Dérivées : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité sur les dérivées. Elle réunit en une seule chaîne déductive ce que les dix leçons de l’unité ont démontré : la dérivée comme limite du taux d’accroissement, ses trois caractérisations équivalentes et les règles de dérivation, toutes obtenues à partir de la factorisation de Carathéodory sans diviser par des quantités qui peuvent s’annuler, avec les dérivées des fonctions élémentaires et la règle de dérivation en chaîne ; le théorème des valeurs intermédiaires et la continuité de la réciproque, qui fondent la dérivée de la fonction réciproque, et la réduction à la fonction exponentielle des puissances et des exponentielles de base quelconque ; et les dérivées successives, la différentielle et les taux de variation. Elle explique comment l’unité s’appuie sur l’unité précédente et sur Algèbre et géométrie I et II, et comment elle prépare les applications des dérivées. Elle se termine par une évaluation de sortie, parallèle à l’évaluation d’entrée, et par dix défis, plus difficiles que les problèmes des leçons, dont chacun combine des résultats de plusieurs d’entre elles.

Objectifs d’apprentissage

Exposer dans l’ordre logique les définitions et les théorèmes principaux de l’unité, en indiquant de quels résultats antérieurs dépend chacun d’eux et dans quelles démonstrations la factorisation de Carathéodory est réutilisée.
Distinguer ce que l’unité admet de ce qu’elle démontre, et reconnaître les hypothèses de chaque résultat, comme celle de la dérivée de la réciproque ou celle qu’exige la dérivation implicite.
Relier les résultats de l’unité à l’unité sur les limites et la continuité, à Algèbre et géométrie I et II et aux applications des dérivées.
Résoudre des problèmes non routiniers qui combinent la définition de la dérivée, les règles, la règle de dérivation en chaîne, les valeurs intermédiaires, la dérivée de la réciproque, les puissances à exposant variable, les dérivées successives, la différentielle et les taux de variation.

L’acquis de l’unité

L’unité tout entière repose sur une idée : la dérivée est une limite, et l’unité précédente avait déjà fourni tout le nécessaire pour la calculer et la manier. Mais le taux d’accroissement est une division, et diviser par un accroissement qui peut s’annuler est la source des démonstrations fautives. La caractérisation de Carathéodory remplace la division par un produit, avec un facteur $\varphi$ continu en $a$ :

f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

Grâce à elle, démontrer qu’une fonction est dérivable se ramène à factoriser son accroissement par un facteur continu, et la continuité du facteur est tranchée par les théorèmes de l’unité précédente. C’est ainsi qu’ont été obtenues les règles de la combinaison linéaire, du produit et de l’inverse, la règle de dérivation en chaîne et la dérivée de la fonction réciproque, chacune citant les résultats précédents au lieu de les refaire.

La définition et les règles

La leçon sur la dérivée comme limite est arrivée à la même définition à partir de la tangente et à partir de la vitesse, et a fixé où elle a un sens : en un point de l’ensemble de définition qui en est un point d’accumulation. Elle a écrit la dérivée comme énoncé quantifié, a défini les dérivées à gauche et à droite comme limites à gauche et à droite du taux d’accroissement, la tangente et la normale, la fonction dérivée et la notation de Leibniz, et a démontré que la dérivée admet trois formulations équivalentes : la limite du taux d’accroissement, l’approximation $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h)$ et la factorisation de Carathéodory. De cette dernière on a tiré en deux lignes que dérivable implique continue ; la valeur absolue et la racine cubique ont montré que l’implication dans l’autre sens est fausse. La leçon sur les règles de dérivation a d’abord démontré que la dérivée ne dépend que de ce qui se passe près du point, puis, en combinant des factorisations, les règles de la combinaison linéaire, du produit, de l’inverse et du quotient ; avec elles, elle a dérivé les puissances à exposant entier, les polynômes et les fonctions rationnelles, et a tranché la dérivabilité au point de raccordement de deux morceaux, où les dérivées des formules ne suffisent pas. La leçon sur les dérivées des fonctions élémentaires a obtenu celles du sinus et du cosinus à partir de la limite trigonométrique fondamentale et des formules d’addition, celles de la fonction exponentielle et de $\ln \abs{x}$ à partir des limites remarquables, sans la règle de dérivation en chaîne ni la règle de dérivation de la fonction réciproque, et celles des autres fonctions trigonométriques et des fonctions hyperboliques avec les règles. La leçon sur la règle de dérivation en chaîne a combiné deux factorisations, a expliqué pourquoi la démonstration qui divise par $g(x) - g(a)$ échoue lorsque la fonction intérieure reprend sa valeur, a pris soin de l’ensemble de définition de la composée et a écrit la règle dans la notation de Leibniz, où elle ressemble à une simplification de fractions sans en être une.

