곡률과 곡률 반지름

요약

이 수업에서는 함수의 그래프가 한 점에서 얼마나 휘어 있는지를 잰다. 접선은 그 점에서 함수와 같은 값과 같은 미분계수를 가지는 직선이고, 접촉원은 여기에 더해 같은 이계미분계수를 가지는 원이다. 원의 방정식을 두 번 미분하면, 원의 각 점에서 일계도함수와 이계도함수의 어떤 결합이 정확히 반지름과 같다는 것을 얻는다. 이를 이용하여, 함수의 이계미분계수가 0이 아니면 접촉원이 존재하고 유일함을 증명하고, 그 중심과 반지름, 곧 곡률 반지름을 구한다. 곡률 반지름의 역수가 곡률이며, 곡률은 이계미분계수가 0이 되는 곳에서 0이 된다. 이어서 하위헌스가 알아낸 것처럼 곡률 중심이 가까운 법선들의 교점의 극한임을, 그리고 좌표축을 바꾸어도 곡률이 변하지 않아 접선이 연직인 곳에서도 곡률을 잴 수 있음을 증명한다. 문제들은 접촉원이 그래프를 가로지르는지 판정하고, 지수함수의 곡률이 최대인 점, 타원의 곡률이 최대·최소인 점, 현수선의 곡률 반지름을 구하며, 직선과 원호 사이의 곡률의 도약을 조사한다.

학습 목표

함수의 그래프에 대한 한 점에서의 접촉원을 정의하고, 이계미분계수가 0이 아닐 때 접촉원이 존재하고 유일함을 증명하며, 그 중심과 반지름을 계산한다.
그래프의 한 점에서의 곡률과 곡률 반지름을 계산하고, 곡률이 0이라는 것의 의미를 해석하며, 그래프의 곡률이 최대 또는 최소인 점을 구한다.
곡률 중심을 법선들의 교점의 극한으로 구하고, 좌표축의 역할을 바꾸어 접선이 연직인 곳에서 곡률을 잰다.
고계도함수 판정법으로, 접촉원이 그래프를 가로지르는지 그래프의 한쪽에만 머무는지 판정한다.

접촉원

$f$ 의 그래프의 점 $(a, f(a))$ 에서의 접선은 $a$ 에서 $f$ 와 같은 값과 같은 미분계수를 가지는 직선이다. 오목·볼록과 변곡점에 관한 수업에서 보였듯이, $f''(a) \neq 0$ 이면 그래프는 $a$ 근처에서 접선의 한쪽에만 있다. 곧 $f''(a) > 0$ 이면 접선 위에, $f''(a) < 0$ 이면 접선 아래에 있다. 그러나 그래프가 접선에서 얼마나 벗어나는지, 곧 얼마나 휘는지는 말하지 않았다. 이를 재려면 언제나 똑같이 휘는 곡선, 곧 원과 비교하는 것이 좋다. 작은 원은 많이 휘고, 큰 원은 조금 휜다. 원은 함수의 그래프가 아니다. 내부를 지나는 연직선은 모두 원과 두 번 만나기 때문이다. 그러나 원의 두 반쪽 각각은 끝점을 빼면 함수의 그래프이다.

보조정리반원의 도함수

$(h, k)$ 를 평면 위의 점, $r > 0$ , $\sigma$ 를 $1$ 또는 $-1$ 라 하고, $u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}$ (단, $x$ 는 $\ioo{h - r}{h + r}$ 의 점)이라 하자. 이 함수의 그래프는 $\sigma = 1$ 이면 위쪽 반원, $\sigma = -1$ 이면 아래쪽 반원이며, 중심은 $(h, k)$ , 반지름은 $r$ 이고, 끝점은 포함하지 않는다. 이때 $u$ , $u'$ , $u''$ 은 $\ioo{h - r}{h + r}$ 에서 미분가능하고, $u(x) \neq k$ 이며, 구간의 각 점 $x$ 에서 아래가 성립한다:

