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Topos Uranos
Deutsch

Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy

Zusammenfassung

Diese Lektion geht von dem, was die Ableitung an einer Stelle aussagt, zu dem über, was sie auf einem Intervall aussagt. Sie definiert die lokalen Extrema und beweist den Satz von Fermat: Nimmt eine Funktion in einem inneren Punkt ihres Definitionsbereichs ein lokales Extremum an und ist sie dort differenzierbar, so verschwindet ihre Ableitung; der Beweis ergibt sich aus der Proposition über das Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle aus der Lektion über Änderungsraten. Zusammen mit dem Satz von Weierstraß aus der vorigen Lektion liefert Fermat den Satz von Rolle; Rolle, angewandt auf die Differenz zwischen der Funktion und ihrer Sehne, liefert den Mittelwertsatz von Lagrange, nach dem eine Tangente zur Sehne parallel ist; und, angewandt auf eine Kombination zweier Funktionen, den Mittelwertsatz von Cauchy, mit dem die nächste Lektion die Regel von L’Hospital beweisen wird. Aus dem Mittelwertsatz ergeben sich die ersten globalen Folgerungen: Eine Funktion mit verschwindender Ableitung auf einem Intervall ist konstant, zwei Funktionen mit gleicher Ableitung unterscheiden sich um eine Konstante, eine Schranke für die Ableitung beschränkt die Zuwächse, zwischen zwei Nullstellen einer Funktion liegt eine Nullstelle ihrer Ableitung, und der Grenzwert der Ableitung ist, falls er existiert, die Ableitung. Einfache Beispiele zeigen, dass auf keine Voraussetzung der Sätze verzichtet werden kann.

Lernziele

  1. Mit Quantoren ausdrücken, was ein lokales Extremum ist, und den Satz von Fermat beweisen, wobei die notwendige Bedingung, die er liefert, von einer hinreichenden Bedingung unterschieden wird.
  2. Den Satz von Rolle, den Mittelwertsatz von Lagrange und den Mittelwertsatz von Cauchy beweisen, sie am Graphen ablesen und mit Gegenbeispielen zeigen, dass auf ihre Voraussetzungen nicht verzichtet werden kann.
  3. Aus dem Mittelwertsatz folgern, dass eine Funktion mit verschwindender Ableitung auf einem Intervall konstant ist, und aus einer Schranke für die Ableitung Ungleichungen und Fehlerschranken gewinnen.
  4. Die Lösungen einer Gleichung zählen, indem man ihre Anzahl mit dem Satz von Rolle nach oben und mit dem Satz von Bolzano nach unten abschätzt.

Lokale Extrema und der Satz von Fermat

Die Lektion über den Satz von Weierstraß sichert, dass eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetige Funktion ihr Maximum und ihr Minimum annimmt, sagt aber nicht, wo. Um sie zu lokalisieren, braucht man einen Begriff, der nur in die Nähe des Punktes blickt: Ein Wert kann unter den benachbarten der größte sein, ohne der größte von allen zu sein.

DefinitionLokales Extremum und innerer Punkt

Sei ff eine auf einer Menge AA definierte Funktion und x0x_0 ein Element von AA. Man sagt, dass ff an der Stelle x0x_0 ein lokales Maximum annimmt, wenn es ein δ>0\delta > 0 gibt, sodass kein Wert von ff in den Punkten von AA, deren Abstand von x0x_0 kleiner als δ\delta ist, den Wert f(x0)f(x_0) übersteigt, und dass sie an der Stelle x0x_0 ein lokales Minimum annimmt, wenn keiner dieser Werte kleiner als f(x0)f(x_0) ist:

(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x)≤f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x0)≤f(x))(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

Ein lokales Extremum ist ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum. Der Punkt x0x_0 ist ein innerer Punkt von AA, wenn es ein r>0r > 0 gibt, sodass (x0−r,x0+r)⊆A\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A gilt.

Nimmt ff ihr Maximum auf AA an der Stelle x0x_0 an, im Sinne der vorigen Lektion, so nimmt sie dort ein lokales Maximum an, mit jedem δ\delta; die Umkehrung ist falsch. Betrachten wir f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Da 2−f(x)=(x+1)2(2−x)2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x) gilt, ist f(x)≤2=f(−1)f(x) \leq 2 = f(-1) für alle x≤2x \leq 2 erfüllt: Die Funktion nimmt an der Stelle −1-1 ein lokales Maximum an, mit δ=3\delta = 3, das nicht ihr Maximum auf R\mathbb{R} ist, denn f(3)=18f(3) = 18. Die inneren Punkte eines Intervalls sind alle seine Punkte außer den Endpunkten, die zu ihm gehören; die von [a,b]\icc{a}{b} sind die von (a,b)\ioo{a}{b}. Ein lokales Extremum kann am Rand liegen: Die Funktion xx nimmt auf [0,1]\icc{0}{1} ihr Minimum bei 00 und ihr Maximum bei 11 an.

