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Topos Uranos
Deutsch

Krümmung und Krümmungsradius

Zusammenfassung

Diese Lektion misst, wie stark sich der Graph einer Funktion in einem Punkt krümmt. Die Tangente ist die Gerade, die im Punkt denselben Wert und dieselbe Ableitung hat wie die Funktion; der Krümmungskreis ist der Kreis, der außerdem dieselbe zweite Ableitung hat. Leitet man die Gleichung eines Kreises zweimal ab, so ergibt sich, dass in jedem seiner Punkte eine Kombination aus erster und zweiter Ableitung genau seinem Radius gleich ist; damit beweist die Lektion, dass der Krümmungskreis existiert und eindeutig ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nicht verschwindet, und gibt seinen Mittelpunkt und seinen Radius an, den Krümmungsradius. Sein Kehrwert ist die Krümmung, die dort verschwindet, wo die zweite Ableitung verschwindet. Danach beweist sie, dass der Krümmungsmittelpunkt der Grenzwert der Schnittpunkte benachbarter Normalen ist, wie Huygens erkannte, und dass sich die Krümmung beim Vertauschen der Achsen nicht ändert, was erlaubt, sie dort zu messen, wo die Tangente vertikal ist. Die Aufgaben entscheiden, ob der Krümmungskreis den Graphen durchsetzt, bestimmen den Punkt maximaler Krümmung der Exponentialfunktion, die Punkte maximaler und minimaler Krümmung einer Ellipse und den Krümmungsradius der Kettenlinie und untersuchen den Krümmungssprung zwischen einer Geraden und einem Bogen.

Lernziele

  1. Den Krümmungskreis des Graphen einer Funktion in einem Punkt definieren, beweisen, dass er existiert und eindeutig ist, wenn die zweite Ableitung nicht verschwindet, und seinen Mittelpunkt und seinen Radius berechnen.
  2. Die Krümmung und den Krümmungsradius eines Graphen in einem Punkt berechnen, die verschwindende Krümmung deuten und die Punkte maximaler oder minimaler Krümmung eines Graphen bestimmen.
  3. Den Krümmungsmittelpunkt als Grenzwert der Schnittpunkte der Normalen gewinnen und die Krümmung dort, wo die Tangente vertikal ist, durch Vertauschen der Rollen der Achsen messen.
  4. Mit dem Kriterium der höheren Ableitungen entscheiden, ob der Krümmungskreis den Graphen durchsetzt oder auf einer Seite von ihm bleibt.

Der Krümmungskreis

Die Tangente an den Graphen von ff im Punkt (a,f(a))(a, f(a)) ist die Gerade, die an der Stelle aa denselben Wert und dieselbe Ableitung hat wie ff. Die Lektion über Konkavität, Konvexität und Wendepunkte hat gezeigt, dass der Graph, falls f′′(a)≠0f''(a) \neq 0, nahe bei aa nur auf einer Seite seiner Tangente liegt: oberhalb von ihr, falls f′′(a)>0f''(a) > 0, und unterhalb von ihr, falls f′′(a)<0f''(a) < 0. Sie hat aber nicht gesagt, wie weit er sich von ihr entfernt, das heißt, wie stark er sich krümmt. Um das zu messen, empfiehlt es sich, ihn mit den Kurven zu vergleichen, die sich überall gleich stark krümmen, den Kreisen: Ein kleiner Kreis krümmt sich stark, ein großer wenig. Ein Kreis ist nicht der Graph einer Funktion, denn jede vertikale Gerade durch sein Inneres schneidet ihn zweimal; wohl aber ist es jede seiner beiden Hälften ohne ihre Endpunkte.

LemmaDie Ableitungen eines Halbkreises

Seien (h,k)(h, k) ein Punkt der Ebene, r>0r > 0, σ\sigma gleich 11 oder −1-1, und u(x)=k+σr2−(x−h)2u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} für xx in (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, deren Graph der obere Halbkreis ist, falls σ=1\sigma = 1, oder der untere, falls σ=−1\sigma = -1, mit Mittelpunkt (h,k)(h, k) und Radius rr, ohne seine Endpunkte. Dann sind uu, u′u' und u′′u'' auf (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r} differenzierbar, es gilt u(x)≠ku(x) \neq k, und an jeder Stelle xx des Intervalls gilt:

