Teorema do valor intermediário

Resumo

Esta aula demonstra o primeiro grande teorema sobre as funções contínuas num intervalo: uma função contínua não pode passar de um valor a outro sem tomar todos os valores intermediários. Demonstra-se primeiro o teorema de Bolzano, que garante um zero quando a função muda de sinal, com o axioma da completude; dele decorrem o teorema do valor intermediário, que a imagem de um intervalo é um intervalo e que a inversa de uma função contínua e estritamente monótona é contínua, resultado de que a derivada da inversa precisa. O teorema não diz onde está o zero, mas o método da bisseção o localiza com a precisão que se queira. A aula o aplica à existência de raízes de equações, aos polinômios de grau ímpar e aos pontos fixos.

Objetivos de aprendizagem

Demonstrar o teorema de Bolzano com o axioma da completude e deduzir dele o teorema do valor intermediário.
Demonstrar que a imagem de um intervalo por uma função contínua é um intervalo, e deduzir a continuidade da inversa de uma função contínua e estritamente monótona.
Usar o teorema para provar a existência de soluções de equações, e localizá-las com o método da bisseção.

O teorema de Bolzano

O gráfico de uma função contínua num intervalo desenha-se, na imagem intuitiva, sem levantar o lápis; se começa abaixo do eixo e termina acima dele, tem de cruzá-lo. Essa intuição precisa de uma demonstração, porque depende dos números reais: a função $x^2 - 2$ é negativa em $0$ e positiva em $2$ , mas, se só se considerassem os números racionais, nunca se anularia, porque $\sqrt{2}$ não é racional. A demonstração usa, portanto, o axioma da completude, por meio do supremo.

TeoremaTeorema de Bolzano

Seja $f$ contínua em $\icc{a}{b}$ , com $f(a) < 0 < f(b)$ . Então existe $c$ em $\ioo{a}{b}$ tal que $f(c) = 0$ . O mesmo vale se $f(a) > 0 > f(b)$ . Toma-se o supremo dos pontos onde a função é negativa; a conservação do sinal da aula sobre limite e continuidade impede que a função seja negativa ou positiva nele. A figura mostra o conjunto desses pontos e o seu supremo, e depois os dois casos impossíveis.

Demonstração

$S = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}$
Seja $S$ o conjunto dos $x$ de $\icc{a}{b}$ em que $f(x) < 0$ . Não é vazio, porque contém $a$ , e $b$ é cota superior; pelo axioma da completude, tem um supremo $c$ , com $a \leq c \leq b$ .
$f(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c$
Se $f(c) < 0$ , então $c \neq b$ , porque $f(b) > 0$ . Pela conservação do sinal, $f$ é negativa em $\ico{c}{c + \delta}$ para algum $\delta > 0$ , que pode ser tomado com $c + \delta \leq b$ ; então $S$ contém pontos maiores que $c$ , e $c$ não seria cota superior.
$f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}$
Se $f(c) > 0$ , então $c \neq a$ . Pela conservação do sinal, $f$ é positiva em $\ioc{c - \delta}{c}$ para algum $\delta > 0$ , que pode ser tomado com $c - \delta \geq a$ , de modo que nenhum ponto desse intervalo está em $S$ ; como também não os há maiores que $c$ , o número $c - \delta$ seria uma cota superior menor que o supremo. Portanto, $f(c) = 0$ , e $c$ não é $a$ nem $b$ . O segundo caso se reduz ao primeiro com $-f$ .