(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

따라서 $u''(x)$ 는 0이 되지 않고 $-\sigma$ 의 부호를 가진다. 그러므로 아래쪽 반원은 엄격하게 아래로 볼록, 위쪽 반원은 엄격하게 위로 볼록이며, 그 모든 점에서:

\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

증명

$(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}$
$x$ 가 구간에 있으면 $r^2 - (x - h)^2 > 0$ 이므로 $u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}$ 은 0이 되지 않고, $u$ 는 연쇄 법칙에 관한 수업의 자주 쓰이는 합성함수의 도함수 따름정리에 의해 미분가능하다. 제곱하면 $u$ 의 그래프는 원 위에 있다:
$2(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}$
양변은 구간에서 $x$ 의 같은 함수이고, 그 도함수는 일치한다. 이것은 역함수의 미분법과 음함수의 미분법에 관한 수업의 음함수의 미분법을, 미분가능하다는 것을 이미 아는 함수에 적용한 것이다. 일계도함수에 대해 정리하면, $u'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k}$ 는 분모가 0이 아닌 미분가능한 함수들의 몫이고, 미분법의 공식에 관한 수업의 몫의 미분법에 의해 미분가능하다. 한 번 더 미분하면 두 번째 등식을 얻고, 그로부터 $u''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k}$ 도 미분가능한 함수들의 몫이다.
$1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}$
$1 + \left(u'(x)\right)^2 > 0$ 이므로 이계도함수는 0이 되지 않고, $u(x) - k$ 의 부호, 곧 $\sigma$ 의 부호와 반대인 부호를 가진다. 아래로 볼록함과 이계도함수 따름정리에 의해 엄격하게 아래로 볼록하거나 엄격하게 위로 볼록하다. 첫 번째 등식에 의해 $1 + \left(u'(x)\right)^2$ 는 $(x - h)^2$ 과 $\left(u(x) - k\right)^2$ 의 합(이것은 $r^2$ 과 같다)을 $\left(u(x) - k\right)^2$ 로 나눈 것이다.

원에서는 접선의 기울기와 이계도함수가 점마다 달라지지만, 보조정리의 결합은 달라지지 않는다. 그것은 언제나 반지름과 같다. 이로부터 그것으로 임의의 그래프가 얼마나 휘는지를 재는 것을 생각할 수 있다. 그 전에, 한 점에서 그래프에 가장 잘 맞는 원, 곧 이계도함수까지 그래프와 일치하는 원을 구해 두는 것이 좋다.

정의접촉원

$f$ 를 열린구간 $I$ 에서 미분가능하고 점 $a$ ( $I$ 의 점)에서 두 번 미분가능한 함수라 하자. 중심이 $(h, k)$ 이고 반지름이 $r > 0$ 인 원이 $f$ 의 그래프에 점 $(a, f(a))$ 에서 접한다는 것은, 이 원이 그 점을 지나고 그 점이 원의 가장 왼쪽 점도 가장 오른쪽 점도 아닌 것, 곧 $(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2$ 이고 $f(a) \neq k$ 이며, 또 그 점을 포함하는 반원, 곧 보조정리의 함수 $u$ (단, $\sigma$ 는 $f(a) - k$ 의 부호와 같다)의 그래프가 $a$ 에서 $f$ 와 같은 값, 같은 미분계수, 같은 이계미분계수를 가지는 것을 말한다:

u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

그 중심을 그 점에서의 그래프의 곡률 중심이라 한다.

접선은 처음 두 등식을 만족하고, 접촉원은 세 번째 등식도 만족한다. 이 원의 라틴어 이름은 osculari(입 맞추다)에서 왔고, 한국어의 ‘접촉원’은 긴밀하게 닿는다는 뜻을 나타낸다. 이 원은 다른 접하는 원들처럼 그래프에 닿기만 하는 것이 아니라 그래프와 똑같이 휜다. 그림은 $f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1$ , $a = 1.2$ 인 경우에 그래프에 접하는 세 원과, 그 가운데 접촉원을 보여 준다.