La continuité, les réciproques et les exposants

La leçon sur le théorème des valeurs intermédiaires a démontré le théorème de Bolzano avec la borne supérieure des points où la fonction est strictement négative et la conservation du signe, et en a tiré le théorème des valeurs intermédiaires, le fait que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle et le fait que la réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est continue ; la méthode de dichotomie a fait de la démonstration un procédé. La leçon sur la dérivée de la fonction réciproque a lu la factorisation de Carathéodory à rebours : si $f'(a) \neq 0$ , le facteur ne s’annule pas, et son inverse, composé avec la réciproque continue, factorise l’accroissement de la réciproque ; si $f'(a) = 0$ , la règle de dérivation en chaîne empêche la réciproque d’être dérivable. Avec ce théorème, elle a dérivé les fonctions trigonométriques réciproques, les fonctions hyperboliques réciproques, les racines et les puissances à exposant rationnel, et elle a dérivé des fonctions définies implicitement, en supposant dans chaque cas qu’elles existent et sont dérivables. La leçon sur la variable en exposant a tout ramené à la fonction exponentielle, avec $a^x = e^{x \ln a}$ et $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ : elle a dérivé l’exponentielle et le logarithme de base quelconque, les puissances à exposant réel et celles à base et exposant variables, a justifié la dérivation logarithmique en démontrant la dérivabilité avant de prendre des logarithmes, et a établi que $\pi^e < e^\pi$ grâce à la tangente au logarithme qui passe par l’origine.

Les dérivées successives et les taux de variation

La leçon sur les dérivées successives et la différentielle a défini par récurrence les dérivées d’ordre supérieur, avec leur ensemble de définition, et a démontré par récurrence les formules d’ordre $n$ des puissances, de l’exponentielle, du sinus et du cosinus, ainsi que la formule de Leibniz, qui a les coefficients du binôme de Newton. Elle a donné un sens séparément à $\mathrm{d}y$ et à $\mathrm{d}x$ : la différentielle $\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x$ est l’unique partie linéaire de l’accroissement qui en diffère d’une quantité négligeable devant $\Delta x$ ; elle l’a utilisée pour approcher des valeurs et pour estimer la propagation des erreurs, sans majorer l’erreur de l’approximation, ce qui exige des outils ultérieurs. La leçon sur les taux de variation a lu la dérivée comme la rapidité avec laquelle varie une grandeur : elle a distingué le taux moyen, le taux instantané et le taux relatif, a caractérisé la croissance à taux relatif constant, a décrit le mouvement rectiligne avec la vitesse, la norme de la vitesse et l’accélération, a démontré ce que dit le signe de la dérivée en un point sur les valeurs voisines, et rien de plus, et a fondé sur la règle de dérivation en chaîne une méthode explicite pour les taux liés.

Ce qui est admis, ce qui est démontré et ce qui reste

Le bilan de l’unité peut se résumer ainsi :