(x−h)+(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=0(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

Folglich verschwindet u′′(x)u''(x) nicht und hat das Vorzeichen von −σ-\sigma, sodass der untere Halbkreis streng konvex und der obere streng konkav ist, und in allen seinen Punkten gilt:

(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

Beweis

  1. (x−h)2+(u(x)−k)2=r2,x∈(h−r,h+r)(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}

    Liegt xx im Intervall, so gilt r2−(x−h)2>0r^2 - (x - h)^2 > 0, sodass u(x)−k=σr2−(x−h)2u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} nicht verschwindet, und uu ist nach dem Korollar über die Ableitungen gebräuchlicher Verkettungen aus der Lektion über die Kettenregel differenzierbar. Durch Quadrieren ergibt sich, dass der Graph von uu auf dem Kreis liegt:

  2. 2(x−h)+2(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=02(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}

    Die beiden Seiten sind auf dem Intervall dieselbe Funktion von xx, und ihre Ableitungen stimmen überein: Das ist das implizite Differenzieren aus der Lektion über die Ableitung der Umkehrfunktion und implizites Differenzieren, angewandt auf eine Funktion, von der wir schon wissen, dass sie differenzierbar ist. Nach dem Auflösen ist u′(x)=−x−hu(x)−ku'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k} ein Quotient differenzierbarer Funktionen mit von null verschiedenem Nenner, differenzierbar nach der Quotientenregel aus der Lektion über die Ableitungsregeln; erneutes Ableiten liefert die zweite Gleichung, nach der auch u′′(x)=−1+(u′(x))2u(x)−ku''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k} ein Quotient differenzierbarer Funktionen ist.

  3. 1+(u′(x))2=r2(u(x)−k)2,∣u′′(x)∣=r2∣u(x)−k∣3→(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}

    Wegen 1+(u′(x))2>01 + \left(u'(x)\right)^2 > 0 verschwindet die zweite Ableitung nicht und hat das entgegengesetzte Vorzeichen wie u(x)−ku(x) - k, also das Vorzeichen von σ\sigma; das Korollar über Konvexität und zweite Ableitung liefert die strenge Konvexität oder die strenge Konkavität. Nach der ersten Gleichung ist 1+(u′(x))21 + \left(u'(x)\right)^2 die Summe von (x−h)2(x - h)^2 und (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2, die gleich r2r^2 ist, geteilt durch (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2.

Auf einem Kreis ändern sich die Steigung der Tangente und die zweite Ableitung von Punkt zu Punkt, aber die Kombination aus dem Lemma ändert sich nicht: Sie ist stets gleich dem Radius. Das legt nahe, mit ihr zu messen, wie stark sich ein beliebiger Graph krümmt. Vorher empfiehlt es sich, den Kreis zu finden, der sich dem Graphen in einem Punkt am besten anpasst, nämlich den, der mit ihm bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.

DefinitionKrümmungskreis

Seien ff eine auf einem offenen Intervall II differenzierbare und an einer Stelle aa von II zweimal differenzierbare Funktion. Ein Kreis mit Mittelpunkt (h,k)(h, k) und Radius r>0r > 0 heißt Krümmungskreis des Graphen von ff im Punkt (a,f(a))(a, f(a)), wenn er durch diesen Punkt geht, ohne dass dieser sein am weitesten links oder am weitesten rechts gelegener Punkt ist, das heißt, wenn (a−h)2+(f(a)−k)2=r2(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2 und f(a)≠kf(a) \neq k gilt, und wenn der Halbkreis, der den Punkt enthält, also der Graph der Funktion uu aus dem Lemma mit σ\sigma gleich dem Vorzeichen von f(a)−kf(a) - k, an der Stelle aa denselben Wert, dieselbe Ableitung und dieselbe zweite Ableitung hat wie ff:

u(a)=f(a),u′(a)=f′(a),u′′(a)=f′′(a)u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

Sein Mittelpunkt heißt Krümmungsmittelpunkt des Graphen in diesem Punkt.

Die Tangente erfüllt die ersten beiden Gleichungen, der Krümmungskreis auch die dritte. Er heißt auch Schmiegkreis (oskulierender Kreis, vom lateinischen osculari, küssen): Der Kreis berührt den Graphen nicht nur, wie die anderen berührenden Kreise, sondern krümmt sich wie er. Die Abbildung zeigt mit f(x)=x32−x+1f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1 und a=1,2a = 1{,}2 drei Kreise, die den Graphen berühren, und unter ihnen den Krümmungskreis.

