Anwendungen der Ableitung: Einführung

Zusammenfassung

Diese Lektion eröffnet die letzte Einheit des Kurses, die von dem, was die Ableitung an einer Stelle sagt, zu dem übergeht, was sie auf einem Intervall sagt. Sie stellt den Gang der Einheit vor: Der Satz von Weierstraß sichert, dass eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetige Funktion ihr Maximum und ihr Minimum annimmt; der Satz von Fermat lokalisiert sie dort, wo die Ableitung verschwindet; die Sätze von Rolle, Lagrange und Cauchy verwandeln das Vorzeichen der Ableitung in eine Information über ein ganzes Intervall, und aus ihnen gehen die Regel von L’Hospital, die Monotonie, die Kriterien für Extrema, die Konkavität, die Krümmung, die Optimierung und das Newton-Raphson-Verfahren hervor. Sie rekonstruiert die Geschichte dieser Ergebnisse, von Fermats Methode für die Maxima bis zum Satz von Darboux, in einer Reihenfolge, die der der Einheit fast entgegengesetzt ist; sie formuliert das Problem, das die Einheit durchzieht, den Übergang vom Lokalen zum Globalen, und zeigt an einem Beispiel in den rationalen Zahlen, dass dieser Übergang von der Vollständigkeit der reellen Zahlen abhängt. Zum Schluss gibt sie an, wo diese Anwendungen in anderen Kursen der Website und in Wissenschaft und Technik eingesetzt werden.

Lernziele

Den Gang der Einheit beschreiben und erklären, was jede Lektion beweist und auf welche früheren Ergebnisse sie sich stützt.
Erklären, warum globale Schlüsse über eine Funktion, wie die Existenz eines Maximums, die Monotonie oder die Konvergenz eines Verfahrens, außer der Ableitung die Vollständigkeit der reellen Zahlen verlangen.
Die Ergebnisse der Einheit in ihren historischen Zusammenhang einordnen, von Fermats Methode für die Maxima bis zum Satz von Darboux, und die Reihenfolge, in der sie entdeckt wurden, von der Reihenfolge unterscheiden, in der sie bewiesen werden.
Angeben, wo die Anwendungen der Ableitung in anderen Kursen und in wissenschaftlichen und technischen Anwendungen eine Rolle spielen.

Eingangstest

Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu bestimmen. Diese Selbsteinschätzung wird nicht benotet: Sie dient dazu, zu erkennen, wo man verweilen sollte. Die ersten neun Fragen betreffen der Reihe nach die neun inhaltlichen Lektionen der Einheit, je eine, und messen das Verständnis ihres zentralen Ergebnisses (was es sichert, unter welchen Voraussetzungen, was es nicht sichert), nicht eine Aussage, an die man sich erinnert; dieselben Fertigkeiten werden am Ende, in der Lektion der Synthese, mit anderen Daten erneut gemessen. Die letzten fünf prüfen, was diese Einheit aus den beiden vorigen als bekannt voraussetzt: den Satz von Bolzano, das Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle, die zweite Ableitung, das implizite Differenzieren und die äquivalenten unendlich kleinen Größen.

Eingangstest

Miss vor Beginn der Einheit deinen Ausgangspunkt. Es ist eine kurze Selbsteinschätzung: Sie wird nicht benotet, und das Ergebnis wird nur in deinem Browser gespeichert.

