Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Καμπυλότητα και ακτίνα καμπυλότητας

Περίληψη

Αυτό το μάθημα μετρά πόσο καμπυλώνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Η εφαπτομένη είναι η ευθεία που έχει στο σημείο την ίδια τιμή και την ίδια παράγωγο με τη συνάρτηση· ο εγγύτατος κύκλος είναι εκείνος που έχει, επιπλέον, την ίδια δεύτερη παράγωγο. Παραγωγίζοντας δύο φορές την εξίσωση ενός κύκλου προκύπτει ότι, σε καθένα από τα σημεία του, ένας συνδυασμός της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου ισούται ακριβώς με την ακτίνα του· με αυτό, το μάθημα αποδεικνύει ότι, αν η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης δεν μηδενίζεται, ο εγγύτατος κύκλος υπάρχει και είναι μοναδικός, και δίνει το κέντρο και την ακτίνα του, την ακτίνα καμπυλότητας. Το αντίστροφό της είναι η καμπυλότητα, που μηδενίζεται όπου μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος. Αποδεικνύει έπειτα ότι το κέντρο καμπυλότητας είναι το όριο των σημείων όπου τέμνονται γειτονικές κάθετες, όπως το είδε ο Χόιχενς, και ότι η καμπυλότητα δεν αλλάζει με την εναλλαγή των αξόνων, πράγμα που επιτρέπει να μετρηθεί εκεί όπου η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη. Τα προβλήματα κρίνουν αν ο εγγύτατος κύκλος διασχίζει τη γραφική παράσταση, βρίσκουν το σημείο μέγιστης καμπυλότητας της εκθετικής, τα σημεία μέγιστης και ελάχιστης καμπυλότητας μιας έλλειψης και την ακτίνα καμπυλότητας της αλυσοειδούς καμπύλης, και μελετούν το άλμα της καμπυλότητας ανάμεσα σε μια ευθεία και ένα τόξο.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ορίζει τον εγγύτατο κύκλο στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, να αποδεικνύει ότι υπάρχει και είναι μοναδικός όταν η δεύτερη παράγωγος δεν μηδενίζεται, και να υπολογίζει το κέντρο και την ακτίνα του.
  2. Να υπολογίζει την καμπυλότητα και την ακτίνα καμπυλότητας μιας γραφικής παράστασης σε ένα σημείο, να ερμηνεύει τη μηδενική καμπυλότητα και να βρίσκει τα σημεία μέγιστης ή ελάχιστης καμπυλότητας μιας γραφικής παράστασης.
  3. Να βρίσκει το κέντρο καμπυλότητας ως όριο των τομών των καθέτων, και να μετρά την καμπυλότητα όπου η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη εναλλάσσοντας τους ρόλους των αξόνων.
  4. Να κρίνει, με το κριτήριο των παραγώγων ανώτερης τάξης, αν ο εγγύτατος κύκλος διασχίζει τη γραφική παράσταση ή μένει από τη μία μόνο πλευρά της.

Ο εγγύτατος κύκλος

Η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της ff στο (a,f(a))(a, f(a)) είναι η ευθεία που έχει στο aa την ίδια τιμή και την ίδια παράγωγο με την ff. Το μάθημα για την κοιλότητα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής έδειξε ότι, αν f′′(a)≠0f''(a) \neq 0, η γραφική παράσταση μένει κοντά στο aa από τη μία μόνο πλευρά της εφαπτομένης της: πάνω από αυτήν αν f′′(a)>0f''(a) > 0 και κάτω από αυτήν αν f′′(a)<0f''(a) < 0. Δεν είπε όμως πόσο απομακρύνεται από αυτήν, δηλαδή πόσο καμπυλώνεται. Για να το μετρήσουμε, αξίζει να τη συγκρίνουμε με τις καμπύλες που καμπυλώνονται πάντα το ίδιο, τους κύκλους: ένας μικρός κύκλος καμπυλώνεται πολύ, και ένας μεγάλος, λίγο. Ένας κύκλος δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης, επειδή κάθε κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το εσωτερικό του τον τέμνει δύο φορές· όμως καθένα από τα δύο μισά του, χωρίς τα άκρα του, είναι.

ΛήμμαΟι παράγωγοι ενός ημικυκλίου

Έστω (h,k)(h, k) ένα σημείο του επιπέδου, r>0r > 0, σ\sigma ίσο με 11 ή με −1-1, και u(x)=k+σr2−(x−h)2u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} για xx στο (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, της οποίας η γραφική παράσταση είναι το άνω ημικύκλιο αν σ=1\sigma = 1, ή το κάτω αν σ=−1\sigma = -1, με κέντρο (h,k)(h, k) και ακτίνα rr, χωρίς τα άκρα του. Τότε οι uu, u′u' και u′′u'' είναι παραγωγίσιμες στο (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, u(x)≠ku(x) \neq k, και σε κάθε σημείο xx του διαστήματος:

(x−h)+(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=0(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