SatzExistenz und Eindeutigkeit des Krümmungskreises

Seien ff eine auf einem offenen Intervall II differenzierbare und an einer Stelle aa von II zweimal differenzierbare Funktion, und seien m=f′(a)m = f'(a) und q=f′′(a)q = f''(a). Ist q≠0q \neq 0, so hat der Graph von ff im Punkt (a,f(a))(a, f(a)) genau einen Krümmungskreis, mit Mittelpunkt (h,k)(h, k) und Radius ρ\rho:

h=a−m(1+m2)q,k=f(a)+1+m2q,ρ=(1+m2)32∣q∣h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

Sein Mittelpunkt liegt auf der Normalen des Graphen im Punkt, oberhalb des Punktes, falls q>0q > 0, und unterhalb, falls q<0q < 0. Ist q=0q = 0, so hat der Graph im Punkt (a,f(a))(a, f(a)) keinen Krümmungskreis.

Beweis

  1. (a−h)+(f(a)−k)m=0(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}

    Angenommen, ein Kreis mit Mittelpunkt (h,k)(h, k) und Radius rr sei ein Krümmungskreis, mit seinem Halbkreis uu. Die erste Gleichung des Lemmas an der Stelle x=ax = a, mit u(a)=f(a)u(a) = f(a) und u′(a)=mu'(a) = m, besagt, dass der Mittelpunkt die Gleichung der Normalen des Graphen im Punkt erfüllt, gemäß der Definition von Tangente und Normale aus der Lektion über die Ableitung als Grenzwert, sowohl falls m≠0m \neq 0 als auch falls die Normale vertikal ist.

  2. 1+m2+(f(a)−k)q=0→f(a)−k=−1+m2q,a−h=m(1+m2)q,r2=(1+m2)3q21 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}

    Die zweite Gleichung des Lemmas an der Stelle x=ax = a, mit u′′(a)=qu''(a) = q, ist unmöglich, falls q=0q = 0, denn 1+m2>01 + m^2 > 0: Es gibt keinen Krümmungskreis. Ist q≠0q \neq 0, so bestimmt sie f(a)−kf(a) - k; die erste Gleichung liefert dann a−ha - h und die Kreisgleichung den Radius. Folglich gibt es höchstens einen Krümmungskreis, und sein Mittelpunkt und sein Radius sind die der Aussage.

  3. u′(a)=−a−hf(a)−k=m,u′′(a)=−1+m2f(a)−k=qu'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}

    Umgekehrt seien hh, kk und ρ\rho wie in der Aussage. Der Kreis mit Mittelpunkt (h,k)(h, k) und Radius ρ\rho geht nach der obigen Rechnung durch (a,f(a))(a, f(a)), und f(a)−kf(a) - k verschwindet nicht und hat das Vorzeichen von −q-q, sodass σ=−1\sigma = -1, falls q>0q > 0, wobei der Mittelpunkt oberhalb des Punktes liegt, und σ=1\sigma = 1, falls q<0q < 0. Die Funktion uu aus dem Lemma erfüllt u(a)=k+σ∣f(a)−k∣=f(a)u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a), und die beiden Gleichungen des Lemmas an der Stelle x=ax = a liefern ihre Ableitungen: Der Kreis ist ein Krümmungskreis.

Ist q>0q > 0, so liegt der Krümmungskreis von oben mit seinem unteren Halbkreis, der konvex ist, am Graphen an; ist q<0q < 0, mit dem oberen, der konkav ist. In beiden Fällen bringt die Proposition über den Graphen und seine Tangente aus der Lektion über Konkavität und Konvexität, mit n=2n = 2, angewandt auf ff und auf uu, die dieselbe Tangente und zweite Ableitungen gleichen Vorzeichens haben, den Graphen und den Kreis nahe bei aa auf dieselbe Seite dieser Tangente. Ist f′′(a)=0f''(a) = 0, so taugt kein Kreis, denn die zweite Ableitung eines Halbkreises verschwindet nie; die Tangente, deren zweite Ableitung null ist, erfüllt die drei Gleichungen und spielt die Rolle eines Kreises mit unendlichem Radius.