مبرهنة القيم الوسطى

ملخص

يبرهن هذا الدرس أولى المبرهنات الكبرى عن الدوال المتصلة على فترة: لا يمكن لدالة متصلة أن تنتقل من قيمة إلى أخرى دون أن تأخذ جميع القيم الواقعة بينهما. تُبرهن أولًا، بمسلّمة التمام، مبرهنة بولزانو، التي تضمن وجود صفر عندما تغيّر الدالة إشارتها؛ ومنها تنتج مبرهنة القيم الوسطى، وكون صورة الفترة فترةً، وكون الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة تمامًا متصلةً، وهذا ما تحتاج إليه مشتقة الدالة العكسية. لا تقول المبرهنة أين يقع الصفر، لكن طريقة التنصيف تحدد موضعه بأي دقة مطلوبة. ويطبّق الدرس المبرهنة على وجود جذور المعادلات، وعلى كثيرات الحدود ذات الدرجة الفردية، وعلى النقاط الثابتة.

أهداف التعلم

برهنة مبرهنة بولزانو بمسلّمة التمام واستنتاج مبرهنة القيم الوسطى منها.
برهنة أن صورة الفترة بدالة متصلة فترة، واستنتاج اتصال الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة تمامًا.
استعمال المبرهنة لإثبات وجود جذور للمعادلات، وتحديد مواضعها بطريقة التنصيف.

مبرهنة بولزانو

يُرسم التمثيل البياني لدالة متصلة على فترة، في التصور الحدسي، دون رفع القلم؛ فإذا بدأ تحت المحور وانتهى فوقه، وجب أن يقطعه. ويحتاج هذا الحدس إلى برهان، لأنه يتوقف على الأعداد الحقيقية: فالدالة $x^2 - 2$ سالبة عند $0$ وموجبة عند $2$ ، ولكن لو اقتصرنا على الأعداد النسبية لما انعدمت أبدًا، لأن $\sqrt{2}$ ليس عددًا نسبيًا. لذلك يستعمل البرهان مسلّمة التمام، عن طريق الحد الأعلى الأصغر.

مبرهنةمبرهنة بولزانو

لتكن $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ ، مع $f(a) < 0 < f(b)$ . عندئذ يوجد $c$ في $\ioo{a}{b}$ بحيث $f(c) = 0$ . ويصح الأمر نفسه إذا كان $f(a) > 0 > f(b)$ . يؤخذ الحد الأعلى الأصغر للنقاط التي تكون فيها الدالة سالبة؛ ويمنع حفظ الإشارة، من الدرس المخصّص لـالنهاية والاتصال، أن تكون الدالة سالبة أو موجبة عنده. يبيّن الرسم مجموعة تلك النقاط وحدّها الأعلى الأصغر، ثم الحالتين المستحيلتين.

البرهان

$S = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}$
لتكن $S$ مجموعة قيم $x$ من $\icc{a}{b}$ التي يتحقق فيها $f(x) < 0$ . وهي غير خالية، لأنها تحتوي على $a$ ، و $b$ حد أعلى لها؛ وبحسب مسلّمة التمام لها حد أعلى أصغر $c$ ، مع $a \leq c \leq b$ .
$f(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c$
إذا كان $f(c) < 0$ ، فإن $c \neq b$ ، لأن $f(b) > 0$ . وبحفظ الإشارة، تكون $f$ سالبة على $\ico{c}{c + \delta}$ لعدد ما $\delta > 0$ ، يمكن اختياره بحيث $c + \delta \leq b$ ؛ وعندئذ تحتوي $S$ على نقاط أكبر من $c$ ، ولما كان $c$ حدًا أعلى.
$f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}$
إذا كان $f(c) > 0$ ، فإن $c \neq a$ . وبحفظ الإشارة، تكون $f$ موجبة على $\ioc{c - \delta}{c}$ لعدد ما $\delta > 0$ ، يمكن اختياره بحيث $c - \delta \geq a$ ، فلا تنتمي أي نقطة من تلك الفترة إلى $S$ ؛ وبما أنه لا توجد فيها أيضًا نقاط أكبر من $c$ ، لكان العدد $c - \delta$ حدًا أعلى أصغر من الحد الأعلى الأصغر. إذن $f(c) = 0$ ، و $c$ ليس $a$ ولا $b$ . وتُردّ الحالة الثانية إلى الأولى بأخذ $-f$ .