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Topos Uranos
Français

Théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy

Résumé

Cette leçon passe de ce que la dérivée dit en un point à ce qu’elle dit sur un intervalle. Elle définit les extremums locaux et démontre le théorème de Fermat : si une fonction atteint un extremum local en un point intérieur de son ensemble de définition et y est dérivable, sa dérivée s’annule ; la démonstration découle de la proposition sur le signe de la dérivée en un point, de la leçon sur les taux de variation. Avec le théorème de Weierstrass, de la leçon qui précède, Fermat donne le théorème de Rolle ; Rolle, appliqué à la différence entre la fonction et sa corde, donne le théorème des accroissements finis de Lagrange, selon lequel une tangente est parallèle à la corde ; et, appliqué à une combinaison de deux fonctions, le théorème des accroissements finis de Cauchy, avec lequel la leçon qui suit démontrera la règle de L’Hôpital. Du théorème des accroissements finis découlent les premières conséquences globales : une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, deux fonctions de même dérivée diffèrent d’une constante, une borne de la dérivée borne les accroissements, entre deux racines d’une fonction se trouve une racine de sa dérivée, et la limite de la dérivée, si elle existe, est la dérivée. Des exemples simples montrent qu’aucune hypothèse des théorèmes ne peut être supprimée.

Objectifs d’apprentissage

  1. Exprimer avec des quantificateurs ce qu’est un extremum local, et démontrer le théorème de Fermat en distinguant la condition nécessaire qu’il donne d’une condition suffisante.
  2. Démontrer le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis de Lagrange et celui de Cauchy, les lire sur la courbe représentative et montrer par des contre-exemples que leurs hypothèses ne peuvent pas être supprimées.
  3. Déduire du théorème des accroissements finis qu’une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, et obtenir des inégalités et des bornes d’erreur à partir d’une borne de la dérivée.
  4. Compter les racines d’une équation, en majorant leur nombre avec le théorème de Rolle et en le minorant avec celui de Bolzano.

Extremums locaux et le théorème de Fermat

La leçon sur le théorème de Weierstrass garantit qu’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné atteint son maximum et son minimum, mais ne dit pas où. Pour les localiser, il est utile de disposer d’une notion qui ne regarde que près du point : une valeur peut être la plus grande parmi les valeurs voisines sans être la plus grande de toutes.

DéfinitionExtremum local et point intérieur

Soient ff une fonction définie sur un ensemble AA et x0x_0 un élément de AA. On dit que ff atteint un maximum local en x0x_0 s’il existe un δ>0\delta > 0 tel qu’aucune valeur de ff aux points de AA dont la distance à x0x_0 est strictement inférieure à δ\delta ne dépasse f(x0)f(x_0), et qu’elle atteint un minimum local en x0x_0 si aucune de ces valeurs n’est strictement inférieure à f(x0)f(x_0) :

(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x)≤f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x0)≤f(x))(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

Un extremum local est un maximum local ou un minimum local. Le point x0x_0 est un point intérieur de AA s’il existe un r>0r > 0 tel que (x0−r,x0+r)⊆A\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A.

Si ff atteint son maximum sur AA au point x0x_0, au sens de la leçon qui précède, elle y atteint un maximum local, avec n’importe quel δ\delta ; l’implication dans l’autre sens est fausse. Considérons f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Comme 2−f(x)=(x+1)2(2−x)2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x), on a f(x)≤2=f(−1)f(x) \leq 2 = f(-1) pour tout x≤2x \leq 2 : la fonction atteint en −1-1 un maximum local, avec δ=3\delta = 3, qui n’est pas son maximum sur R\mathbb{R}, car f(3)=18f(3) = 18. Les points intérieurs d’un intervalle sont tous ses points sauf les extrémités qui lui appartiennent ; ceux de [a,b]\icc{a}{b} sont ceux de (a,b)\ioo{a}{b}. Un extremum local peut se trouver au bord : la fonction xx, sur [0,1]\icc{0}{1}, atteint son minimum en 00 et son maximum en 11.

