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Topos Uranos
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최적화 문제

요약

이 수업에서는 가능한 많은 배치 가운데 가장 좋은 것을 찾아야 하는 문제를 푼다. 넓이가 가장 큰 직사각형, 겉넓이가 가장 작은 원기둥, 가장 짧은 길이나 가장 빠른 길이 그런 것이다. 앞선 수업들은 주어진 함수의 최댓값·최솟값을 구하는 도구를 주었다. 여기서는 함수가 주어지지 않으며, 작업의 대부분과 오류의 대부분은 그 함수를 세우는 데 있다. 이 수업은 다섯 과정으로 이루어진 방법(변수, 함수, 정의역, 근거를 갖춘 최댓값·최솟값, 결론)을 정하고, 함수와, 그 함수에 엄격하게 증가하는 함수를 합성한 것이 같은 점에서 최댓값·최솟값과 극값을 가짐을 증명한다. 이 덕분에 예컨대 거리 대신 거리의 제곱을 최소화할 수 있다. 이어서 닫힌구간에서 연속인 함수의 그래프 위에는 어떤 점에 대해서도 가장 가까운 점이 있고, 그 점이 경계에 있지 않으면 주어진 점이 법선 위에 있음을 증명한다. 또 최소 시간의 원리로부터 굴절 법칙(스넬의 법칙)과 반사 법칙(헤론의 법칙)을 이끌어 낸다. 문제들에서는 부피가 가장 큰 상자, 겉넓이가 가장 작은 원기둥, 모퉁이를 돌 수 있는 가장 긴 막대, 그림이 가장 큰 각으로 보이는 위치, 운하를 가장 빨리 건너는 방법을 구한다.

학습 목표

  1. 기하학적 또는 물리적 문제를, 정확하게 정한 정의역에서 일변수 함수의 최댓값·최솟값을 찾는 문제로 옮긴다.
  2. 구한 값이 최댓값·최솟값임을 정당화한다. 정의역이 유계인 닫힌구간이면 바이어슈트라스의 정리로, 그렇지 않으면 도함수의 부호, 아래로 볼록함, 또는 정의역 끝점에서의 극한으로 정당화한다.
  3. 그래프 위에서 주어진 점에 가장 가까운 점을 구하고, 두 점을 잇는 직선이 그래프의 법선임을 안다.
  4. 최소 시간의 원리로부터 반사 법칙과 굴절 법칙을 이끌어 내고, 최적점이 정의역의 경계에 있는 경우를 알아본다.

방법

바이어슈트라스의 정리와 극값과 최댓값·최솟값에 관한 수업에서는 주어진 구간에서 주어진 함수의 최댓값·최솟값을 구하는 법을 배웠다. 반면 최적화 문제에서는 도형이나 운동의 최적 배치를 구해야 하며, 조사할 함수와 그 정의역을 문제의 조건으로부터 세워야 한다. 방법은 다섯 과정으로 이루어진다.

  1. 변수. 배치를 결정하는 양(길이, 각, 위치)을 하나 고르고, 문제의 조건을 이용해 나머지 모든 양을 그것으로 나타낸다.
  2. 함수. 최대 또는 최소로 만들고자 하는 양을 그 하나의 변수의 함수로 쓴다.
  3. 정의역. 문제에서 변수가 가질 수 있는 값의 집합을 정한다. 이것은 보통 구간이다. 함수가 높이가 영인 직사각형이나 부피가 없는 상자처럼 퇴화한 배치까지 연속적으로 확장되면, 찾는 최댓값·최솟값이 그곳에서 나타나지 않는 한, 그런 배치도 받아들여 닫힌구간을 얻는 것이 좋다.
  4. 최댓값과 최솟값. 정의역에서 그것들을 구하고, 그것이 최댓값·최솟값임을 정당화한다. 정의역이 유계인 닫힌구간이면 바이어슈트라스의 정리가 그 존재를 보장하고, 극값과 최댓값·최솟값에 관한 수업의 유계인 닫힌구간에서의 최댓값·최솟값 명제가 값을 비교하여 그것들을 구한다. 그렇지 않으면 도함수의 부호(같은 수업의 일계도함수를 이용한 최댓값·최솟값 판정법 정리, 또는 유일한 임계점 따름정리), 아래로 볼록함(오목·볼록에 관한 수업의 아래로 볼록한 함수의 임계점 따름정리), 또는 정의역 끝점에서의 극한(열린구간에서의 최댓값·최솟값 명제)을 이용한다.
  5. 결론. 문제로 돌아가 최적값뿐 아니라 최적 배치를 제시하고, 그것이 단위와 특수한 경우에서 의미가 있는지 확인한다.

네 번째 과정이 가장 자주 빠진다. 도함수가 영이 되는 점을 찾는 것만으로는 충분하지 않다. 그 점은 최댓값을 찾는데 최솟값일 수도, 극값에 지나지 않을 수도, 정의역 밖의 점일 수도 있다. 또 최댓값·최솟값은 구간의 끝점에 있을 수도 있는데, 그곳에서 도함수가 영이 될 필요는 없다. 극값과 최댓값·최솟값에 관한 수업은 1x+x2\frac{1}{x} + x^2의 경우를 통해, 정의역이 구간이 아니면 유일한 임계점이 아무것도 보장하지 않음을 보였다. 또한 함수를 같은 점에서 최댓값·최솟값을 가지는 더 간단한 함수로 바꾸면 편리한 경우가 많다.

