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Topos Uranos
Deutsch

Satz von Weierstraß über Extremwerte

Zusammenfassung

Diese Lektion eröffnet den Übergang vom Punktweisen zum Globalen. Die Stetigkeit an einer Stelle kontrolliert die Funktion nur in der Nähe dieser Stelle; der Satz von Weierstraß besagt, dass eine Funktion, die an allen Stellen eines abgeschlossenen und beschränkten Intervalls stetig ist, auf dem ganzen Intervall beschränkt ist und dort einen Maximalwert und einen Minimalwert annimmt. Beide Aussagen werden mit dem Vollständigkeitsaxiom bewiesen, über das Supremum, wie der Satz von Bolzano: die Beschränktheit mit dem Supremum der Stellen, bis zu denen die Funktion beschränkt ist, und der lokalen Beschränktheit aus der Lektion über Grenzwert und Stetigkeit; die Existenz des Maximums mit dem Supremum der Werte und einer Hilfsfunktion, die stetig und unbeschränkt wäre, wenn dieses Supremum nicht angenommen würde. Die Lektion zeigt mit Gegenbeispielen, dass auf keine Voraussetzung verzichtet werden kann, folgert, dass das Bild eines abgeschlossenen und beschränkten Intervalls wieder ein Intervall derselben Art ist und dass, wenn die Funktion an den Endpunkten denselben Wert hat, eines ihrer Extrema im Inneren angenommen wird, und wendet den Satz auf positive, auf periodische und auf der ganzen Zahlengeraden definierte Funktionen an.

Lernziele

  1. Das Supremum der Werte einer Funktion von ihrem Maximalwert unterscheiden und mit Quantoren ausdrücken, dass eine Funktion auf einer Menge ihr Maximum oder ihr Minimum annimmt.
  2. Mit dem Vollständigkeitsaxiom beweisen, dass eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetige Funktion beschränkt ist und ihr Maximum und ihr Minimum annimmt.
  3. Mit Gegenbeispielen zeigen, dass der Satz versagt, wenn das Intervall nicht abgeschlossen ist, wenn es nicht beschränkt ist oder wenn die Funktion nicht stetig ist, und erkennen, dass seine Voraussetzungen hinreichend, nicht notwendig sind.
  4. Den Satz zusammen mit dem Zwischenwertsatz und den Grenzwerten im Unendlichen verwenden, um das Bild eines abgeschlossenen und beschränkten Intervalls zu bestimmen und um zu beweisen, dass eine Funktion ihre Extrema auf Definitionsbereichen annimmt, die keine abgeschlossenen und beschränkten Intervalle sind.

Maximum, Minimum und Supremum einer Funktion

Die beiden vorigen Einheiten untersuchten Funktionen an einer Stelle: Grenzwert, Stetigkeit und Ableitung beschreiben, was in der Nähe von aa geschieht. Viele Fragen beziehen sich dagegen auf eine ganze Menge: welches der größte Wert ist, den eine Funktion auf einem Intervall annimmt, falls es einen gibt, oder an welcher Stelle er angenommen wird. Die Funktion xx auf (0,1)\ioo{0}{1} hat keinen Wert, der größer als alle anderen ist: Zu jedem xx aus dem Intervall liegt auch die Zahl x+12\frac{x + 1}{2} darin, und sie ist größer. Ihre Werte nähern sich 11, ohne diesen Wert zu erreichen. Es empfiehlt sich daher, zwei Begriffe zu trennen: die kleinste obere Schranke der Werte, die existiert, sobald die Werte beschränkt sind, und den Maximalwert, der ein Wert der Funktion ist.

DefinitionBeschränkte Funktion; Maximum und Minimum einer Funktion auf einer Menge

Seien ff eine auf einer Menge AA definierte Funktion und SS eine nichtleere Teilmenge von AA. Man sagt, dass ff auf SS nach oben beschränkt ist, wenn es eine Zahl KK gibt, sodass f(x)≤Kf(x) \leq K für alle xx aus SS gilt; nach unten beschränkt, wenn es ein KK gibt, sodass f(x)≥Kf(x) \geq K für alle xx aus SS gilt; und beschränkt, wenn sie es in beiden Richtungen ist, das heißt, wenn es ein KK gibt, sodass ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K für alle xx aus SS gilt. Man sagt, dass ff auf SS an einer Stelle x0x_0 aus SS ihr Maximum annimmt, wenn der Wert f(x0)f(x_0) von keinem anderen Wert von ff auf SS übertroffen wird, und dass sie an x0x_0 ihr Minimum annimmt, wenn es auf SS keinen kleineren Wert gibt:

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

Die Zahl f(x0)f(x_0) ist der Maximalwert (oder der Minimalwert) von ff auf SS, und man schreibt max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x) (oder min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x)); die Stelle x0x_0 ist eine Maximalstelle (oder eine Minimalstelle).

Der Maximalwert ist, falls er existiert, eindeutig, denn zwei Maximalwerte wären jeweils größer oder gleich dem anderen; die Maximalstelle muss es nicht sein: Der Kosinus nimmt sein Maximum 11 auf [0,4π]\icc{0}{4\pi} an drei Stellen an: 00, 2π2\pi und 4π4\pi. Die Lektion über Maxima und Minima wird diese Extrema global nennen, um sie von den lokalen zu unterscheiden, die f(x0)f(x_0) nur mit den benachbarten Werten vergleichen.

Ist ff auf SS nach oben beschränkt, so ist die Menge ihrer Werte, f(S)f(S), nicht leer und nach oben beschränkt; nach dem Vollständigkeitsaxiom, an das die Lektion über die Zahlengerade erinnert, hat sie ein Supremum, das man sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x) schreibt. Die Beziehung zwischen beiden Begriffen ist einfach: ff nimmt ihr Maximum auf SS genau dann an, wenn das Supremum ihrer Werte einer von ihnen ist, und dann stimmen beide überein. In der Tat: Ist f(x0)f(x_0) der Maximalwert, so ist er eine obere Schranke von f(S)f(S), die zu f(S)f(S) gehört, und keine kleinere Zahl kann eine obere Schranke sein; umgekehrt, ist das Supremum ein Wert f(x0)f(x_0), so wird es von keinem Wert übertroffen. Die Funktion xx auf (0,1)\ioo{0}{1} ist beschränkt, ihr Supremum ist 11, und sie nimmt es nicht an; ihr Infimum ist 00, und sie nimmt es ebenfalls nicht an. Der Satz von Weierstraß gibt Bedingungen an, unter denen dies nicht geschieht.