Applications des dérivées : introduction

Résumé

Cette leçon ouvre la dernière unité du cours, qui passe de ce que la dérivée dit en un point à ce qu’elle dit sur un intervalle. Elle présente le parcours de l’unité : le théorème de Weierstrass garantit qu’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné atteint son maximum et son minimum ; celui de Fermat les localise là où la dérivée s’annule ; ceux de Rolle, de Lagrange et de Cauchy transforment le signe de la dérivée en information sur un intervalle entier, et d’eux découlent la règle de L’Hôpital, la monotonie, les critères d’extremums, la concavité, la courbure, l’optimisation et la méthode de Newton-Raphson. Elle reconstitue l’histoire de ces résultats, de la méthode de Fermat pour les maxima jusqu’au théorème de Darboux, dans un ordre presque inverse de celui de l’unité ; elle formule le problème qui la traverse, le passage du local au global, et montre par un exemple dans les nombres rationnels que ce passage dépend de la complétude des réels. Elle se termine en indiquant où ces applications sont employées dans d’autres cours du site et dans la science et la technique.

Objectifs d’apprentissage

Décrire le parcours de l’unité et expliquer ce que démontre chaque leçon et de quels résultats antérieurs elle se sert.
Expliquer pourquoi les conclusions globales sur une fonction, comme l’existence d’un maximum, la monotonie ou la convergence d’une méthode, exigent, outre la dérivée, la complétude des nombres réels.
Situer dans leur contexte historique les résultats de l’unité, de la méthode de Fermat pour les maxima jusqu’au théorème de Darboux, et distinguer l’ordre dans lequel ils ont été découverts de l’ordre dans lequel ils se démontrent.
Indiquer où interviennent les applications des dérivées dans d’autres cours et dans des applications scientifiques et techniques.

Évaluation d’entrée

Avant de parcourir l’unité, il convient de mesurer le point de départ. Cette auto-évaluation n’est pas notée : elle sert à savoir où s’attarder. Les neuf premières questions portent, dans l’ordre, sur les neuf leçons de contenu de l’unité, une pour chacune, et mesurent la compréhension de leur résultat central (ce qu’il garantit, sous quelles hypothèses, ce qu’il ne garantit pas), non un énoncé dont on se souvient ; les mêmes habiletés sont mesurées de nouveau à la fin, dans la leçon de synthèse, avec d’autres données. Les cinq dernières vérifient ce que cette unité tient pour acquis des deux unités qui la précèdent : le théorème de Bolzano, le signe de la dérivée en un point, la dérivée seconde, la dérivation implicite et les infiniment petits équivalents.

Évaluation d’entrée

Avant de commencer l’unité, mesurez votre point de départ. C’est une autoévaluation brève : elle n’est pas notée et son résultat n’est conservé que dans votre navigateur.