Sont admis l’axiome de la borne supérieure, que dans cette unité seul le théorème de Bolzano utilise directement, les théorèmes de l’unité sur les limites et la continuité et des résultats démontrés en Algèbre et géométrie : les formules d’addition, les identités fondamentales, les règles de calcul sur les puissances et sur les logarithmes, l’inégalité $e^x \geq 1 + x$ , la monotonie des fonctions qui définissent les réciproques, la récurrence et la formule du binôme de Newton. On suppose en outre, dans chaque cas, qu’une équation définit une fonction dérivable lorsqu’on la dérive implicitement.
Sont démontrés des faits qu’Algèbre et géométrie avait admis ou annoncés : le théorème des valeurs intermédiaires, le fait que la tangente à la courbe de $e^x$ en $(0, 1)$ a pour pente $1$ et que $e$ est la seule base dont l’exponentielle a cette pente ; et la tangente, qui pour les coniques se définissait comme la droite qui touche la courbe sans la traverser, se définit désormais pour toute courbe représentative.
Quatre outils sont réutilisés au lieu de répéter des raisonnements : la factorisation de Carathéodory, le théorème selon lequel dérivable implique continue, le caractère local de la dérivée et la conservation du signe.
Reste pour plus tard ce qui exige davantage que la dérivée en un point : le théorème des accroissements finis et ce qui en découle, la monotonie par le signe de la dérivée, les extremums, la règle de L’Hôpital et les majorations de l’erreur de la différentielle, dans l’unité qui suit ; le polynôme de Taylor et l’intégrale, en Analyse II ; et le théorème qui garantit les fonctions définies implicitement, dans le calcul à plusieurs variables.

La figure ci-dessous réunit les trois tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait en pointillés au maillon où il est établi, sauf ceux qui proviennent de l’unité précédente ou d’Algèbre et géométrie, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

AAxiome de la borne supérieure. On admet, depuis Algèbre et géométrie I, que les réels forment un corps ordonné complet : toute partie non vide et majorée de l’ensemble des réels possède une borne supérieure. Admis sans démonstration dans cette unité.
BHéritage de l’unité 1. Résultats démontrés dans l’unité sur les limites et la continuité : les opérations sur les limites, avec la limite d’une restriction et celle d’une composée ; les limites à gauche et à droite ; la continuité, celle des opérations et celle de la composée ; la continuité des fonctions élémentaires et de la réciproque d’une fonction monotone dont l’image est un intervalle ; les limites de $\frac{\sin h}{h}$ , $\frac{1 - \cos h}{h}$ , $\frac{e^h - 1}{h}$ et $\frac{\ln(1 + h)}{h}$ en $0$ ; et le petit $\operatorname{o}$ et l’équivalence. Admis sans démonstration dans cette unité.
CConservation du signe. Démontrée dans l’unité sur les limites et la continuité : si $f$ tend en $a$ vers une limite $L \neq 0$ , au voisinage de $a$ la fonction a le signe de $L$ ; et si $f$ est continue en $a$ avec $f(a) \neq 0$ , au voisinage de $a$ elle a le signe de $f(a)$ et ne s’annule pas. Admis sans démonstration dans cette unité.
DHéritage d’Algèbre et géométrie. Résultats démontrés en Algèbre et géométrie I et II : la récurrence, la formule du binôme de Newton et la formule de Pascal ; les formules d’addition et les identités fondamentales trigonométriques et hyperboliques ; les règles de calcul sur les puissances et sur les logarithmes, le changement de base et l’inégalité $e^x \geq 1 + x$ ; et la monotonie des restrictions qui définissent les fonctions trigonométriques réciproques et des fonctions hyperboliques. Admis sans démonstration dans cette unité.
EFactorisation de Carathéodory. $f$ est dérivable en $a$ , avec $f'(a) = L$ , si et seulement s’il existe $\varphi$ , continue en $a$ , avec $\varphi(a) = L$ et $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ sur tout l’ensemble de définition : pour dériver, il suffit de factoriser l’accroissement, sans diviser. Établi dans: 3. Trois caractérisations.
FDérivable implique continue. Toute fonction dérivable en un point y est continue ; les règles s’en servent pour que le facteur de Carathéodory soit continu. Établi dans: 4. Dérivable implique continue.
GCaractère local. La dérivée en $a$ ne change pas quand on restreint la fonction à un ensemble dont $a$ reste un point d’accumulation, et elle ne dépend que des valeurs voisines de $a$ ; c’est pourquoi on travaille sur l’intersection des ensembles de définition ou sur un intervalle ouvert. Établi dans: 5. Caractère local de la dérivée.

