Teorema dei valori intermedi

Riepilogo

Questa lezione dimostra il primo grande teorema sulle funzioni continue in un intervallo: una funzione continua non può passare da un valore a un altro senza assumere tutti i valori intermedi. Si dimostra prima il teorema di Bolzano, che assicura uno zero quando la funzione cambia segno, con l’assioma di completezza; da esso seguono il teorema dei valori intermedi, il fatto che l’immagine di un intervallo è un intervallo e il fatto che l’inversa di una funzione continua e strettamente monotona è continua, risultato di cui ha bisogno la derivata dell’inversa. Il teorema non dice dove si trova lo zero, ma il metodo di bisezione lo localizza con la precisione che si desidera. La lezione lo applica all’esistenza di radici di equazioni, ai polinomi di grado dispari e ai punti fissi.

Obiettivi di apprendimento

Dimostrare il teorema di Bolzano con l’assioma di completezza e dedurne il teorema dei valori intermedi.
Dimostrare che l’immagine di un intervallo mediante una funzione continua è un intervallo, e dedurne la continuità dell’inversa di una funzione continua e strettamente monotona.
Usare il teorema per provare l’esistenza di soluzioni di equazioni, e localizzarle con il metodo di bisezione.

Il teorema di Bolzano

Il grafico di una funzione continua in un intervallo si disegna, nell’immagine intuitiva, senza sollevare la matita; se comincia sotto l’asse e finisce sopra, deve attraversarlo. Questa intuizione ha bisogno di una dimostrazione, perché dipende dai numeri reali: la funzione $x^2 - 2$ è negativa in $0$ e positiva in $2$ , ma se si considerassero solo i numeri razionali non si annullerebbe mai, perché $\sqrt{2}$ non è razionale. La dimostrazione usa quindi l’assioma di completezza, attraverso l’estremo superiore.

TeoremaTeorema di Bolzano

Sia $f$ continua in $\icc{a}{b}$ , con $f(a) < 0 < f(b)$ . Allora esiste $c$ in $\ioo{a}{b}$ tale che $f(c) = 0$ . Lo stesso vale se $f(a) > 0 > f(b)$ . Si prende l’estremo superiore dei punti in cui la funzione è negativa; la permanenza del segno della lezione su limite e continuità impedisce che la funzione sia negativa o positiva in esso. La figura mostra l’insieme di questi punti e il suo estremo superiore, e poi i due casi impossibili.

Dimostrazione

$S = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}$
Sia $S$ l’insieme degli $x$ di $\icc{a}{b}$ in cui $f(x) < 0$ . Non è vuoto, perché contiene $a$ , e $b$ è un maggiorante; per l’assioma di completezza ha un estremo superiore $c$ , con $a \leq c \leq b$ .
$f(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c$
Se $f(c) < 0$ , allora $c \neq b$ , perché $f(b) > 0$ . Per la permanenza del segno, $f$ è negativa in $\ico{c}{c + \delta}$ per qualche $\delta > 0$ , che si può prendere con $c + \delta \leq b$ ; allora $S$ contiene punti maggiori di $c$ , e $c$ non sarebbe un maggiorante.
$f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}$
Se $f(c) > 0$ , allora $c \neq a$ . Per la permanenza del segno, $f$ è positiva in $\ioc{c - \delta}{c}$ per qualche $\delta > 0$ , che si può prendere con $c - \delta \geq a$ , in modo che nessun punto di quell’intervallo stia in $S$ ; poiché non ce ne sono neppure di maggiori di $c$ , il numero $c - \delta$ sarebbe un maggiorante minore dell’estremo superiore. Pertanto $f(c) = 0$ , e $c$ non è né $a$ né $b$ . Il secondo caso si riconduce al primo con $-f$ .