Συνεπώς, η u′′(x)u''(x) δεν μηδενίζεται και έχει το πρόσημο του −σ-\sigma, ώστε το κάτω ημικύκλιο είναι γνησίως κυρτό και το άνω γνησίως κοίλο, και σε όλα τα σημεία του:

(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

Απόδειξη

  1. (x−h)2+(u(x)−k)2=r2,x∈(h−r,h+r)(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}

    Αν το xx ανήκει στο διάστημα, r2−(x−h)2>0r^2 - (x - h)^2 > 0, ώστε η διαφορά u(x)−k=σr2−(x−h)2u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} δεν μηδενίζεται, και η uu είναι παραγωγίσιμη από το πόρισμα των παραγώγων συνήθων συνθέσεων, από το μάθημα για τον κανόνα της αλυσίδας. Υψώνοντας στο τετράγωνο, η γραφική παράσταση της uu βρίσκεται πάνω στον κύκλο:

  2. 2(x−h)+2(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=02(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}

    Τα δύο μέλη είναι η ίδια συνάρτηση του xx στο διάστημα, και οι παράγωγοί τους συμπίπτουν: είναι η πεπλεγμένη παραγώγιση του μαθήματος για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης και την πεπλεγμένη παραγώγιση, εφαρμοσμένη σε μια συνάρτηση που ήδη ξέρουμε ότι είναι παραγωγίσιμη. Λύνοντας ως προς την πρώτη παράγωγο, η u′(x)=−x−hu(x)−ku'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k} είναι πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με μη μηδενικό παρονομαστή, παραγωγίσιμο από τον κανόνα του πηλίκου, από το μάθημα για τους κανόνες παραγώγισης· παραγωγίζοντας ξανά προκύπτει η δεύτερη ισότητα, από την οποία η u′′(x)=−1+(u′(x))2u(x)−ku''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k} είναι επίσης πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

  3. 1+(u′(x))2=r2(u(x)−k)2,∣u′′(x)∣=r2∣u(x)−k∣3→(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}

    Αφού 1+(u′(x))2>01 + \left(u'(x)\right)^2 > 0, η δεύτερη παράγωγος δεν μηδενίζεται και έχει το αντίθετο πρόσημο από εκείνο της διαφοράς u(x)−ku(x) - k, που είναι το πρόσημο του σ\sigma· το πόρισμα της κυρτότητας και της δεύτερης παραγώγου δίνει τη γνήσια κυρτότητα ή τη γνήσια κοιλότητα. Από την πρώτη ισότητα, η παράσταση 1+(u′(x))21 + \left(u'(x)\right)^2 είναι το άθροισμα των (x−h)2(x - h)^2 και (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2, που ισούται με r2r^2, διαιρεμένο με (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2.

Σε έναν κύκλο, η κλίση της εφαπτομένης και η δεύτερη παράγωγος αλλάζουν από σημείο σε σημείο, όμως ο συνδυασμός του λήμματος δεν αλλάζει: ισούται πάντα με την ακτίνα. Αυτό μας οδηγεί να μετρήσουμε με αυτόν πόσο καμπυλώνεται οποιαδήποτε γραφική παράσταση. Πρώτα όμως, αξίζει να βρούμε τον κύκλο που προσαρμόζεται καλύτερα στη γραφική παράσταση σε ένα σημείο, εκείνον που συμπίπτει με αυτήν μέχρι τη δεύτερη παράγωγο.

ΟρισμόςΕγγύτατος κύκλος

Έστω ff μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα II και δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα σημείο aa του II. Ένας κύκλος με κέντρο (h,k)(h, k) και ακτίνα r>0r > 0 είναι εγγύτατος στη γραφική παράσταση της ff στο (a,f(a))(a, f(a)) αν διέρχεται από αυτό το σημείο χωρίς αυτό να είναι το αριστερότερο ούτε το δεξιότερο σημείο του, δηλαδή αν (a−h)2+(f(a)−k)2=r2(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2 και f(a)≠kf(a) \neq k, και αν το ημικύκλιο που το περιέχει, η γραφική παράσταση της συνάρτησης uu του λήμματος με σ\sigma ίσο με το πρόσημο του f(a)−kf(a) - k, έχει στο aa την ίδια τιμή, την ίδια παράγωγο και την ίδια δεύτερη παράγωγο με την ff:

u(a)=f(a),u′(a)=f′(a),u′′(a)=f′′(a)u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

Το κέντρο του λέγεται κέντρο καμπυλότητας της γραφικής παράστασης σε αυτό το σημείο.

Η εφαπτομένη ευθεία ικανοποιεί τις δύο πρώτες ισότητες· ο εγγύτατος κύκλος, και την τρίτη. Το λατινικό όνομα του κύκλου προέρχεται από το osculari, φιλώ, ενώ το ελληνικό τον λέει «εγγύτατο», τον πιο κοντινό: ο κύκλος δεν αγγίζει απλώς τη γραφική παράσταση, όπως οι άλλοι εφαπτόμενοι κύκλοι, αλλά καμπυλώνεται όπως αυτή. Το σχήμα δείχνει, με f(x)=x32−x+1f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1 και a=1,2a = 1{,}2, τρεις κύκλους εφαπτόμενους στη γραφική παράσταση και, ανάμεσά τους, τον εγγύτατο.