Tronçon 1 La définition et les règles
- Définir la dérivée en un point d’accumulation de l’ensemble de définition comme la limite du taux d’accroissement, avec ses dérivées à gauche et à droite, et l’écrire comme énoncé quantifié.
- Démontrer l’équivalence du taux d’accroissement, de l’approximation affine et de la factorisation de Carathéodory, et en déduire que dérivable implique continue, mais pas l’implication dans l’autre sens.
- Obtenir par des factorisations, sans diviser par des accroissements, les règles de la combinaison linéaire, du produit, de l’inverse et du quotient, et dériver des polynômes, des fonctions rationnelles et des fonctions définies par morceaux.
- Dériver les fonctions trigonométriques, l’exponentielle, le logarithme et les fonctions hyperboliques avec les limites de l’unité précédente, et leurs composées avec la règle de dérivation en chaîne.
1. Définition de la dérivée. Si $a$ est un élément de l’ensemble de définition $A$ de $f$ qui est un point d’accumulation de $A$ , on a $f'(a) = L$ lorsque $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)$ ; de manière équivalente, $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L$ .
  Repose sur: B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: La dérivée comme limite d’une fonction.
2. Dérivées à gauche et à droite. Les dérivées à droite et à gauche $f'_+(a)$ et $f'_-(a)$ sont les limites à droite et à gauche du taux d’accroissement ; si $a$ est un point d’accumulation de l’ensemble de définition des deux côtés, $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si les deux existent et sont égales, et s’il ne l’est que d’un côté, la dérivée est celle de ce côté.
  Utilise: 1. Définition de la dérivée. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: La dérivée comme limite d’une fonction.
3. Trois caractérisations. Sont équivalentes : $f'(a) = L$ ; $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ quand $h$ tend vers $0$ ; et l’existence d’une fonction $\varphi$ , continue en $a$ , avec $\varphi(a) = L$ , telle que $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ pour tout $x$ de l’ensemble de définition.
  Utilise: 1. Définition de la dérivée. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: La dérivée comme limite d’une fonction.
4. Dérivable implique continue. Si $f$ est dérivable en $a$ , elle est continue en $a$ ; l’implication dans l’autre sens est fausse : $\abs{x}$ et $\sqrt[3]{x}$ sont continues en $0$ et ne sont pas dérivables en $0$ .
  Utilise: 2. Dérivées à gauche et à droite, 3. Trois caractérisations. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), E (Factorisation de Carathéodory). Démontré dans: La dérivée comme limite d’une fonction.
5. Caractère local de la dérivée. Si $F$ est la restriction de $f$ à un ensemble $B$ qui contient $a$ et dont $a$ est un point d’accumulation, et si $f$ est dérivable en $a$ , alors $F'(a) = f'(a)$ ; et si $B$ contient tous les points de l’ensemble de définition voisins de $a$ , $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $F$ l’est.
  Utilise: 1. Définition de la dérivée. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: Règles de dérivation.
6. Combinaison linéaire et produit. Si $f$ et $g$ sont dérivables en $a$ , $\alpha f + g$ et $fg$ le sont aussi, avec $(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a)$ et $(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)$ .
  Utilise: 3. Trois caractérisations, 4. Dérivable implique continue. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), E (Factorisation de Carathéodory), F (Dérivable implique continue). Démontré dans: Règles de dérivation.
7. Inverse et quotient. Si $f$ et $g$ sont dérivables en $a$ et $g(a) \neq 0$ , alors $a$ est un point d’accumulation de l’ensemble de définition de $\frac{f}{g}$ , et l’on a $\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ et $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ .
  Utilise: 3. Trois caractérisations, 4. Dérivable implique continue, 5. Caractère local de la dérivée, 6. Combinaison linéaire et produit. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), C (Conservation du signe), E (Factorisation de Carathéodory), F (Dérivable implique continue), G (Caractère local). Démontré dans: Règles de dérivation.
8. Puissances, polynômes et fonctions rationnelles. Pour tout entier $m \neq 0$ , la dérivée de $x^m$ est $m x^{m - 1}$ sur tout son ensemble de définition ; tout polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$ , avec la dérivée terme à terme, et toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.