보조정리최댓값·최솟값과 엄격한 단조함수

ff가 집합 AA에서 정의된 함수, cc가 AA의 한 점, φ\varphi가 ff의 값들을 포함하는 집합에서 엄격하게 증가하는 함수라 하자. 그러면 ff가 cc에서 AA에서의 최댓값을 가질 필요충분조건은 φ∘f\varphi \circ f가 그 점에서 최댓값을 가지는 것이며, 최솟값, 극값, 엄격한 극값에 대해서도 마찬가지이다. φ\varphi가 엄격하게 감소하면, ff가 cc에서 최댓값을 가질 필요충분조건은 φ∘f\varphi \circ f가 cc에서 같은 종류의 최솟값을 가지는 것이며, 역으로도 마찬가지이다. 엄격하게 증가하는 함수는 값들 사이의 순서를 바꾸지 않으며, 최댓값·최솟값과 극값은 그 순서에만 의존한다.

증명

  1. u≤w⇔φ(u)≤φ(w),u<w⇔φ(u)<φ(w)u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}

    uu와 ww가 φ\varphi의 정의역에 속한다고 하자. u<wu < w일 때 엄격한 단조성으로부터 φ(u)<φ(w)\varphi(u) < \varphi(w)이고, u=wu = w일 때 두 값이 같으며, u>wu > w일 때 φ(u)>φ(w)\varphi(u) > \varphi(w)이다. 따라서 수들 사이의 부등식과 그 상들 사이의 부등식은 동치이다.

  2. f(x)≤f(c)⇔φ(f(x))≤φ(f(c))f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}

    u=f(x)u = f(x), w=f(c)w = f(c)로 놓으면, 모든 xx(AA의 원소)에 대하여, 또는 모든 xx(AA의 원소로서 cc까지의 거리가 어떤 δ\delta보다 작은 것)에 대하여, 극값과 최댓값·최솟값에 관한 수업과 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리에 관한 수업의 극값의 정의에 따라 최댓값, 극댓값, 엄격한 경우를 정의하는 부등식이 ff에 대하여 성립할 필요충분조건은 φ∘f\varphi \circ f에 대하여 성립하는 것이다. 최솟값도 마찬가지이며, φ\varphi가 엄격하게 감소하면 상들 사이의 부등식의 방향이 바뀐다.

가장 자주 쓰이는 경우는 네 가지이다. 제곱근은 [0,∞)\ico{0}{\infty}에서 엄격하게 증가한다. 거리와 그 제곱은 같은 점에서 최소가 되며, 제곱은 근호 없이 쓰인다. 제곱은 [0,∞)\ico{0}{\infty}에서 엄격하게 증가한다. 음이 아닌 양과 그 제곱은 같은 점에서 최대가 된다. 로그는 (0,∞)\ioo{0}{\infty}에서 엄격하게 증가한다. 양의 거듭제곱들의 곱과 그 로그(합이 된다)도 마찬가지이다. 그리고 양의 함수는 그 역수가 최솟값을 가지는 곳에서 최댓값을 가진다. 1u\frac{1}{u}가 (0,∞)\ioo{0}{\infty}에서 엄격하게 감소하기 때문이다.

예시반원에 내접하는 직사각형

반지름이 RR인 반원에 내접하고 한 변이 지름 위에 있는 직사각형 가운데 넓이가 가장 큰 것을 구하여라. 해법의 과정은 방법의 과정과 같다.

증명

  1. A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}

    변수와 함수. 중심을 원점에, 지름을 가로축 위에 놓는다. 직사각형은 밑변의 절반 xx로 결정된다. 위쪽 두 꼭짓점은 반원 위의 (±x,R2−x2)\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right)에 있고, 넓이는 아래의 함수이다.

  2. F(x)=(A(x))2=4x2(R2−x2),x∈[0,R]F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}

    정의역. 실제 직사각형은 xx가 (0,R)\ioo{0}{R}에 속하는 경우에 대응한다. 00과 RR도 받아들인다. 이들은 넓이가 영인 퇴화한 직사각형을 준다. 이렇게 하여 유계인 닫힌구간을 얻고, AA는 그 위에서 연속이다. 바이어슈트라스의 정리에 의해 최댓값이 존재한다. AA는 음이 아니므로, 보조정리에 의해 그 제곱을 최대로 만들면 충분하다. 그것은 다항식이며, AA와 달리 RR에서도 미분가능하다.

  3. F′(x)=8x(R2−2x2)=0, 0<x<R→x=R2F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}

    후보. FF의 도함수는 (0,R)\ioo{0}{R}의 단 한 점에서 영이 된다.

  4. F(0)=F(R)=0<F(R2)=R4,A(R2)=R2F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}

    비교와 결론. 유계인 닫힌구간에서의 최댓값·최솟값 명제에 의해, FF의 최댓값은 00, RR 및 임계점에서의 값 가운데 가장 큰 것이다. 최적의 직사각형은 밑변이 2R\sqrt{2}R, 높이가 R2\frac{R}{\sqrt{2}}(밑변의 절반), 넓이가 R2R^2이다.

최적의 직사각형을 지름에 대하여 대칭이동하면 한 변이 2R\sqrt{2}R이고 원 전체에 내접하며 넓이가 2R22R^2인 정사각형을 얻는다. 같은 계산에 의해 이것이 그 원에 내접하는 넓이가 가장 큰 직사각형이다. 퇴화한 직사각형은 결과를 바꾸지 않았다. 최댓값은 실제 직사각형에서 나타난다.