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Topos Uranos
Deutsch

Optimierungsprobleme

Zusammenfassung

Diese Lektion löst Aufgaben, in denen die beste von vielen möglichen Konfigurationen zu finden ist: das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt, der Zylinder mit der kleinsten Oberfläche, der kürzeste oder der schnellste Weg. Die vorigen Lektionen lieferten die Werkzeuge, um die globalen Extrema einer gegebenen Funktion zu finden; hier ist die Funktion nicht gegeben, und der größte Teil der Arbeit, und der Fehler, liegt darin, sie aufzustellen. Die Lektion legt ein Verfahren in fünf Stufen fest (die Variable, die Funktion, die Definitionsmenge, die globalen Extrema mit ihrer Begründung und die Antwort) und beweist, dass eine Funktion und ihre Verkettung mit einer streng monoton wachsenden Funktion ihre Extrema an denselben Stellen annehmen, was es etwa erlaubt, statt einer Entfernung ihr Quadrat zu minimieren. Danach beweist sie, dass es zu jedem Punkt einen nächstgelegenen Punkt auf dem Graphen einer auf einem abgeschlossenen Intervall stetigen Funktion gibt und dass, wenn dieser nicht am Rand liegt, der gegebene Punkt auf der Normalen liegt; und sie leitet aus dem Prinzip der kürzesten Zeit das Brechungsgesetz, das snelliussche, und das Reflexionsgesetz, das heronsche, her. Die Aufgaben finden die Schachtel mit dem größten Volumen, den Zylinder mit der kleinsten Oberfläche, die längste Stange, die um eine Ecke getragen werden kann, den Ort, von dem aus ein Bild unter dem größten Winkel erscheint, und den schnellsten Weg über einen Kanal.

Lernziele

  1. Eine geometrische oder physikalische Aufgabe in die Suche nach dem globalen Extremum einer Funktion einer Variablen übersetzen, auf einer genau festgelegten Definitionsmenge.
  2. Begründen, dass das gefundene Extremum global ist: mit dem Satz von Weierstraß, wenn die Definitionsmenge ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall ist, und andernfalls mit dem Vorzeichen der Ableitung, der Konvexität oder den Grenzwerten an den Rändern der Definitionsmenge.
  3. Den Punkt eines Graphen finden, der einem gegebenen Punkt am nächsten liegt, und erkennen, dass die Gerade durch beide senkrecht zum Graphen steht.
  4. Aus dem Prinzip der kürzesten Zeit das Reflexions- und das Brechungsgesetz herleiten und erkennen, wann das Optimum am Rand der Definitionsmenge liegt.

Das Verfahren

Die Lektionen über den Satz von Weierstraß und über Maxima und Minima lehrten, die globalen Extrema einer gegebenen Funktion auf einem gegebenen Intervall zu finden. In einer Optimierungsaufgabe dagegen ist die beste Konfiguration einer Figur oder einer Bewegung gesucht, und die zu untersuchende Funktion muss samt ihrer Definitionsmenge erst aus der Aufgabenstellung aufgestellt werden. Das Verfahren hat fünf Stufen.

  1. Die Variable. Eine Größe wählen, die die Konfiguration festlegt (eine Länge, einen Winkel, eine Lage), und mit Hilfe der Bedingungen der Aufgabe alle übrigen durch sie ausdrücken.
  2. Die Funktion. Die Größe, die maximal oder minimal werden soll, als Funktion dieser einen Variablen schreiben.
  3. Die Definitionsmenge. Die Menge der Werte festlegen, die die Variable in der Aufgabe annehmen kann; meist ist sie ein Intervall. Lässt sich die Funktion stetig auf entartete Konfigurationen fortsetzen, etwa ein Rechteck der Höhe null oder eine Schachtel ohne Volumen, so empfiehlt es sich, sie zuzulassen, um ein abgeschlossenes Intervall zu erhalten, sofern das gesuchte Extremum nicht in ihnen angenommen wird.
  4. Die globalen Extrema. Sie auf der Definitionsmenge finden und begründen, dass sie global sind. Ist die Definitionsmenge ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall, so sichert der Satz von Weierstraß ihre Existenz, und die Proposition über globale Extrema auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall aus der Lektion über Maxima und Minima findet sie durch Vergleich von Werten. Andernfalls verwendet man das Vorzeichen der Ableitung (den Satz über das Kriterium der ersten Ableitung für globale Extrema oder das Korollar über eine einzige kritische Stelle aus derselben Lektion), die Konvexität (das Korollar über kritische Stellen einer konvexen Funktion aus der Lektion über Konkavität, Konvexität und Wendepunkte) oder die Grenzwerte an den Rändern der Definitionsmenge (die Proposition über globale Extrema auf einem offenen Intervall).
  5. Die Antwort. Auf die Aufgabe übertragen: die optimale Konfiguration angeben, nicht nur den optimalen Wert, und prüfen, ob sie sinnvoll ist, in den Maßen und in Sonderfällen.

Die vierte Stufe wird am häufigsten ausgelassen: Eine Stelle zu finden, an der die Ableitung verschwindet, genügt nicht. Diese Stelle kann ein Minimum sein, wenn ein Maximum gesucht ist, ein bloß lokales Extremum oder eine Stelle außerhalb der Definitionsmenge; und das globale Extremum kann in einem Endpunkt des Intervalls liegen, wo die Ableitung keineswegs verschwinden muss. Die Lektion über Maxima und Minima zeigte an 1x+x2\frac{1}{x} + x^2, dass eine einzige kritische Stelle nichts sichert, wenn die Definitionsmenge kein Intervall ist. Oft empfiehlt es sich außerdem, die Funktion durch eine einfachere zu ersetzen, die ihre Extrema an denselben Stellen annimmt.