ΘεώρημαΎπαρξη και μοναδικότητα του εγγύτατου κύκλου

Έστω ff μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα II και δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα σημείο aa του II, και έστω m=f′(a)m = f'(a) και q=f′′(a)q = f''(a). Αν q≠0q \neq 0, η γραφική παράσταση της ff έχει στο (a,f(a))(a, f(a)) ακριβώς έναν εγγύτατο κύκλο, με κέντρο (h,k)(h, k) και ακτίνα ρ\rho:

h=a−m(1+m2)q,k=f(a)+1+m2q,ρ=(1+m2)32∣q∣h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

Το κέντρο του βρίσκεται πάνω στην κάθετη ευθεία στη γραφική παράσταση στο σημείο, πάνω από το σημείο αν q>0q > 0 και κάτω από αυτό αν q<0q < 0. Αν q=0q = 0, η γραφική παράσταση δεν έχει εγγύτατο κύκλο στο (a,f(a))(a, f(a)).

Απόδειξη

  1. (a−h)+(f(a)−k)m=0(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}

    Ας υποθέσουμε ότι ένας κύκλος με κέντρο (h,k)(h, k) και ακτίνα rr είναι εγγύτατος, με το ημικύκλιό του uu. Η πρώτη ισότητα του λήμματος, για x=ax = a, με u(a)=f(a)u(a) = f(a) και u′(a)=mu'(a) = m, λέει ότι το κέντρο ικανοποιεί την εξίσωση της κάθετης ευθείας στη γραφική παράσταση στο σημείο, σύμφωνα με τον ορισμό της εφαπτομένης ευθείας και της κάθετης ευθείας από το μάθημα για την παράγωγο ως όριο, είτε m≠0m \neq 0 είτε η κάθετη είναι κατακόρυφη.

  2. 1+m2+(f(a)−k)q=0→f(a)−k=−1+m2q,a−h=m(1+m2)q,r2=(1+m2)3q21 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}

    Η δεύτερη ισότητα του λήμματος, για x=ax = a, με u′′(a)=qu''(a) = q, είναι αδύνατη αν q=0q = 0, επειδή 1+m2>01 + m^2 > 0: δεν υπάρχει εγγύτατος κύκλος. Αν q≠0q \neq 0, η ισότητα αυτή προσδιορίζει τη διαφορά f(a)−kf(a) - k· η πρώτη ισότητα δίνει τότε τη διαφορά a−ha - h, και η εξίσωση του κύκλου την ακτίνα. Άρα υπάρχει το πολύ ένας εγγύτατος κύκλος, και το κέντρο και η ακτίνα του είναι εκείνα της διατύπωσης.

  3. u′(a)=−a−hf(a)−k=m,u′′(a)=−1+m2f(a)−k=qu'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}

    Αντιστρόφως, έστω hh, kk και ρ\rho εκείνα της διατύπωσης. Ο κύκλος με κέντρο (h,k)(h, k) και ακτίνα ρ\rho διέρχεται από το (a,f(a))(a, f(a)), από τον παραπάνω υπολογισμό, και η διαφορά f(a)−kf(a) - k δεν μηδενίζεται και έχει το πρόσημο του −q-q, ώστε σ=−1\sigma = -1 αν q>0q > 0, και το κέντρο βρίσκεται πάνω από το σημείο, και σ=1\sigma = 1 αν q<0q < 0. Η συνάρτηση uu του λήμματος ικανοποιεί u(a)=k+σ∣f(a)−k∣=f(a)u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a), και οι δύο ισότητες του λήμματος, για x=ax = a, δίνουν τις παραγώγους της: ο κύκλος είναι εγγύτατος.

Αν q>0q > 0, ο εγγύτατος κύκλος ακουμπά στη γραφική παράσταση από πάνω με το κάτω ημικύκλιό του, που είναι κυρτό· αν q<0q < 0, με το άνω, που είναι κοίλο. Και στις δύο περιπτώσεις, η πρόταση της γραφικής παράστασης και της εφαπτομένης της, από το μάθημα για την κυρτότητα και την κοιλότητα, με n=2n = 2, εφαρμοσμένη στις ff και uu, που έχουν την ίδια εφαπτομένη και δεύτερες παραγώγους του ίδιου προσήμου, τοποθετεί τη γραφική παράσταση και τον κύκλο, κοντά στο aa, από την ίδια πλευρά αυτής της εφαπτομένης. Αν f′′(a)=0f''(a) = 0, κανένας κύκλος δεν κάνει, επειδή η δεύτερη παράγωγος ενός ημικυκλίου δεν μηδενίζεται ποτέ· η εφαπτομένη ευθεία, της οποίας η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν, ικανοποιεί και τις τρεις ισότητες, και παίζει τον ρόλο ενός κύκλου άπειρης ακτίνας.