок показывает множество этих точек и его точную верхнюю грань, а затем два невозможных случая.

Доказательство

  1. S={x∈[a,b]:f(x)<0},c=sup⁡SS = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}

    Пусть SS есть множество тех xx из [a,b]\icc{a}{b}, для которых f(x)<0f(x) < 0. Оно не пусто, так как содержит aa, и bb есть верхняя граница; по аксиоме полноты у него есть точная верхняя грань cc, причём a≤c≤ba \leq c \leq b.

  2. f(c)<0→c+δ2∈S,c+δ2>cf(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c

    Если f(c)<0f(c) < 0, то c≠bc \neq b, так как f(b)>0f(b) > 0. По сохранению знака ff отрицательна на [c,c+δ)\ico{c}{c + \delta} для некоторого δ>0\delta > 0, которое можно взять так, чтобы c+δ≤bc + \delta \leq b; тогда SS содержит точки, большие cc, и cc не являлось бы верхней границей.

  3. f(c)>0→sup⁡S≤c−δ<c,f(c)=0f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}

    Если f(c)>0f(c) > 0, то c≠ac \neq a. По сохранению знака ff положительна на (c−δ,c]\ioc{c - \delta}{c} для некоторого δ>0\delta > 0, которое можно взять так, чтобы c−δ≥ac - \delta \geq a, так что ни одна точка этого промежутка не лежит в SS; поскольку точек, больших cc, в нём тоже нет, число c−δc - \delta было бы верхней границей, меньшей точной верхней грани. Следовательно, f(c)=0f(c) = 0, и cc не совпадает ни с aa, ни с bb. Второй случай сводится к первому переходом к функции −f-f.