오목·볼록과 변곡점

아래로 볼록한 함수와 위로 볼록한 함수

단조성에 관한 수업은 함수가 올라가는지 내려가는지를 다루었고, 이 수업은 어떻게 올라가고 내려가는지를 다룬다. 함수 $x^2$과 $\sqrt{x}$는 모두 $\ico{0}{\infty}$에서 엄격하게 증가하지만, 앞의 것은 위쪽으로 휘고 뒤의 것은 아래쪽으로 휜다. $x^2$의 그래프 위의 두 점을 잇는 선분, 곧 그 현은 두 점 사이의 그래프의 호 위에 있고, $\sqrt{x}$의 현은 호 아래에 있다. $t$가 $\icc{0}{1}$에 속할 때, $(x, f(x))$와 $(y, f(y))$를 잇는 현 위의 점 가운데 가로좌표가 $tx + (1 - t)y$인 점의 세로좌표는 $t f(x) + (1 - t) f(y)$이다. 세로좌표들의 같은 결합이다.

일차함수 $mx + n$은 아래로 볼록하면서 동시에 위로 볼록하다. 그 그래프는 현과 일치한다. 함수 $x^2$은 $\mathbb{R}$에서 엄격하게 아래로 볼록하다. 부등식의 두 변의 차가 $t(1 - t)(x - y)^2$이고, 이는 $x \neq y$이고 $0 < t < 1$일 때 양이기 때문이다. 절댓값은 삼각부등식 $\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}$에 의해 아래로 볼록하지만, $0$에서 미분가능하지 않다. 또 엄격하게 아래로 볼록하지는 않다. $\ico{0}{\infty}$에서 현과 일치하기 때문이다.

두 가지 관례. 이 강좌에서는 $x^2$처럼 그래프가 현보다 위로 올라가지 않는 함수를 「아래로 볼록」, $\sqrt{x}$처럼 그래프가 현보다 아래로 내려가지 않는 함수를 「위로 볼록」이라 한다. 이것은 고등학교 「미적분」의 용어이며, 대학의 해석학과 최적화의 많은 책에서 「볼록함수」, 「오목함수」라 부르는 것에 해당한다. 또 「대수학과 기하학 II」의 삼각함수와 그 그래프에 관한 수업에서 증명 없이 받아들인, 사인이 위로 볼록하다는 사실의 관례이기도 하다. 한편 「볼록」, 「오목」을 단독으로 쓰는 책 가운데에는 말을 거꾸로 써서, 그래프를 위에서 보고 $x^2$을 오목하다고 부르는 것도 있고, 미적분학 번역서 가운데에는 「아래로 볼록」을 「위로 오목」, 「위로 볼록」을 「아래로 오목」이라 쓰는 것도 있다. 이 강좌가 「볼록」, 「오목」을 단독으로 쓰지 않고 「아래로 볼록」, 「위로 볼록」이라고 쓰는 것은 그 때문이다. 새로운 책을 대할 때에는 그 정의를 찾거나 $x^2$을 무엇이라 부르는지에 주의하는 것이 좋다. 부등식은 바뀌지 않고, 바뀌는 것은 이름뿐이다.

정의는 그래프의 점을 현과 비교한다. $x < z < y$일 때, $(z, f(z))$를 $x$에서 $y$까지의 현과 비교하는 것은 세 현의 기울기를 비교하는 것과 같다. 아래로 볼록한 함수의 그래프를 왼쪽에서 오른쪽으로 따라가면 현은 점점 가팔라진다. 그림은 $f(x) = \frac{x^2}{4} - 0.3x + 0.6$의 경우를 보여 준다.