Frage 1In welchem dieser Fälle sichert der Satz von Weierstraß, dass die Funktion auf der angegebenen Menge ihren Maximalwert annimmt?
$f(x) = \abs{x^2 - 1}$ auf $\icc{0}{2}$
$f(x) = \arctan x$ auf $\mathbb{R}$
$f(x) = x^2$ auf $\ico{0}{1}$
Die Funktion mit dem Wert $x$ auf $\ico{0}{1}$ und $0$ an der Stelle $1$ , auf dem Intervall $\icc{0}{1}$
Frage 2Eine Funktion $f$ ist auf $\mathbb{R}$ differenzierbar, mit $f(0) = 1$ und $\abs{f'(x)} \leq 2$ für alle $x$ . Was lässt sich über $f(3)$ mit Sicherheit sagen?
$-5 \leq f(3) \leq 7$
$f(3) = 7$
$\abs{f(3)} \leq 6$
Nichts, weil die Ableitung an keiner Stelle bekannt ist.
Frage 3Man berechne $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$ .
$0$
Er existiert nicht, weil der Quotient der Ableitungen keinen Grenzwert hat.
Er existiert nicht, weil $\sin\frac{1}{x}$ für $x \to 0$ keinen Grenzwert hat.
$1$
Frage 4Ist auf $\mathbb{R}$ die Funktion $f(x) = x + \cos x$ streng monoton wachsend?
Ja: Ihre Ableitung, $1 - \sin x$ , ist nicht negativ und verschwindet nicht an allen Stellen irgendeines offenen Intervalls.
Nein: Ihre Ableitung verschwindet an unendlich vielen Stellen.
Sie ist monoton wachsend, aber nicht streng, weil ihre Ableitung nicht an jeder Stelle positiv ist.
Sie ist nicht monoton, weil der Kosinus steigt und fällt.
Frage 5Eine Funktion $f$ ist stetig auf $\icc{0}{4}$ und differenzierbar an jeder Stelle von $\ioo{0}{4}$ außer an der Stelle $1$ , und ihre Ableitung verschwindet nur an der Stelle $3$ . Gilt $f(0) = 2$ , $f(1) = -1$ , $f(2) = 3$ , $f(3) = 5$ und $f(4) = 4$ , welches sind dann ihr globaler Maximalwert und ihr globaler Minimalwert auf $\icc{0}{4}$ ?
Das Maximum ist $5$ und das Minimum $-1$ .
Das Maximum ist $5$ und das Minimum $2$ .
Das Maximum ist $4$ und das Minimum $2$ .
Ohne die Formel von $f$ lässt es sich nicht wissen.
Frage 6Welche Wendepunkte hat $f(x) = x^5 - 5x^4$ ?
Nur $3$ .
$0$ und $3$ , weil dort die zweite Ableitung verschwindet.
$0$ und $4$ , weil dort die Ableitung verschwindet.
Keiner, weil die dritte Ableitung an der Stelle $0$ verschwindet.
Frage 7Welches ist der Krümmungskreis des Graphen von $f(x) = \frac{1}{x}$ im Punkt $(1, 1)$ ?
Der Kreis mit Mittelpunkt $(2, 2)$ und Radius $\sqrt{2}$ .
Der Kreis mit Mittelpunkt $(0, 0)$ und Radius $\sqrt{2}$ .
Der Kreis mit Mittelpunkt $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ und Radius $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Der Kreis mit Mittelpunkt $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ und Radius $\frac{1}{2}$ .
Frage 8Welche Punkte der Parabel $y = x^2$ liegen dem Punkt $(0, 2)$ am nächsten?
$\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ und $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$
Der Scheitel $(0, 0)$ .
Nur $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ .
Keiner: Da die Parabel nicht beschränkt ist, muss der Abstand kein Minimum annehmen.
Frage 9Die Funktion $f(x) = e^x - 3$ ist auf $\mathbb{R}$ monoton wachsend und konvex, und ihre Nullstelle ist $\ln 3$ , nahe bei $1{,}0986$ . Was tun die Newton-Raphson-Iterierten vom Startwert $x_0 = 0$ aus?
Die erste springt auf die andere Seite der Nullstelle, nach $x_1 = 2$ , und von dort fallen die Iterierten gegen $\ln 3$ , ohne sie zu überschreiten.
Sie wachsen gegen $\ln 3$ , ohne sie zu überschreiten, weil sie links von ihr starten.
Sie konvergieren nicht, weil $f(x_0) < 0$ die Voraussetzung des Satzes nicht erfüllt.
Sie liegen abwechselnd auf beiden Seiten der Nullstelle, jedes Mal näher.
Frage 10Aus früheren EinheitenEine Funktion $f$ ist stetig auf $\icc{0}{1}$ , mit $f(0) = 1$ und $f(1) = -1$ . Was lässt sich mit Sicherheit sagen?
Dass sie an einer Stelle von $\ioo{0}{1}$ verschwindet.
Dass sie an genau einer Stelle von $\ioo{0}{1}$ verschwindet.
Dass sie auf $\icc{0}{1}$ monoton fallend ist.
Dass sie an der Stelle $\frac{1}{2}$ verschwindet.
Frage 11Aus früheren EinheitenEine Funktion $f$ ist auf einem offenen Intervall definiert, das $a$ enthält, und es gilt $f'(a) > 0$ . Was lässt sich mit Sicherheit sagen?
Dass es ein $\delta > 0$ gibt, sodass $f(x) < f(a)$ , falls $a - \delta < x < a$ , und $f(x) > f(a)$ , falls $a < x < a + \delta$ .
Dass $f$ auf einem offenen Intervall, das $a$ enthält, monoton wachsend ist.
Dass $f(x) > f(a)$ für alle $x > a$ des Intervalls gilt.
Dass $f'(x) > 0$ für alle $x$ nahe $a$ gilt.
Frage 12Aus früheren EinheitenMan berechne $f''(1)$ für $f(x) = x^2 \ln x$ .
$3$
$1$
$2$
$-2$
Frage 13Aus früheren EinheitenDie Gleichung $x^2 + xy + y^2 = 3$ definiert in der Nähe des Punktes $(1, 1)$ eine differenzierbare Funktion $y(x)$ mit $y(1) = 1$ . Welchen Wert hat $y'(1)$ ?
$-1$
$-\frac{3}{2}$
$-5$
$1$
Frage 14Aus früheren EinheitenMan berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$ .
$2$
$1$
$\frac{1}{2}$
Er existiert nicht, weil der Quotient die Form $\frac{0}{0}$ hat.

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