  Utilise: 1. Définition de la dérivée, 6. Combinaison linéaire et produit, 7. Inverse et quotient. Repose sur: D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: Règles de dérivation.
9. Dérivée en un point de raccordement. Si $f$ coïncide avec $g$ à gauche de $c$ et avec $h$ à droite, avec $g$ et $h$ dérivables en $c$ , alors $f$ est dérivable en $c$ si et seulement si $g(c) = f(c) = h(c)$ et $g'(c) = h'(c)$ ; comparer les dérivées des formules ne suffit pas.
  Utilise: 2. Dérivées à gauche et à droite, 4. Dérivable implique continue. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), F (Dérivable implique continue). Démontré dans: Règles de dérivation.
10. Fonctions trigonométriques. Pour tout réel $x$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x$ et $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x$ ; là où $\cos x \neq 0$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ ; et la cotangente, la sécante et la cosécante se dérivent avec les règles du quotient et de l’inverse.
  Utilise: 1. Définition de la dérivée, 6. Combinaison linéaire et produit, 7. Inverse et quotient. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: Dérivées des fonctions élémentaires.
11. Exponentielle, logarithme et fonctions hyperboliques. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x$ sur $\mathbb{R}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ , et les dérivées de $\sinh x$ , $\cosh x$ et $\tanh x$ sont $\cosh x$ , $\sinh x$ et $\frac{1}{\cosh^2 x}$ .
  Utilise: 1. Définition de la dérivée, 6. Combinaison linéaire et produit, 7. Inverse et quotient. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: Dérivées des fonctions élémentaires.
12. Règle de dérivation en chaîne. Si $g$ est dérivable en $a$ et si $f$ , définie sur un ensemble qui contient les valeurs de $g$ , est dérivable en $g(a)$ , alors $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)$ ; la démonstration qui divise par $g(x) - g(a)$ ne vaut que lorsque $g'(a) \neq 0$ .
  Utilise: 3. Trois caractérisations, 4. Dérivable implique continue. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), C (Conservation du signe), E (Factorisation de Carathéodory), F (Dérivable implique continue). Démontré dans: Règle de dérivation en chaîne pour la composition de fonctions.
13. Composées usuelles. La règle vaut sur l’ensemble de définition de $f \circ g$ lorsque $a$ en est un point d’accumulation, ce qui a lieu si l’ensemble de définition de $f$ contient un intervalle de centre $g(a)$ ; avec elle, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)$ pour tout entier $m \neq 0$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ si $g(a) > 0$ , et $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)$ .
  Utilise: 1. Définition de la dérivée, 5. Caractère local de la dérivée, 8. Puissances, polynômes et fonctions rationnelles, 10. Fonctions trigonométriques, 12. Règle de dérivation en chaîne. Repose sur: C (Conservation du signe), F (Dérivable implique continue), G (Caractère local). Démontré dans: Règle de dérivation en chaîne pour la composition de fonctions.
Tronçon 2 La continuité, les réciproques et les exposants
- Démontrer avec la borne supérieure le théorème de Bolzano et, grâce à lui, le théorème des valeurs intermédiaires, le fait que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle et le fait que la réciproque d’une fonction continue et strictement monotone est continue.
- Démontrer la dérivée de la fonction réciproque en lisant à rebours la factorisation de Carathéodory, et dériver les fonctions trigonométriques réciproques, les fonctions hyperboliques réciproques, les racines et les puissances à exposant rationnel.
- Dériver des fonctions définies implicitement, en distinguant le calcul de la dérivée de la preuve qu’elle existe.
- Ramener à la fonction exponentielle les exponentielles et les logarithmes de base quelconque et les puissances à exposant réel ou à base et exposant variables, et justifier la dérivation logarithmique.
1. Théorème de Bolzano. Si $f$ est continue sur $\icc{a}{b}$ et si $f(a) < 0 < f(b)$ , ou $f(a) > 0 > f(b)$ , il existe $c$ dans $\ioo{a}{b}$ tel que $f(c) = 0$ .
  Repose sur: A (Axiome de la borne supérieure), C (Conservation du signe). Démontré dans: Théorème des valeurs intermédiaires.
2. Théorème des valeurs intermédiaires. Si $f$ est continue sur $\icc{a}{b}$ , elle prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ ; par conséquent, l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
  Utilise: 14. Théorème de Bolzano. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: Théorème des valeurs intermédiaires.