SatzSatz von Fermat

Sei ff eine auf einer Menge AA definierte Funktion und aa ein innerer Punkt von AA. Nimmt ff an der Stelle aa ein lokales Extremum an und ist sie an der Stelle aa differenzierbar, so gilt f′(a)=0f'(a) = 0. Wäre die Ableitung positiv, so lieferte die Proposition über das Vorzeichen der Ableitung rechts von aa, ganz in der Nähe, Werte größer als f(a)f(a); wäre sie negativ, so lägen diese Werte links. Die Abbildung zeigt mit f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x und ihrem lokalen Maximum an der Stelle a=−1a = -1, warum keine der beiden Steigungen möglich ist.

Beweis

  1. x∈A, ∣x−a∣<δ0→f(x)≤f(a),F′(a)=f′(a)x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}

    Angenommen zuerst, ff nimmt an der Stelle aa ein lokales Maximum an, mit einem δ0>0\delta_0 > 0, und sei r>0r > 0 so gewählt, dass das Intervall I=(a−r,a+r)I = \ioo{a - r}{a + r} in AA enthalten ist. Sei FF die Einschränkung von ff auf II. Jedes xx aus AA mit ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r liegt in II; nach dem Lemma über den lokalen Charakter der Ableitung aus der Lektion über die Ableitungsregeln ist FF an der Stelle aa differenzierbar, mit derselben Ableitung.

  2. f(a+ρ2)>f(a),f(a+ρ2)≤f(a)f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}

    Gilt f′(a)>0f'(a) > 0, so liefert die Proposition über das Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle aus der Lektion über Änderungsraten, angewandt auf FF im offenen Intervall II, ein δ>0\delta > 0, sodass f(x)>f(a)f(x) > f(a) für alle xx aus II mit a<x<a+δa < x < a + \delta gilt. Sei ρ\rho die kleinste der Zahlen δ\delta, δ0\delta_0 und rr. Der Punkt a+ρ2a + \frac{\rho}{2} liegt in II, erfüllt diese Bedingung, und sein Abstand von aa ist kleiner als δ0\delta_0: Sein Wert wäre zugleich größer als f(a)f(a) und nicht größer. Folglich ist f′(a)>0f'(a) > 0 unmöglich.

  3. f(a−ρ2)>f(a),f(a−ρ2)≤f(a)→f′(a)=0f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}

    Gilt f′(a)<0f'(a) < 0, so liefert dieselbe Proposition, mit umgekehrten Ungleichungen zwischen den Werten, ein δ>0\delta > 0, sodass f(x)>f(a)f(x) > f(a) für alle xx aus II mit a−δ<x<aa - \delta < x < a gilt, und der Punkt a−ρ2a - \frac{\rho}{2} führt zum selben Widerspruch. Da die Ableitung weder positiv noch negativ ist, ist sie null.

  4. (−f)′(a)=−f′(a)=0→f′(a)=0(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}

    Nimmt ff an der Stelle aa ein lokales Minimum an, so nimmt −f-f dort ein lokales Maximum an und ist an der Stelle aa differenzierbar, mit der Ableitung −f′(a)-f'(a), nach dem Satz über die Ableitung einer Linearkombination aus der Lektion über die Ableitungsregeln. Nach dem bereits Bewiesenen ist diese Ableitung null.

Der Satz liefert eine notwendige, keine hinreichende Bedingung: x3x^3 hat an der Stelle 00 die Ableitung null und nimmt dort kein lokales Extremum an, denn sie nimmt links von 00 negative und rechts davon positive Werte an. Auch auf die beiden anderen Voraussetzungen kann nicht verzichtet werden. Ist aa kein innerer Punkt, so muss die Ableitung nicht verschwinden: Die Funktion xx nimmt auf [0,1]\icc{0}{1} ihr Maximum bei 11 an, und ihre Ableitung dort, die der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ist, weil der Definitionsbereich rechts von 11 keine Punkte hat, ist gleich 11. Ist ff an der Stelle aa nicht differenzierbar, so sagt der Satz nichts: ∣x∣\abs{x} nimmt ihr Minimum bei 00 an, wo sie nicht differenzierbar ist. Folglich sucht man die lokalen Extrema einer Funktion unter den inneren Punkten, in denen die Ableitung verschwindet, den Punkten, in denen sie nicht differenzierbar ist, und den Punkten, die keine inneren Punkte sind; die Lektion über Monotonie wird ihnen einen Namen und ein Kriterium geben, um zu entscheiden, welche davon Extrema sind. Die gelöste Aufgabe 1 der Lektion über die Ableitungsregeln stellte fest, dass die waagerechten Tangenten von xx2+1\frac{x}{x^2 + 1} den Graphen in seinem größten und seinem kleinsten Wert berühren, und kündigte an, dass dies kein Zufall sei: Eine auf R\mathbb{R} differenzierbare Funktion, die ihr Maximum annimmt, nimmt es in einem inneren Punkt an, wo der Satz von Fermat die Ableitung verschwinden lässt.