ThéorèmeThéorème de Fermat

Soient ff une fonction définie sur un ensemble AA et aa un point intérieur de AA. Si ff atteint en aa un extremum local et est dérivable en aa, alors f′(a)=0f'(a) = 0. Si la dérivée était strictement positive, la proposition du signe de la dérivée placerait à droite de aa, tout près, des valeurs strictement supérieures à f(a)f(a) ; si elle était strictement négative, elle les placerait à gauche. La figure montre, avec f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x et son maximum local en a=−1a = -1, pourquoi aucune des deux pentes n’est possible.

Démonstration

  1. x∈A, ∣x−a∣<δ0→f(x)≤f(a),F′(a)=f′(a)x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}

    Supposons d’abord que ff atteint en aa un maximum local, avec un δ0>0\delta_0 > 0, et soit r>0r > 0 tel que l’intervalle I=(a−r,a+r)I = \ioo{a - r}{a + r} soit contenu dans AA. Soit FF la restriction de ff à II. Tout xx de AA tel que ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r est dans II ; par le lemme du caractère local de la dérivée, de la leçon sur les règles de dérivation, FF est dérivable en aa, avec la même dérivée.

  2. f(a+ρ2)>f(a),f(a+ρ2)≤f(a)f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}

    Si f′(a)>0f'(a) > 0, la proposition du signe de la dérivée en un point, de la leçon sur les taux de variation, appliquée à FF sur l’intervalle ouvert II, donne un δ>0\delta > 0 tel que f(x)>f(a)f(x) > f(a) pour tout xx de II tel que a<x<a+δa < x < a + \delta. Soit ρ\rho le plus petit des nombres δ\delta, δ0\delta_0 et rr. Le point a+ρ2a + \frac{\rho}{2} est dans II, vérifie cette condition et sa distance à aa est strictement inférieure à δ0\delta_0 : sa valeur serait à la fois strictement supérieure à f(a)f(a) et inférieure ou égale. Par conséquent, f′(a)>0f'(a) > 0 est impossible.

  3. f(a−ρ2)>f(a),f(a−ρ2)≤f(a)→f′(a)=0f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}

    Si f′(a)<0f'(a) < 0, la même proposition, les inégalités entre les valeurs ayant changé de sens, donne un δ>0\delta > 0 tel que f(x)>f(a)f(x) > f(a) pour tout xx de II tel que a−δ<x<aa - \delta < x < a, et le point a−ρ2a - \frac{\rho}{2} produit la même contradiction. Comme la dérivée n’est ni strictement positive ni strictement négative, elle est nulle.

  4. (−f)′(a)=−f′(a)=0→f′(a)=0(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}

    Si ff atteint en aa un minimum local, −f-f y atteint un maximum local, et elle est dérivable en aa, de dérivée −f′(a)-f'(a), par le théorème de la dérivée d’une combinaison linéaire, de la leçon sur les règles de dérivation. D’après ce qui a déjà été démontré, cette dérivée est nulle.

Le théorème donne une condition nécessaire, non suffisante : x3x^3 a une dérivée nulle en 00 et n’y atteint aucun extremum local, car elle prend des valeurs strictement négatives à gauche de 00 et strictement positives à droite. Les deux autres hypothèses ne peuvent pas non plus être supprimées. Si aa n’est pas intérieur, la dérivée peut ne pas s’annuler : la fonction xx, sur [0,1]\icc{0}{1}, atteint son maximum en 11, et sa dérivée en ce point, qui est la limite à gauche du taux d’accroissement car l’ensemble de définition n’a pas de points à droite de 11, vaut 11. Si ff n’est pas dérivable en aa, le théorème ne dit rien : ∣x∣\abs{x} atteint son minimum en 00, où elle n’est pas dérivable. Par conséquent, on cherche les extremums locaux d’une fonction parmi les points intérieurs où la dérivée s’annule, les points où elle n’est pas dérivable et les points qui ne sont pas intérieurs ; la leçon sur la monotonie leur donnera un nom et un critère pour décider lesquels sont des extremums. Le problème résolu 1 de la leçon sur les règles de dérivation a observé que les tangentes horizontales de xx2+1\frac{x}{x^2 + 1} touchent la courbe en ses valeurs la plus grande et la plus petite, et a annoncé que ce n’était pas une coïncidence : une fonction dérivable sur R\mathbb{R} qui atteint son maximum l’atteint en un point intérieur, où le théorème de Fermat annule la dérivée.