3. Continuité de la réciproque. Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , sa réciproque est continue sur l’intervalle $f(I)$ .
  Utilise: 15. Théorème des valeurs intermédiaires. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: Théorème des valeurs intermédiaires.
4. Dérivée de la fonction réciproque. Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ non réduit à un point et dérivable en $a$ , avec $f'(a) \neq 0$ , alors $f^{-1}$ est dérivable en $b = f(a)$ , et $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ ; si $f'(a) = 0$ , $f^{-1}$ n’est pas dérivable en $b$ .
  Utilise: 1. Définition de la dérivée, 3. Trois caractérisations, 12. Règle de dérivation en chaîne, 15. Théorème des valeurs intermédiaires, 16. Continuité de la réciproque. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), E (Factorisation de Carathéodory). Démontré dans: Dérivée de la fonction réciproque et dérivation implicite.
5. Réciproques élémentaires et racines. Sur leurs ensembles de dérivabilité, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}$ et $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{argsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ ; $\sqrt[n]{x}$ est dérivable en tout $x \neq 0$ de son ensemble de définition et pas en $0$ ; et $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$ sur $\ioo{0}{\infty}$ .
  Utilise: 8. Puissances, polynômes et fonctions rationnelles, 10. Fonctions trigonométriques, 11. Exponentielle, logarithme et fonctions hyperboliques, 13. Composées usuelles, 17. Dérivée de la fonction réciproque. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: Dérivée de la fonction réciproque et dérivation implicite.
6. Exponentielle et logarithme de base a. Si $a > 0$ et $a \neq 1$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a$ et $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}$ ; et si $u$ est dérivable en un point, $e^{u(x)}$ l’est aussi, de dérivée $e^{u(x)} u'(x)$ , et si de plus $u$ ne s’y annule pas, $\ln \abs{u(x)}$ l’est aussi, de dérivée $\frac{u'(x)}{u(x)}$ .
  Utilise: 6. Combinaison linéaire et produit, 11. Exponentielle, logarithme et fonctions hyperboliques, 12. Règle de dérivation en chaîne, 13. Composées usuelles. Repose sur: D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: La variable en exposant et la dérivation logarithmique.
7. Puissances à exposant réel et variable. Pour tout réel $r$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}$ sur $\ioo{0}{\infty}$ ; et si $f$ , à valeurs strictement positives, et $g$ sont dérivables en $a$ , alors $F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ est dérivable en $a$ , avec $F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)$ .
  Utilise: 6. Combinaison linéaire et produit, 11. Exponentielle, logarithme et fonctions hyperboliques, 12. Règle de dérivation en chaîne, 19. Exponentielle et logarithme de base a. Repose sur: D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: La variable en exposant et la dérivation logarithmique.
8. Dérivation logarithmique. Si $f_1, \ldots, f_k$ sont dérivables en $a$ et ne s’annulent pas en $a$ , et si $f_j$ est strictement positive lorsque $r_j$ n’est pas entier, alors $F = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}$ est dérivable en $a$ , et $\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}$ ; la dérivabilité se démontre avant de prendre des logarithmes.
  Utilise: 4. Dérivable implique continue, 5. Caractère local de la dérivée, 6. Combinaison linéaire et produit, 13. Composées usuelles, 19. Exponentielle et logarithme de base a, 20. Puissances à exposant réel et variable. Repose sur: D (Héritage d’Algèbre et géométrie), F (Dérivable implique continue), G (Caractère local). Démontré dans: La variable en exposant et la dérivation logarithmique.
9. Pi puissance e et e puissance pi. Pour tout $x > 0$ , on a $x^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}$ , avec égalité seulement si $x = e$ , parce que le logarithme reste au-dessous de sa tangente $y = \frac{x}{e}$ ; en particulier, $\pi^e < e^\pi$ .
  Utilise: 11. Exponentielle, logarithme et fonctions hyperboliques. Repose sur: D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: La variable en exposant et la dérivation logarithmique.
Tronçon 3 Les dérivées successives et les taux de variation
- Définir les dérivées successives et démontrer par récurrence les formules d’ordre $n$ des puissances, de l’exponentielle, du sinus et du cosinus, ainsi que la formule de Leibniz.
- Donner un sens séparément à $\mathrm{d}y$ et à $\mathrm{d}x$ , démontrer que la différentielle est la partie principale de l’accroissement et l’utiliser pour approcher et estimer des erreurs, sans les majorer.