Question 1Dans lequel de ces cas le théorème de Weierstrass garantit-il que la fonction atteint sa valeur maximale sur l’ensemble indiqué ?
$f(x) = \abs{x^2 - 1}$ sur $\icc{0}{2}$
$f(x) = \arctan x$ sur $\mathbb{R}$
$f(x) = x^2$ sur $\ico{0}{1}$
La fonction qui vaut $x$ sur $\ico{0}{1}$ et $0$ en $1$ , sur l’intervalle $\icc{0}{1}$
Question 2Une fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , avec $f(0) = 1$ et $\abs{f'(x)} \leq 2$ pour tout $x$ . Que peut-on garantir sur $f(3)$ ?
$-5 \leq f(3) \leq 7$
$f(3) = 7$
$\abs{f(3)} \leq 6$
Rien, parce qu’on ne connaît la dérivée en aucun point.
Question 3Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$ .
$0$
Elle n’existe pas, parce que le quotient des dérivées n’a pas de limite.
Elle n’existe pas, parce que $\sin\frac{1}{x}$ n’a pas de limite quand $x \to 0$ .
$1$
Question 4Sur $\mathbb{R}$ , la fonction $f(x) = x + \cos x$ est-elle strictement croissante ?
Oui : sa dérivée, $1 - \sin x$ , est positive ou nulle et ne s’annule pas en tous les points d’un intervalle ouvert, quel qu’il soit.
Non : sa dérivée s’annule en une infinité de points.
Elle est croissante, mais pas strictement, parce que sa dérivée n’est pas strictement positive en tout point.
Elle n’est pas monotone, parce que le cosinus monte et descend.
Question 5Une fonction $f$ est continue sur $\icc{0}{4}$ et dérivable en chaque point de $\ioo{0}{4}$ sauf en $1$ , et sa dérivée ne s’annule qu’en $3$ . Si $f(0) = 2$ , $f(1) = -1$ , $f(2) = 3$ , $f(3) = 5$ et $f(4) = 4$ , quelles sont ses valeurs maximale et minimale globales sur $\icc{0}{4}$ ?
Le maximum est $5$ et le minimum, $-1$ .
Le maximum est $5$ et le minimum, $2$ .
Le maximum est $4$ et le minimum, $2$ .
On ne peut pas le savoir sans la formule de $f$ .
Question 6Quels sont les points d’inflexion de $f(x) = x^5 - 5x^4$ ?
Seulement $3$ .
$0$ et $3$ , parce que la dérivée seconde s’y annule.
$0$ et $4$ , parce que la dérivée s’y annule.
Aucun, parce que la dérivée troisième s’annule en $0$ .
Question 7Quel est le cercle osculateur à la courbe représentative de $f(x) = \frac{1}{x}$ au point $(1, 1)$ ?
Celui de centre $(2, 2)$ et de rayon $\sqrt{2}$ .
Celui de centre $(0, 0)$ et de rayon $\sqrt{2}$ .
Celui de centre $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Celui de centre $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ et de rayon $\frac{1}{2}$ .
Question 8Quels sont les points de la parabole $y = x^2$ les plus proches du point $(0, 2)$ ?
$\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ et $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$
Le sommet $(0, 0)$ .
Seulement $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ .
Aucun : comme la parabole n’est pas bornée, la distance peut ne pas atteindre de minimum.
Question 9La fonction $f(x) = e^x - 3$ est croissante et convexe sur $\mathbb{R}$ , et sa racine est $\ln 3$ , proche de $1{,}0986$ . Que font les itérés de Newton-Raphson à partir de $x_0 = 0$ ?
Le premier saute de l’autre côté de la racine, en $x_1 = 2$ , et à partir de là ils décroissent vers $\ln 3$ sans la dépasser.
Ils croissent vers $\ln 3$ sans la dépasser, parce qu’ils partent de sa gauche.
Ils ne convergent pas, parce que $f(x_0) < 0$ ne vérifie pas l’hypothèse du théorème.
Ils alternent d’un côté et de l’autre de la racine, de plus en plus près.
Question 10Des unités précédentesUne fonction $f$ est continue sur $\icc{0}{1}$ , avec $f(0) = 1$ et $f(1) = -1$ . Que peut-on garantir ?
Qu’elle s’annule en un point de $\ioo{0}{1}$ .
Qu’elle s’annule en exactement un point de $\ioo{0}{1}$ .
Qu’elle est décroissante sur $\icc{0}{1}$ .
Qu’elle s’annule en $\frac{1}{2}$ .
Question 11Des unités précédentesUne fonction $f$ est définie sur un intervalle ouvert qui contient $a$ , et $f'(a) > 0$ . Que peut-on garantir ?
Qu’il existe un $\delta > 0$ tel que $f(x) < f(a)$ si $a - \delta < x < a$ , et $f(x) > f(a)$ si $a < x < a + \delta$ .
Que $f$ est croissante sur un intervalle ouvert qui contient $a$ .
Que $f(x) > f(a)$ pour tout $x > a$ de l’intervalle.
Que $f'(x) > 0$ pour tout $x$ proche de $a$ .
Question 12Des unités précédentesCalculer $f''(1)$ pour $f(x) = x^2 \ln x$ .
$3$
$1$
$2$
$-2$
Question 13Des unités précédentesL’équation $x^2 + xy + y^2 = 3$ définit au voisinage du point $(1, 1)$ une fonction dérivable $y(x)$ , avec $y(1) = 1$ . Combien vaut $y'(1)$ ?
$-1$
$-\frac{3}{2}$
$-5$
$1$
Question 14Des unités précédentesCalculer $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$ .
$2$
$1$
$\frac{1}{2}$
Elle n’existe pas, parce que le quotient est de la forme $\frac{0}{0}$ .

Applications des dérivées : introduction

Résumé

Objectifs d’apprentissage

Évaluation d’entrée

Votre question sur cette leçon

Questions sur cette leçon