정리접촉원의 존재성과 유일성

$f$ 를 열린구간 $I$ 에서 미분가능하고 점 $a$ ( $I$ 의 점)에서 두 번 미분가능한 함수라 하고, $m = f'(a)$ , $q = f''(a)$ 이라 하자. $q \neq 0$ 이면 $f$ 의 그래프는 점 $(a, f(a))$ 에서 정확히 하나의 접촉원을 가지며, 그 중심은 $(h, k)$ , 반지름은 $\rho$ 이다:

h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

그 중심은 그 점에서의 그래프의 법선 위에 있고, $q > 0$ 이면 점의 위에, $q < 0$ 이면 점의 아래에 있다. $q = 0$ 이면 그래프는 점 $(a, f(a))$ 에서 접촉원을 가지지 않는다.

증명

$(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}$
중심이 $(h, k)$ 이고 반지름이 $r$ 인 원이 접촉원이고, 그 반원이 $u$ 이라 하자. 보조정리의 첫 번째 등식은 $x = a$ 에서 $u(a) = f(a)$ 와 $u'(a) = m$ 을 이용하면, 중심이 그 점에서의 그래프의 법선의 방정식을 만족함을 말해 준다. 이는 극한으로서의 도함수에 관한 수업의 접선과 법선의 정의에 따른 것으로, $m \neq 0$ 인 경우에도 법선이 연직인 경우에도 성립한다.
$1 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}$
보조정리의 두 번째 등식은 $x = a$ 에서 $u''(a) = q$ 를 이용하면, $q = 0$ 이면 $1 + m^2 > 0$ 이므로 불가능하고, 접촉원은 존재하지 않는다. $q \neq 0$ 이면 이 등식은 $f(a) - k$ 를 정하고, 첫 번째 등식이 $a - h$ 를, 원의 방정식이 반지름을 준다. 따라서 접촉원은 많아야 하나이고, 그 중심과 반지름은 정리에서 말한 것이다.
$u'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}$
거꾸로, $h$ , $k$ , $\rho$ 를 정리에서 말한 것이라 하자. 중심이 $(h, k)$ 이고 반지름이 $\rho$ 인 원은 위의 계산에 의해 $(a, f(a))$ 를 지난다. 또 $f(a) - k$ 는 0이 되지 않고 $-q$ 의 부호를 가지므로, $\sigma = -1$ (단, $q > 0$ 일 때)이고, 이때 중심은 점의 위에 있으며, $\sigma = 1$ (단, $q < 0$ 일 때)이다. 보조정리의 함수 $u$ 는 $u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a)$ 를 만족하고, 보조정리의 두 등식은 $x = a$ 에서 그 도함수를 준다. 따라서 이 원은 접촉원이다.

$q > 0$ 이면 접촉원은 아래로 볼록한 아래쪽 반원으로 그래프에 위에서 기대어 닿는다. $q < 0$ 이면 위로 볼록한 위쪽 반원으로 닿는다. 두 경우 모두, 오목·볼록에 관한 수업의 그래프와 그 접선 명제를 $n = 2$ 으로 하여 $f$ 와 $u$ 에 적용하면(두 함수는 같은 접선을 가지고 이계도함수의 부호가 같다), 그래프와 원은 $a$ 근처에서 그 접선의 같은 쪽에 있다. $f''(a) = 0$ 이면 어떤 원도 맞지 않는다. 반원의 이계도함수는 결코 0이 되지 않기 때문이다. 이계도함수가 0인 접선은 세 등식을 모두 만족하며, 반지름이 무한대인 원의 역할을 한다.

곡률과 곡률 반지름

요약

학습 목표

접촉원

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