- Lire la dérivée comme taux de variation moyen, instantané et relatif, et décrire avec elle le mouvement rectiligne.
- Résoudre des problèmes de taux liés avec la règle de dérivation en chaîne et une méthode explicite.
1. Dérivées successives. $f^{(0)} = f$ et $f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ , l’ensemble de définition de chacune étant formé des points où la dérivée précédente est dérivable ; si $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables sur un intervalle ouvert, $\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}$ .
  Utilise: 6. Combinaison linéaire et produit. Repose sur: D (Héritage d’Algèbre et géométrie), G (Caractère local). Démontré dans: Dérivées successives et différentielle.
2. Dérivées d’ordre n. Sur $\ioo{0}{\infty}$ , $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}$ ; pour tout réel $x$ , $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}$ et $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$ ; et les coefficients d’un polynôme $f$ sont les nombres $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ .
  Utilise: 8. Puissances, polynômes et fonctions rationnelles, 13. Composées usuelles, 19. Exponentielle et logarithme de base a, 20. Puissances à exposant réel et variable, 23. Dérivées successives. Repose sur: D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: Dérivées successives et différentielle.
3. Formule de Leibniz. Si $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables sur un intervalle ouvert, $fg$ l’est aussi, et $(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$ .
  Utilise: 6. Combinaison linéaire et produit, 23. Dérivées successives. Repose sur: D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: Dérivées successives et différentielle.
4. La différentielle. Si $f$ est dérivable en $a$ , l’accroissement $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ vérifie $\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)$ , avec $\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x$ , et aucune autre fonction linéaire de $\Delta x$ ne le vérifie ; si $f'(a) \neq 0$ , $\Delta y \sim \mathrm{d}y$ ; et si $w = f(u)$ , alors $\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u$ .
  Utilise: 3. Trois caractérisations, 6. Combinaison linéaire et produit, 7. Inverse et quotient, 12. Règle de dérivation en chaîne. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: Dérivées successives et différentielle.
5. Taux relatif constant. Si $y(t) = y_0 e^{kt}$ , avec $y_0 > 0$ et $k \neq 0$ , le taux de variation relatif $\frac{y'(t)}{y(t)}$ vaut $k$ à tout instant, et $y(t + T) = e^{kT} y(t)$ : la grandeur double, ou se réduit de moitié, sur chaque intervalle de durée $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .
  Utilise: 19. Exponentielle et logarithme de base a. Repose sur: D (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: Taux de variation et taux liés.
6. Le signe de la dérivée en un point. Si $f$ est définie sur un intervalle ouvert $I$ , est dérivable en un point $a$ de $I$ et si $f'(a) > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que, pour tout $x$ de $I$ , $f(x) < f(a)$ si $a - \delta < x < a$ , et $f(x) > f(a)$ si $a < x < a + \delta$ ; il ne s’ensuit pas que $f$ soit croissante au voisinage de $a$ . C’est pourquoi la norme de la vitesse augmente lorsque la vitesse et l’accélération ont le même signe.
  Utilise: 1. Définition de la dérivée, 6. Combinaison linéaire et produit. Repose sur: C (Conservation du signe). Démontré dans: Taux de variation et taux liés.
7. Taux liés. Si $u$ est dérivable en $t_0$ et $y(t) = g(u(t))$ , avec $g$ dérivable en $u(t_0)$ , alors $y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)$ ; et deux expressions égales à tout instant d’un intervalle, dérivables en $t_0$ , ont la même dérivée en $t_0$ .
  Utilise: 12. Règle de dérivation en chaîne. Démontré dans: Taux de variation et taux liés.

Vers les applications. La chaîne s’arrête là où la dérivée cesse d’être l’objet d’étude et devient un outil : l’unité qui suit commence par le théorème des valeurs extrêmes de Weierstrass ; elle démontre le théorème de Fermat avec le signe de la dérivée en un point, et à partir de lui le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis, qui convertissent le signe de la dérivée en monotonie et donnent la règle de L’Hôpital, les extremums, la convexité et les majorations dont la différentielle ne dispose pas ; et elle se termine par la méthode de Newton-Raphson, qui remplace la courbe par sa tangente.