LemmaExtrema und streng monotone Funktionen

Es seien ff eine auf einer Menge AA definierte Funktion, cc ein Punkt von AA und φ\varphi eine Funktion, die auf einer Menge, welche die Werte von ff enthält, streng monoton wächst. Dann nimmt ff an der Stelle cc sein globales Maximum auf AA genau dann an, wenn φ∘f\varphi \circ f es dort annimmt, und dasselbe gilt für das globale Minimum, für die lokalen Extrema und für die strengen Extrema. Ist φ\varphi streng monoton fallend, so nimmt ff an der Stelle cc genau dann ein Maximum an, wenn φ∘f\varphi \circ f an der Stelle cc ein Minimum derselben Art annimmt, und umgekehrt. Eine streng monoton wachsende Funktion ändert die Reihenfolge der Werte nicht, und die Extrema hängen nur von dieser Reihenfolge ab.

Beweis

  1. u≤w⇔φ(u)≤φ(w),u<w⇔φ(u)<φ(w)u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}

    Es seien uu und ww in der Definitionsmenge von φ\varphi. Ist u<wu < w, so liefert die strenge Monotonie φ(u)<φ(w)\varphi(u) < \varphi(w); ist u=wu = w, so stimmen die Werte überein; und ist u>wu > w, so liefert sie φ(u)>φ(w)\varphi(u) > \varphi(w). Also sind die Ungleichungen zwischen den Zahlen und zwischen ihren Bildern gleichwertig.

  2. f(x)≤f(c)⇔φ(f(x))≤φ(f(c))f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}

    Mit u=f(x)u = f(x) und w=f(c)w = f(c) gelten für jedes xx aus AA, oder für jedes xx aus AA, das von cc weniger als ein gewisses δ\delta entfernt ist, die Ungleichungen, die das globale Maximum, das lokale und die strengen definieren, gemäß der Lektion über Maxima und Minima und der Definition des lokalen Extremums aus der Lektion über die Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy, für ff genau dann, wenn sie für φ∘f\varphi \circ f gelten. Das Minimum behandelt man ebenso, und ist φ\varphi streng monoton fallend, so kehren sich die Ungleichungen zwischen den Bildern um.

Am häufigsten werden vier Fälle gebraucht. Die Quadratwurzel wächst auf [0,∞)\ico{0}{\infty} streng monoton: Eine Entfernung und ihr Quadrat werden an denselben Stellen minimal, und das Quadrat enthält keine Wurzeln. Das Quadrieren ist auf [0,∞)\ico{0}{\infty} streng monoton wachsend: Eine nichtnegative Größe und ihr Quadrat werden an denselben Stellen maximal. Der Logarithmus wächst auf (0,∞)\ioo{0}{\infty} streng monoton: Ein Produkt positiver Potenzen und sein Logarithmus, der eine Summe ist, ebenfalls. Und eine positive Funktion nimmt ihr Maximum dort an, wo ihr Kehrwert sein Minimum annimmt, denn 1u\frac{1}{u} ist auf (0,∞)\ioo{0}{\infty} streng monoton fallend.

BeispielDas einem Halbkreis einbeschriebene Rechteck

Unter den einem Halbkreis mit Radius RR einbeschriebenen Rechtecken, die mit einer Seite auf dem Durchmesser liegen, ist das mit dem größten Flächeninhalt zu finden. Die Rechnung folgt den Stufen des Verfahrens.

Beweis

  1. A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}

    Die Variable und die Funktion. Wir legen den Mittelpunkt in den Ursprung und den Durchmesser auf die waagerechte Achse. Das Rechteck ist durch xx, die Hälfte seiner Grundseite, bestimmt: Seine oberen Ecken liegen auf dem Halbkreis, in (±x,R2−x2)\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right), und sein Flächeninhalt ist die folgende Funktion.

  2. F(x)=(A(x))2=4x2(R2−x2),x∈[0,R]F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}

    Die Definitionsmenge. Den echten Rechtecken entsprechen die xx aus (0,R)\ioo{0}{R}; wir lassen auch 00 und RR zu, die entartete Rechtecke mit Flächeninhalt null ergeben, und erhalten ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall, auf dem AA stetig ist: Nach dem Satz von Weierstraß existiert das Maximum. Da AA nicht negativ ist, genügt es nach dem Lemma, ihr Quadrat zu maximieren, das ein Polynom ist und, anders als AA, auch in RR differenzierbar ist.

  3. F′(x)=8x(R2−2x2)=0, 0<x<R→x=R2F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}

    Die Kandidaten. Die Ableitung von FF verschwindet an genau einer Stelle von (0,R)\ioo{0}{R}.

  4. F(0)=F(R)=0<F(R2)=R4,A(R2)=R2F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}

    Der Vergleich und die Antwort. Nach der Proposition über globale Extrema auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall ist das Maximum von FF der größte seiner Werte in 00, in RR und an der kritischen Stelle. Das optimale Rechteck hat die Grundseite 2R\sqrt{2}R und die Höhe R2\frac{R}{\sqrt{2}}, die Hälfte der Grundseite, und den Flächeninhalt R2R^2.

Spiegelt man das optimale Rechteck am Durchmesser, so erhält man ein dem ganzen Kreis einbeschriebenes Quadrat mit der Seite 2R\sqrt{2}R und dem Flächeninhalt 2R22R^2, das nach derselben Rechnung das flächengrößte dem Kreis einbeschriebene Rechteck ist. Die entarteten Rechtecke haben das Ergebnis nicht verändert: Das Maximum wird in einem echten Rechteck angenommen.